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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Abstand von 2 Punkten
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Abstand von 2 Punkten: Formel, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mo 23.04.2012
Autor: xedir

Aufgabe
Hallo,
es geht mir hier darum, einer Formel oder einen Weg zu finden, wie ich die Koordinaten eines Punktes bestimmen kann, der auf einer Geraden liegt deren Gleichung ich kenne und der x LE von einem Punkt der Geraden entfernt ist der ebenfalls bekannt ist.


Als bsp. habe ich:
Die Gerade x = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\4} [/mm]  + r [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Schneidet den Punkt [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] und einen Punkt der [mm] 8*\wurzel{3} [/mm] von [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] entfern ist. Als ergebnis müssten die Punkte [mm] \vektor{-7 \\-8\\ -6} [/mm] und [mm] \vektor{9 \\ 8 \\ 10} [/mm] kommen, bei dem Lösungsweg stehe ich nur total auf Holzweg


Danke im voraus.

        
Bezug
Abstand von 2 Punkten: Richtungsvektor
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Mo 23.04.2012
Autor: Infinit

Hallo xedir,
was Dir hier Schwierigkeiten bereitet, das ist der Richtungsvektor Deiner Geraden, also
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Der gibt die Richtung an, hat aber nicht eine Länge von 1, sondern er ist etwas größer, nämlich nach dem alten Phytagoras hat er die Länge
[mm] \wurzel{1^2 + 1^2 + 1^2} = \wurzel{3} [/mm]
Wenn Du also Deine Laufvariable r um eine Einheit von 1 erhöhst, beispielsweise von 4 auf 5, so bist Du auf der Geraden nicht um eine Strecke von 1, sondern um eine Strecke von [mm] \wurzel{3} [/mm] vorangegangen.
Da es bei diesem Richtungsvektor nicht auf seine Länge ankommt, sondern eben um die Richtung, in die er zeigt, kannst Du ihn auch so schreiben, dass er eine Länge von 1 besitzt. Dazu musst Du einfach alle seine Komponenten durch [mm] \wurzel{3} [/mm] dividieren, schreibe ihn also als
[mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}}} [/mm]
Damit bekommst Du für Deine Gleichung den Ausdruck, mit dem neuen Punkt (1/0/2),
[mm] x = \vektor{1 \\ 0 \\ 2} + k \vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}}} [/mm].
Jetzt setze mal Deinen Entfernungswert von [mm] 8 \cdot \wurzel{3} [/mm] ein, und Du siehst, bei welchen Koordinaten Du landest.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                
Bezug
Abstand von 2 Punkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:49 Mo 23.04.2012
Autor: xedir

Hammergut, danke dir werd ich direkt mal umsetzen.

Bezug
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