Abstand windschiefer Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 04.06.2007 | | Autor: | JanW1989 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1\\-1\\0} [/mm] und h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1\\0} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{4\\0\\-1}
[/mm]
Berechne den Abstand der Geraden nach folgendem Verfahren:
(1) Bestimme den Abstand zweier beliebiger Punkte X bzw. Y die auf g bzw. h liegen.
(2) Bestimme zu einem beliebigen aber festen Punkt Y der Geraden h denjenigen Punkt X* der Geraden g, der von Y die kleinste Entfernung hat.
Warum ist beim Bilden der Ableitung der Parameter [mm] \mu [/mm] als konstant anzusehen?
(3) Zeige |X*Y| = [mm] \wurzel{9\mu²-6\mu+3}
[/mm]
(4) Berechne nun das Minumum der Funktion f mit [mm] f(\mu) [/mm] = |X*Y|.
(5) Zeige: Man erhält das selbe Ergebnis wenn man zuerst den Punkt X "festhält".
(6) Die Funktionen f und g mit [mm] g(\mu) [/mm] = [mm] (f(\mu))² [/mm] nehmen an der selben Stelle ihre Minima an. Dies erleichtert die Rechnung in (4). Entsprechendes gilt für (2). |
Hallo,
Mein Probleme beginnt schon bei dem ersten Teil. Ich erhalte einen sehr langen Wurzelterm für den Betrag eines beliebigen Vektors zwischen g und h:
[mm] \wurzel{2\mu²+2\lambda²+3-4\lambda-4\mu}
[/mm]
Mit ein wenig Hilfe bei diesem ersten Teil wäre mir wahrscheinlich schon sehr gut geholfen ! Vielen, Vielen Dank schon mal !
MfG Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Gegeben sind die Geraden g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2\\1\\1}[/mm] +
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1\\-1\\0}[/mm] und h: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\-1\\0}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{4\\0\\-1}[/mm]
> Berechne den Abstand der Geraden nach folgendem
> Verfahren:
> (1) Bestimme den Abstand zweier beliebiger Punkte X bzw. Y
> die auf g bzw. h liegen.
> (2) Bestimme zu einem beliebigen aber festen Punkt Y der
> Geraden h denjenigen Punkt X* der Geraden g, der von Y die
> kleinste Entfernung hat.
> Warum ist beim Bilden der Ableitung der Parameter [mm]\mu[/mm] als
> konstant anzusehen?
> (3) Zeige |X*Y| = [mm]\wurzel{9\mu²-6\mu+3}[/mm]
> (4) Berechne nun das Minumum der Funktion f mit [mm]f(\mu)[/mm] =
> |X*Y|.
> (5) Zeige: Man erhält das selbe Ergebnis wenn man zuerst
> den Punkt X "festhält".
> (6) Die Funktionen f und g mit [mm]g(\mu)[/mm] = [mm](f(\mu))²[/mm] nehmen
> an der selben Stelle ihre Minima an. Dies erleichtert die
> Rechnung in (4). Entsprechendes gilt für (2).
> Hallo,
> Mein Probleme beginnt schon bei dem ersten Teil. Ich
> erhalte einen sehr langen Wurzelterm für den Betrag eines
> beliebigen Vektors zwischen g und h:
> [mm]\wurzel{2\mu²+2\lambda²+3-4\lambda-4\mu}[/mm]
> Mit ein wenig Hilfe bei diesem ersten Teil wäre mir
> wahrscheinlich schon sehr gut geholfen ! Vielen, Vielen
> Dank schon mal !
> MfG Jan
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hi.
Als erstes bilden wir mal den Verbindungsvektor zwischen den Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y}.
[/mm]
Für [mm] \vec{x} [/mm] gilt die Geradengleichung g und für [mm] \vec{y} [/mm] die von h.
Dann gilt für den Verbindungsvektor der beiden: [mm] \vec{x}-\vec{y}:
[/mm]
Dann komme ich auf [mm] \vektor{\lambda-4\mu\\2-\lambda\\1+\mu}
[/mm]
Jetzt hiervon der Betrag, so dass man den Abstand des Verbindungsvektors sieht:
[mm] d=\wurzel{2\lambda^2+17\mu^2-4\lambda+2\mu-8\lambda\mu+5}
[/mm]
Mit diesem Ergebnis kannst du dann weiterrechnen, und hiervon z.B. das Minimum suchen.
Dabei bitte den Tip in Aufgabe 6) beachten.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 04.06.2007 | | Autor: | JanW1989 |
Hey :)
Jetzt hab ich die Aufgabe komplett lösen können ! Vielen Dank ! Mein Problem war, dass ich einen Richtungsvektor falsch vom Aufgabenblatt abgeschrieben habe :-/ Aber jetzt hab ichs ja hinbekommen ! Dankeschön !
Bye
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