Abstand zwischen zwei Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Mo 23.06.2008 | | Autor: | angeline |
Guten Morgen nochmal an alle ,
die Frage lautet:
der euklidische Raum der PolynomeR<_2[x] mit dem Skalarprodukt <p,q>:= [mm] \int_{-1}^{1} p^x\,q^x\, [/mm] dx wird betrachtet
Berechne Die Quadrate der Abstände
[mm] d^2_1,2=||p1-p2||^2
[/mm]
[mm] d^2_2,3=||p2-p3||^2
[/mm]
[mm] d^2_1,3=||p1-p3||^2
[/mm]
Zwischen folgenden Polynomen
[mm] p1(x):=-3+0x+4x^2
[/mm]
[mm] p2(x):=-2+3x+3x^2
[/mm]
[mm] p3(x):=-1-2x+2x^2
[/mm]
ich habe bis jetzt so gerechnet ,aber weiss nicht ob ich richtig vorgehe :
für [mm] d^2_1,2
[/mm]
habe ich die beiden Polynome zusammen addiertbzw. subtrahiert und bekam : -17+12x
[mm] (-17+12x)(-17+12x)=289-408x+144x^2
[/mm]
ich weiss nicht jetzt wie ich weiter gehen soll,sollte ich jetzt die Stammfunktion berechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss Angeline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Mo 23.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Jetzt bilde mal
[mm] <(-17+12x);(-17+12x)>=\integral_{-1}^{1}(-17+12x)*(-17+12x)=...
[/mm]
Und natürlich brauchst du dafür irgendwann mal die Stammfunktion.
Ich vermute mal stark, das Skalarprod. ist definiert als [mm] \integral_{-1}^{1}p(x)*q(x)dx, [/mm] weil
[mm] \integral_{-1}^{1}p^{x}*q^{x}dx [/mm] kein Skalarprodukt ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mo 23.06.2008 | | Autor: | angeline |
dankeschön ,ja das ist richtig ,wie du es geschrieben hast ,ich habe da ein Tippfehler gemacht.
[mm] (-17x+(12/2)x^2)*(-17x+(12/2)x^2)so [/mm] vielleicht?
gruss Angeline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mo 23.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du suchst:
[mm] \parallel{p_{1}-p_{2}}\parallel^{2}
[/mm]
[mm] =\left(<(p_{1}-p_{2});(p_{1}-p_{2})>\right)^{2}
[/mm]
[mm] =(<(-17+12x);(-17+12x)>)^{2}
[/mm]
[mm] =\left(\integral_{-1}^{1}(-17+12x)(-17+12x)dx\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\left(\integral_{-1}^{1}289-408x+144x²\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\left([F(1)-F(-1)]\right)^{2}
[/mm]
Die Stammfunktion F zu f(x)=289-408x+144x² zu ermitteln, überlasse ich dann mal dir.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 23.06.2008 | | Autor: | angeline |
die Stammfunktion lautet :
[mm] 289x-(408/2)x^2+(144/3)x^3 [/mm]
wie soll ich jetzt weitergehen
(ausserdem dankeschön für dein Geduld:) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mo 23.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> die Stammfunktion lautet :
> [mm]289x-(408/2)x^2+(144/3)x^3[/mm]
Vereinfache das mal noch zu F(x)=289x-204x²+48x³
> wie soll ich jetzt weitergehen
> (ausserdem dankeschön für dein Geduld:) )
Und jetzt Berechne
[mm] \left([F(1)-F(-1)]\right)^{2}
[/mm]
Als Ergebnis solltest du eine Zahl erhalten.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mo 23.06.2008 | | Autor: | angeline |
also der Abstand ist 133 ,aber ist es nicht zu gross
( ich berechne gleich die anderen Abstände ,ganz kurz warten bitte:))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 23.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nachgerechnet habe ich das jetzt nicht. Aber das, was du ermittelt hast, ist das Quadrat des Abstandes.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 23.06.2008 | | Autor: | angeline |
falls du ausgerechnet hast
habe ich [mm] d^2_2,3=23,13
[/mm]
[mm] d^2_1,3=2,3
[/mm]
dankeschön für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mo 23.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich nehme mal an, dass das die Werte für d sind, und nicht die Werte für d². nachgerechnet habe ich das jetzt nicht.
Marius
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