Abstand zweier Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 So 22.11.2009 | | Autor: | sunny435 |
| Aufgabe | Ein Sportflugzeug und ein Militärflugzeug befinden sich auf geradlinigem Kurs. Im örtlichen Koordinatensystem der Flugsicherungsstelle gelten die
Angaben der Tabelle :
[ Sportflugzeug: A (0|4|2) [mm] \vec{v}= [/mm] (200|-100|0)
Militärflugzeug: B (3|0|3) [mm] \vec{w} [/mm] = (0|500|-100) ] A und B ist der "Ort zum Zeitpunkt 0", in km angegeben und [mm] \vec{v}; \vec{w} [/mm] sind die Geschwindigkeitsvektoren, in km/h angegeben
a) Berechne den Abstand der beiden Flugrouten
b) Gib die Punkte P und Q auf den Flugrouten an, deren Abstand gleich dem Abstand der Flugrouten ist. Wann erreichen die Flugzeuge die Punkte P bzw. Q?
c) BEstimme die kleinste Entfernung der beiden Flugzeuge.
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Hallo!
Mein Ansatz zu dieser Aufgabe ist, die Gleichung erstmal aufzustellen
g: (0|4|2) + [mm] \lambda [/mm] (200|-100|0)
h: (3|0|3) + [mm] \mu [/mm] (0|500|-100)
ich vermute mal, dass das mit den 2 Gleichungen hier stimmt, aber wie rechne ich weiter? wie soll ich den Abstand der beiden Routen ausrechnen? Ich hab bis jetzt immer nur den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade ausgerechnet soweit ich mich erinnere. Bin grad irgendwie durcheinenander...
Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen :)
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Hallo!
Du hast hier das Problem, den Abstand zweier (sehr wahrscheinlich) windschiefer Graden zu bestimmen (Windschief: weder parallel noch sich schneidend).
Die Lösung für a) ist ein Standardverfahren:
Bilde eine Ebene aus einem der Stützvektoren und beiden Richtungsvektoren. Diese Ebene ist parallel zu der Graden mit dem anderen Stützvektor, daher mußt du nun nur noch den Abstand des Stützvektors dieser Graden zur Ebene bestimmen.
Kommst du mit der b) weiter?
Zur c): weil das hier Flugrouten mit Weg, Zeit und Geschwindigkeit sind: Was gilt daher stets für eine Beziehung zwischen [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] ? Wenn du das weißt, kannst du schnell eine Funktion angeben, die dir den Abstand der beiden Flugzeuge angibt. Und der soll minimal werden. Dazu noch ein Tipp: Eine Wurzel hat ihre Minima auch genau da, wo das, was unter der Wurzel steht, seine Minima hat.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:26 So 22.11.2009 | | Autor: | sunny435 |
danke für die schnelle antwort!
hm, wie bilde ich denn eine ebene? weiß ehrlich gesagt nicht wie das gemeint ist... ich hätt jetzt gedacht dass man vielleicht die geraden gleichsetzen muss oder [mm] \lambda [/mm] ausrechnen oder so... aber wie ist das mit der ebene gemacht? sry steh grad aufm schlauch, weiß nicht wie ich das machen soll.
bei der b) weiß ich noch nicht genau.. hat das vielleicht was mit orthogonalität oder so zu tun ? mit der kürzesten strecke, sodass man einen lotfußpunkt bilden muss? :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Also, du bildest hier die Ebene, indem du die Normalengleichung aufstellst. Als Richtungsvektor immst du den der Geraden, denn die Ebene soll ja senkrecht auf der Geraden stehen. Danach berechnest du durch Einsetzen der gerdaen- in die Ebenengleichung den Durchstoßpunkt der Gerade mit der Ebene und berechnest am Ende den Astand zwischen dem ursprünglichen Punkt und dem Durchstoßpunkt. Habe fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 24.11.2009 | | Autor: | sunny435 |
| Aufgabe | >
> Zur c): weil das hier Flugrouten mit Weg, Zeit und
> Geschwindigkeit sind: Was gilt daher stets für eine
> Beziehung zwischen [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] ? Wenn du das weißt,
> kannst du schnell eine Funktion angeben, die dir den
> Abstand der beiden Flugzeuge angibt. Und der soll minimal
> werden. Dazu noch ein Tipp: Eine Wurzel hat ihre Minima
> auch genau da, wo das, was unter der Wurzel steht, seine
> Minima hat.
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also zu der c) jetzt nochmal
wie berechnet man das mit minimax? iuch hab jetzt mal geguckt...
den rest der aufgabe hab ich schon
hab jetzt die beiden gleichungen und weiß dass ich für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] t einsetzen muss. Wie gehts denn jetzt weiter? wie berechne ich den abstand? muss ich da jetzt die richtungsvektoren nehmen?
weiß dass man unter der wurzel dann sowas in der art rechnet (a1-b1)²+(a2-b2) etc.
hoffe mir kann da noch jmd helfen auch wenns schon bisschen her ist :)
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Hallo!
Wie du bereits erkannt hast, stehen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] für die Zeit t. Die Gradengleichungen geben dir zu jedem Zeitpunkt die Positionen der Flugzeuge. Demnach kannst du zu jedem Zeitpunkt den Abstandsvektor angeben, indem du die beiden Graden voneinander abziehst. Davon müßtest du noch den Betrag bilden. Und: Der Abstand ist immernoch von der Zeit abhängig, hier bekommst du das gesuchte Minimum durch Ableiten und Nullsetzen. Und wie gesagt: Vor dem Ableiten kannst du getrost die Wurzel weg lassen, das macht die Sache um Welten einfacher.
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