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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Abstand windschiefer Geraden
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Abstand windschiefer Geraden: Extremwertaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Mo 04.06.2007
Autor: JanW1989

Aufgabe
Gegeben sind die Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1\\-1\\0} [/mm] und h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1\\0} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{4\\0\\-1} [/mm]
Berechne den Abstand der Geraden nach folgendem Verfahren:
(1) Bestimme den Abstand zweier beliebiger Punkte X bzw. Y die auf g bzw. h liegen.
(2) Bestimme zu einem beliebigen aber festen Punkt Y der Geraden h denjenigen Punkt X* der Geraden g, der von Y die kleinste Entfernung hat.
Warum ist beim Bilden der Ableitung der Parameter [mm] \mu [/mm] als konstant anzusehen?
(3) Zeige |X*Y| = [mm] \wurzel{9\mu²-6\mu+3} [/mm]
(4) Berechne nun das Minumum der Funktion f mit [mm] f(\mu) [/mm] = |X*Y|.
(5) Zeige: Man erhält das selbe Ergebnis wenn man zuerst den Punkt X "festhält".
(6) Die Funktionen f und g mit [mm] g(\mu) [/mm] = [mm] (f(\mu))² [/mm] nehmen an der selben Stelle ihre Minima an. Dies erleichtert die Rechnung in (4). Entsprechendes gilt für (2).

Hallo,
Mein Probleme beginnt schon bei dem ersten Teil. Ich erhalte einen sehr langen Wurzelterm für den Betrag eines beliebigen Vektors zwischen g und h:
[mm] \wurzel{2\mu²+2\lambda²+3-4\lambda-4\mu} [/mm]
Mit ein wenig Hilfe bei diesem ersten Teil wäre mir wahrscheinlich schon sehr gut geholfen ! Vielen, Vielen Dank schon mal !
MfG Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abstand windschiefer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Mo 04.06.2007
Autor: Kroni


> Gegeben sind die Geraden g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2\\1\\1}[/mm] +
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1\\-1\\0}[/mm] und h: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\-1\\0}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{4\\0\\-1}[/mm]
>  Berechne den Abstand der Geraden nach folgendem
> Verfahren:
>  (1) Bestimme den Abstand zweier beliebiger Punkte X bzw. Y
> die auf g bzw. h liegen.
>  (2) Bestimme zu einem beliebigen aber festen Punkt Y der
> Geraden h denjenigen Punkt X* der Geraden g, der von Y die
> kleinste Entfernung hat.
>  Warum ist beim Bilden der Ableitung der Parameter [mm]\mu[/mm] als
> konstant anzusehen?
>  (3) Zeige |X*Y| = [mm]\wurzel{9\mu²-6\mu+3}[/mm]
>  (4) Berechne nun das Minumum der Funktion f mit [mm]f(\mu)[/mm] =
> |X*Y|.
>  (5) Zeige: Man erhält das selbe Ergebnis wenn man zuerst
> den Punkt X "festhält".
>  (6) Die Funktionen f und g mit [mm]g(\mu)[/mm] = [mm](f(\mu))²[/mm] nehmen
> an der selben Stelle ihre Minima an. Dies erleichtert die
> Rechnung in (4). Entsprechendes gilt für (2).
>  Hallo,
>  Mein Probleme beginnt schon bei dem ersten Teil. Ich
> erhalte einen sehr langen Wurzelterm für den Betrag eines
> beliebigen Vektors zwischen g und h:
>  [mm]\wurzel{2\mu²+2\lambda²+3-4\lambda-4\mu}[/mm]
>  Mit ein wenig Hilfe bei diesem ersten Teil wäre mir
> wahrscheinlich schon sehr gut geholfen ! Vielen, Vielen
> Dank schon mal !
>  MfG Jan
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Hi.

Als erstes bilden wir mal den Verbindungsvektor zwischen den Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y}. [/mm]

Für [mm] \vec{x} [/mm] gilt die Geradengleichung g und für [mm] \vec{y} [/mm] die von h.

Dann gilt für den Verbindungsvektor der beiden: [mm] \vec{x}-\vec{y}: [/mm]

Dann komme ich auf [mm] \vektor{\lambda-4\mu\\2-\lambda\\1+\mu} [/mm]

Jetzt hiervon der Betrag, so dass man den Abstand des Verbindungsvektors sieht:

[mm] d=\wurzel{2\lambda^2+17\mu^2-4\lambda+2\mu-8\lambda\mu+5} [/mm]

Mit diesem Ergebnis kannst du dann weiterrechnen, und hiervon z.B. das Minimum suchen.
Dabei bitte den Tip in Aufgabe 6) beachten.

LG

Kroni


Bezug
                
Bezug
Abstand windschiefer Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 Mo 04.06.2007
Autor: JanW1989

Hey :)
Jetzt hab ich die Aufgabe komplett lösen können ! Vielen Dank ! Mein Problem war, dass ich einen Richtungsvektor falsch vom Aufgabenblatt abgeschrieben habe :-/ Aber jetzt hab ichs ja hinbekommen ! Dankeschön !
Bye

Bezug
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