Abstand von E zu E < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | | Bestimme den Abstand der zwei Ebenen |
Hallo,
ich soll den Abstand von zwei Ebene bestimmen.
[mm] E:\vec{x}= 3x_{1}-4x_{2}+5x_{3}-10=0 [/mm] und
[mm] F:\vec{x}=-9x_{1}+12x_{2}-15x_{2}-15=0
[/mm]
um ihre Lage zu untersuchen dividiere ich F durch -3 und sehe sie ist parallel, aber nicht identisch. Jetzt will ich den Abstand ermittel:
Dazu bestimme ich auf E Punkte durch die meine Gerade orthogonal von F aus gehen soll. Dieser Punkt P(4;3;2)ermittelt durch einsetzen in E. Mit diesem Werte des Punktes bilde ich eine Gerade:
[mm] g:\vec{x}=(4;3;2)+t(-9;12;-15) [/mm] dann zu;
d= (-9)*(4-9t)+12*(3+12t)+(-15)*(2-15t)-15=0
d= 450t-45=0
d= t=1/10
setze 1/10 in meine Geradengleichung und komme dann zu meinem [mm] Abstand:h=\wurzel{(-0,9)^2+1,2^2+(-1,5)^2} [/mm] ist dann
[mm] \wurzel{45}\approx [/mm] 2,12 Einheiten als Längenabstand.
jetzt habe ich noch einen anderen Weg ausprobiert, der eigendlich auch gehen müsste. Aber mein Ergebnis ist falsch.
[mm] h=\bruch{-9*4+12*3+(-15)*2-15}{\wurzel{4^2+3^2+2^2}} [/mm] das sieht dann so [mm] aus:\bruch{-45}{\wurzel{29}} [/mm] ergibt dann -8,35 so meine Frage habe ich einen Rechen-Denkfehler gemacht oder ist die Formel nicht anwendbar?
Danke für jeden Tip
Beliar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 14.11.2007 | | Autor: | peu |
hallo beliar,
ein weiterer Lösungsweg, den ich für einfacher erachte ist folgender: verändere eine Ebene in die Hesse-Normal-form um, die andere in die parameterform. aus letzterem hast du den Aufpunkt der Ebene, und damit ja auch punkt in der Ebene, setze nun den Aufpunkt der einen in die HNF der anderen ein und du erhälst fix den Abstand. bei weiteren fragen, einfach posten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Danke sicher eine gute Idee, aber leider habe ich von der Hesse Form keine Ahnung. Habe schon versucht etwas darüber heraus zubekommen klappt aber nicht.
Nun zurück zum Artikel, warum geht der zweite Weg nicht,oder was habe ich da falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Do 15.11.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Beliar
> Bestimme den Abstand der zwei Ebenen
> Hallo,
> ich soll den Abstand von zwei Ebene bestimmen.
> [mm]E:\vec{x}= 3x_{1}-4x_{2}+5x_{3}-10=0[/mm] und
> [mm]F:\vec{x}=-9x_{1}+12x_{2}-15x_{2}-15=0[/mm]
> um ihre Lage zu untersuchen dividiere ich F durch -3 und
> sehe sie ist parallel, aber nicht identisch. Jetzt will ich
> den Abstand ermittel:
> Dazu bestimme ich auf E Punkte durch die meine Gerade
> orthogonal von F aus gehen soll. Dieser Punkt
> P(4;3;2)ermittelt durch einsetzen in E. Mit diesem Werte
> des Punktes bilde ich eine Gerade:
> [mm]g:\vec{x}=(4;3;2)+t(-9;12;-15)[/mm] dann zu;
> d= (-9)*(4-9t)+12*(3+12t)+(-15)*(2-15t)-15=0
> d= 450t-45=0
> d= t=1/10
> setze 1/10 in meine Geradengleichung und komme dann zu
> meinem [mm]Abstand:h=\wurzel{(-0,9)^2+1,2^2+(-1,5)^2}[/mm] ist dann
> [mm]\wurzel{45}\approx[/mm] 2,12 Einheiten als Längenabstand.
Du meinst [mm]\wurzel{4,5} [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt habe ich noch einen anderen Weg ausprobiert, der
> eigendlich auch gehen müsste. Aber mein Ergebnis ist
> falsch.
> [mm]h=\bruch{-9*4+12*3+(-15)*2-15}{\wurzel{4^2+3^2+2^2}}[/mm]
Hier stimmt was nicht. Im Nenner mus die Länge des Normalenvektors von F, nicht die Länge des Ortsvektors zu P stehen. Dann kommt auch dasselbe wie bei Deiner anderen Rechnung heraus.
> das
> sieht dann so [mm]aus:\bruch{-45}{\wurzel{29}}[/mm] ergibt dann
> -8,35 so meine Frage habe ich einen Rechen-Denkfehler
> gemacht oder ist die Formel nicht anwendbar?
Gruß
Sigrid
> Danke für jeden Tip
> Beliar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 15.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Aber ist(-9;+12;-15)nicht mein Normalenvektor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 16.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Aber ist(-9;+12;-15)nicht mein Normalenvektor?
Hallo
Der Vektor ist ein Kandidat, "den" Normalenvektor gibt es nicht. Und dieser ist halt einer zu F (Und damit auch zu E, die Ebenen sind ja parallel)
Aber dich interessiert nicht die Länge davon, sondern die Länge des "Abstandsvektors".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Fr 16.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Kann ich dann nur so vorgehen wie zu beginn, oder geht da auch etwas in der Richtung wie beim zweiten Versuch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Fr 16.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
$ [mm] h=\bruch{-9\cdot{}4+12\cdot{}3+(-15)\cdot{}2\red{-15}}{\wurzel{4^2+3^2+2^2}} [/mm] $
Woher kommt die markierte 15?
Ohne diese sollte der Weg klappen, dass du den Abstand mit [mm] |t\vec{n}| [/mm] bestimmst, wenn du über die Hilfsgerade das t bestimmst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 16.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Kann ich das so bei jeder Aufgabe machen, wenn es darum geht von einer Ebene zu einem Punkt den Abstand zu bestimmen (Bei Koordinatenform und Punkt)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 16.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Kann ich das so bei jeder Aufgabe machen, wenn es darum
> geht von einer Ebene zu einem Punkt den Abstand zu
> bestimmen (Bei Koordinatenform und Punkt)?
Yep, wenn du den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E suchst, kannst du das jeweils so machen.
1. Hilfsgerade aufstellen [mm] g:\vec{x}=\vec{p}+\mu*\vec{n_{E}}
[/mm]
2. Schnitpunkt F von g und E berechnen.
3. [mm] |\overrightarrow{PF}| [/mm] berechnen.
Ob P dabei auf einer zu E Parallelen Ebene oder Gerade liegt, oder in der Aufgabe gegeben ist, ist für die Berechnung egal.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 16.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Dann komme ich zu dem Fazit, dass beide Weg gleich lange dauern um ein Ergebnis zu bekommen. Ich dachte der letzt wäre kürzer,oder gibt es da etwas um das ganze abzukürtzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 16.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Dann komme ich zu dem Fazit, dass beide Weg gleich lange
> dauern um ein Ergebnis zu bekommen. Ich dachte der letzt
> wäre kürzer,oder gibt es da etwas um das ganze abzukürtzen?
Nicht dass ich wüsste. Es geht auch der von Peu vorgeschlagenen Weg über die Hessesche Normalenform, der wäre relativ schnell zu machen, wenn man die Ebene erstmal in der HNF hat.
Marius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:07 Fr 16.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Ich hörte davon, finde aber zur Zeit niemanden der sie mir erklären könnte. Ich habe im Netz gesucht finde aber nur für mich unverständliche Erklärungen. Im Unterricht werden wir sie nicht behandeln, da wir ab Dez. mit Wiederholungen fürs Abi anfangen.Hättest du lust sie mir an einem Praxisnahen Beispiel zu erkären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 18.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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