Abstand zweier Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe hier ein Beispiel für die Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden:
Es soll der Abstand zwischen folgenden zwei Geraden berechnet werden:
g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ -4 }+t*\vektor{4 \\ 1 \\ -6 }
[/mm]
h: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3 }+t*\vektor{0 \\ -1 \\ 3 }
[/mm]
Nun muss man ja den zu [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -6 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 3 } [/mm] orthogonalen Einheitsvektor [mm] \overrightarrow{n}_0 [/mm] bestimmen. D.h. es ergibt sich das folgende LGS
[mm] 4*n_1+n_2-6n_3=0
[/mm]
[mm] -n_2+3*n_3=0 [/mm]
Nun wird hier einfach [mm] n_3=4 [/mm] gesetzt und somit dann der Einheitsvektor bestimmt.
Nun zu meiner Frage: Könnte man hier [mm] n_3 [/mm] gleich jeder beliebigen Zahl setzen? Oder warum wird das hier =4 gesetzt?
Also ich habe auch einfach mal etwas anderes für [mm] n_3 [/mm] eingesetzt, aber dann kommt natürlich ein anderer Abstand heraus. Was muss ich also tun? Was mache ich denn, wenn ich den minimalen Abstand haben möchte?
Danke!
Lg
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich habe hier ein Beispiel für die Berechnung des
> Abstandes zweier windschiefer Geraden:
>
> Es soll der Abstand zwischen folgenden zwei Geraden
> berechnet werden:
> g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 1 \\ -4 }+t*\vektor{4 \\ 1 \\ -6 }[/mm]
>
> h: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3 }+t*\vektor{0 \\ -1 \\ 3 }[/mm]
>
> Nun muss man ja den zu [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ -6 }[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 3 }[/mm]
> orthogonalen Einheitsvektor [mm]\overrightarrow{n}_0[/mm] bestimmen.
> D.h. es ergibt sich das folgende LGS
> [mm]4*n_1+n_2-6n_3=0[/mm]
> [mm]-n_2+3*n_3=0[/mm]
>
> Nun wird hier einfach [mm]n_3=4[/mm] gesetzt und somit dann der
> Einheitsvektor bestimmt.
>
> Nun zu meiner Frage: Könnte man hier [mm]n_3[/mm] gleich jeder
> beliebigen Zahl setzen? Oder warum wird das hier =4
> gesetzt?
>
> Also ich habe auch einfach mal etwas anderes für [mm]n_3[/mm]
> eingesetzt, aber dann kommt natürlich ein anderer Abstand
> heraus. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein; einen anderen Abstand erhältst du nicht, wenn
du richtig weiter rechnest !
> Was muss ich also tun? Was mache ich denn, wenn ich
> den minimalen Abstand haben möchte?
>
> Danke!
>
> Lg
Hallo,
das nur aus 2 Gleichungen für 3 Unbekannte bestehende
Gleichungssystem ist unterbestimmt. Die zusätzliche
Bedingung, dass du einen Einheitsvektor möchtest,
ergäbe eine weitere Gleichung - aber keine lineare.
Deshalb ist es geschickter, zunächst irgendeinen
(beliebig langen) Normalenvektor zu bestimmen.
Dazu kannst du z.B. die Wahl [mm] n_3 [/mm] = 4 (oder eine
andere geeignete Wahl) treffen. Den so entstehenden
Lösungsvektor kannst du dann nachträglich normieren.
Der normierte Normalenvektor ist dann (wenigstens
bis auf das Vorzeichen) eindeutig und unabhängig von
der vorläufigen Wahl (falls diese nicht zu einem Wider-
spruch geführt hat).
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Danke! Ich hatte mich auch verrechnet mit einer anderen Zahl für [mm] n_3. [/mm] Aber was ist denn jetzt mit dem minimalen Abstand? Hab ich den dann auch automatisch dadurch?
|
|
|
| |
|
> Danke! Ich hatte mich auch verrechnet mit einer anderen
> Zahl für [mm]n_3.[/mm] Aber was ist denn jetzt mit dem minimalen
> Abstand? Hab ich den dann auch automatisch dadurch?
automatisch ? nein !
Du hast noch gar nicht gezeigt, wie du denn (nach der
Bestimmung eines gemeinsamen Normalenvektors)
weiter machen willst ...
Ein Tipp: der Minimalabstand der (nicht parallelen)
Geraden g und h entspricht dem Abstand der beiden
zueinander parallelen Ebenen G und H mit $\ [mm] g\subset [/mm] G$
und $\ [mm] h\subset [/mm] H$
LG
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Naja, um den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden zu berechnen macht man das dann anschließend so, dass man den Normalenvektor normiert, dann haben wir ja den Normaleneinheitsvektor [mm] n_0. [/mm] Und dann gibt es doch eine Formel: d= [mm] |(p-q)*n_0|. [/mm] Was ist das denn dann für ein Abstand?
Achso, p und q sind dabei die Stützvektoren der beiden Geraden.
|
|
|
| |
|
> Naja, um den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden zu
> berechnen macht man das dann anschließend so, dass man den
> Normalenvektor normiert, dann haben wir ja den
> Normaleneinheitsvektor [mm]n_0.[/mm] Und dann gibt es doch eine
> Formel: d= [mm]|(p-q)*n_0|.[/mm] Was ist das denn dann für ein
> Abstand?
Der gesuchte.
> Achso, p und q sind dabei die Stützvektoren der beiden
> Geraden.
Genau.
Und die obige Formel ist das Ergebnis der Überlegungen mit
den beiden parallelen Ebenen (beide mit demselben
Normalenvektor [mm] \vec{n}_0 [/mm] ) und mit ihren Gleichungen in
der "Hesseschen Normalform" ("HNF") .
LG, Al-Chw.
|
|
|
|
