Abstand disjunkter Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Di 29.11.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Es sei A eine abegschlossene Teilmenge des metrischen RaumeS (X,d) und B eine kompakte, zu A disjunkte Teilmenge von X. Zeigen Sie,dass es eine positive Zahl [mm] \varepsilon_{0} [/mm] existiert, so dass d(a,b) [mm] \ge \varepsilon_{0} [/mm] für alle a in A und alle b in B.
Hinweis : Wenn die Behauptung falsche wäre, dann gäbe es eine abgeschlossene Menge A Teilmenge X und eine dazu disjunkte und kompakte Menge B sowie zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] Elemente [mm] a_{n} \in [/mm] A und [mm] b_{n} \in [/mm] B mit [mm] d(a_{n},b_{n}) \le \bruch{1}{n} [/mm] |
Hallo, ich habe diese Aufgabe mMn gelöst, aber iwie ist es zu kurz/einfach, sodass ich glaube, dass da was nicht stimmt?
ALso ich benutze den Hinweis und widerlege diesen.
Da zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] a_{n} [/mm] in A und [mm] b_{n} [/mm] in B liegen, geht :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n},b_{n})\le \bruch{1}{n}
[/mm]
Also d(a,b) [mm] \le [/mm] 0 mit a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B
Wir wissen,dass der Abstand in einem metrischen Raum nicht negativ sein kann,also fällt der Fall kleiner weg.
Für d(a,b) = 0 muss gelten, dass a=b. Also muss a=b [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B liegen und die Vereinigung wäre somit nicht leer, was im Widerspruch zur disjunkten Voraussetzung steht.
Somit muss es also ein [mm] \varepsilon_{0} [/mm] geben mit d(a,b) [mm] \re \varepsilon_{0} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A eine abegschlossene Teilmenge des metrischen
> RaumeS (X,d) und B eine kompakte, zu A disjunkte Teilmenge
> von X. Zeigen Sie,dass es eine positive Zahl
> [mm]\varepsilon_{0}[/mm] existiert, so dass d(a,b) [mm]\ge \varepsilon_{0}[/mm]
> für alle a in A und alle b in B.
>
> Hinweis : Wenn die Behauptung falsche wäre, dann gäbe es
> eine abgeschlossene Menge A Teilmenge X und eine dazu
> disjunkte und kompakte Menge B sowie zu jedem n [mm]\in \IN[/mm]
> Elemente [mm]a_{n} \in[/mm] A und [mm]b_{n} \in[/mm] B mit [mm]d(a_{n},b_{n}) \le \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Hallo, ich habe diese Aufgabe mMn gelöst, aber iwie ist es
> zu kurz/einfach, sodass ich glaube, dass da was nicht
> stimmt?
Dein Glaube täuscht Dich nicht !
>
> ALso ich benutze den Hinweis und widerlege diesen.
Wen widerlegen ? Den Hinweis ?
>
> Da zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] , [mm]a_{n}[/mm] in A und [mm]b_{n}[/mm] in B liegen,
> geht :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n},b_{n})\le \bruch{1}{n}[/mm]
???? Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d(a_{n},b_{n})=0
[/mm]
>
> Also d(a,b) [mm]\le[/mm] 0 mit a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B
Was sind a und b ? wo kommen die her ? Die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] müssen nicht konvergent sein !!!
>
Diese Aufgabe hatten wir heute schon mal:
https://matheraum.de/read?t=843979
FRED
> Wir wissen,dass der Abstand in einem metrischen Raum nicht
> negativ sein kann,also fällt der Fall kleiner weg.
> Für d(a,b) = 0 muss gelten, dass a=b. Also muss a=b [mm]\in[/mm] A
> [mm]\wedge[/mm] B liegen und die Vereinigung wäre somit nicht leer,
> was im Widerspruch zur disjunkten Voraussetzung steht.
>
> Somit muss es also ein [mm]\varepsilon_{0}[/mm] geben mit d(a,b) [mm]\re \varepsilon_{0}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 29.11.2011 | | Autor: | dimi727 |
Naja ist es wichtig,dass die folgen an und bn konvergent sind? Letztendlich liegen alle Folgeglieder von an in A und bn in B? Und ich widerlege halt die BEhauptung des Hinweises.
Was genau muss ich denn jetzt noch zeigen? Fallunterscheidung,falls die Folgen konvergieren oder nicht konvergieren? Bitte um einen Hinweis. Oder reicht einfach zu schreiben, dass der limes von d(an,bn)= 0 ist? Und dann meine Schlussfolgerung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Naja ist es wichtig,dass die folgen an und bn konvergent
> sind? Letztendlich liegen alle Folgeglieder von an in A und
> bn in B?
>
> Was genau muss ich denn jetzt noch zeigen?
> Fallunterscheidung,falls die Folgen konvergieren oder nicht
> konvergieren? Bitte um einen Hinweis
Was habe ich oben geschrieben ? Das:
Diese Aufgabe hatten wir heute schon mal:
https://matheraum.de/read?t=843979
FRED
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