Abstand Ursprung-Tiefpunkte < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mo 10.12.2007 | | Autor: | DanielH |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}+\bruch{1}{2a}x
[/mm]
Untersuchen Sie, ob ein Wert des Parameters a existiert, für den der Abstand d(a) der Tiefpunkte Ta vom Koordinatenursprung am kleinsten ist. Ermitteln Sie ggf diesen Wert des Parameters. |
Die Tiefpunkte der Geradenschar liegen bei [mm] Ta(\wurzel[3]{a^2}/\bruch{3}{2\wurzel[3]{a}}) [/mm] Um den Abstand bestimmen zu können, nimmt man den Satz des Pythagoras, also [mm] a^2+b^2=c^2, [/mm] oder hier [mm] (\wurzel[3]{a^2})^2+(\bruch{3}{2\wurzel[3]{a}})^2=d^2. [/mm] Daraus folgt: [mm] d^2=(\wurzel[3]{a^4})+(\bruch{9}{4\wurzel[3]{a^2}}). [/mm] Hier komme ich jedoch nicht mehr weiter, da wir ja d(a) bestimmen sollen. Wie muss ich fortfahren? Und wie ermittel ich den Wert des Parameters?
Ich bedanke mich für die Hilfe
Viele Grüsse
Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
deinen Tiefpunkt bekomme ich auch heraus.
Ja. Der Abstand zum Ursprung berechnet sich, wie du sagst aus [mm] d^2=x^2+y^2, [/mm] wobei x und y die Koordinaten deines Tiefpunktes sind.
Nun ist [mm] d^2 [/mm] eine Funktion von a. Du kannst theoretisch die Wurzel ziehen. Die Extremstellen stimmen aber mit denen Extremstellen der Funktion, die "unter der Wurzel steht" überein (weil die Wurzelfunktion streng monoton wächst).
Also musst du nur die rechte Seite nach a ableiten, und ein Minimum suchen.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 10.12.2007 | | Autor: | DanielH |
Vielen Dank Kroni für Deine Erläuterungen. Ich verstehe leider nur nicht ganz, wie ich genau nach a ableiten soll.
LG Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, habe es auch ein wenig knapp formuliert.
Also, du hast deine Abstandsfunktion [mm] d^2(a)=x^2+y^2 [/mm] gegeben, wobei x und y die Koordinaten deines Tiefpunktes sind.
Du willst ja eigentlich wissen, wo d(a) am kleinsten wird. Also würdest du einfach d'(a) berechnen, Nullstezen und gucken, wo dann ein Minimum vorliegt.
Da das aber mit der Wurzel ein wenig blöd ist mit dem Ableiten, überlegt man sich, dass die Extremstellen (also die x-Werte) deiner Wurzelfunktion mit denen des Termes, der unter der Wurzel steht, übereinstimmen. Also nimmst du dir in deinem Falle einfach den Term [mm] x^2+y^2 [/mm] her, wo ja beides mal ein a drinsteht, und leitest das ganze nach a ab (stell dir vor, a sei dein x, und dann kannst du das wie gewohnt ohne Probleme ableiten).
Dann bekommst du zwei Stellen heraus. Dann musst du überprüfen, ob es sich um ein Minimum oder um ein Maximum handelt. Wenn Minimum, dann kannst du dann den entsprechenden Wert in d(a) (Diesmal aber mit der Wurzel!!) einstezen, und du weist, wie groß dann dein minimaler Abstand ist.
Ist es nun ein wenig klarer?
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Mo 10.12.2007 | | Autor: | DanielH |
Ah, jetzt habe ich es verstanden. Nochmals vielen Dank. Das Minimum beträgt bei mir 1,06 oder [mm] 0.75\wurzel{2}. [/mm] Die Gleichung dazu dürfte [mm] y=x^4/3+\bruch{9}{x^2/3} [/mm] lauten
LG Daniel
|
|
|
|
