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| Aufgabe | Wo muss ein Punkt P auf OD liegen, damit der Punkt E zum Punkt P einen größeren Abstand hat als zum Punkt F?
O (0; 0; 0)
D (0; 0; 5)
E (3; 0; 5)
F (0; 3; 5) |
Sorry, aber ich weiß nicht, wo ich beginnen soll.
Mehr als den Abstand von E zu F habe ich bisher nicht errechnet [mm] (\wurzel{18} [/mm] LE). Mit welcher Gleichung erhält man denn Punkt P? Er muss ja auf der z-Achse liegen, aber weiter...
Ich danke Euch für Eure Vorschläge!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Fr 14.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Wo muss ein Punkt P auf OD liegen, damit der Punkt E zum
> Punkt P einen größeren Abstand hat als zum Punkt F?
>
> O (0; 0; 0)
> D (0; 0; 5)
> E (3; 0; 5)
> F (0; 3; 5)
> Sorry, aber ich weiß nicht, wo ich beginnen soll.
ok, dann überlege mal einfach so:
1. Wie könnte man die Menge aller Punkte (einfach und anschaulich) nennen, die vom Punkt E den selben Abstand haben, wie E vom Punkt F?
Wenn du nicht darauf kommst, zeichne dir 2 beliebige verschiedene Punkte E und F auf ein Blatt Papier und suche Punkte, die von E den selben Abstand haben wie E von F. Spätestens dann sollte es klar sein.
2. Wo soll (unter Verwendung des Begriffes unter 1.) dann gemäß Aufgabe der Punkt P liegen?
3. Rechnerisch: Ermittle den Schnitt der Punktmenge aus (1) mit der Geraden durch O und D. Aus den Parameterwerten kannst du leicht den gesuchten Bereich angeben.
> Mehr als den Abstand von E zu F habe ich bisher nicht
> errechnet [mm](\wurzel{18}[/mm] LE). Mit welcher Gleichung erhält
> man denn Punkt P? Er muss ja auf der z-Achse liegen, aber
> weiter...
LG
Will
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Anhand der Beschreibung kann ich keine Rechnung durchführen.
Ich habe ein Bild im Kopf, wo der Punkt P mindestens liegen muss, sodass der Abstand EP > EF. Aber die rechnerische Herangehensweise kann ich mir daraus nicht erschließen.
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Schade eigentlich. koepper gibt Dir einen guten Tipp!
Ich versuche das nur mal anders zu sagen.
Stell Dir mal E und F durch eine Strecke verbunden vor, deren Mittelpunkt markiert ist. Dann gibt es zwei Teile der Strecke, und es ist klar, auf welchem Teil ein Punkt liegen muss, der weiter von E entfernt ist als von F.
Durch diesen Punkt geht eine Ebene, deren Normalenvektor kollinear zu [mm] \overrightarrow{EF} [/mm] ist; anders gesagt: die von der Strecke [mm] \overline{EF} [/mm] senkrecht durchstoßen wird.
Der Raum wird von dieser Ebene geteilt, sozusagen in den Herrschaftsbereich von E und den von F.
Jetzt musst Du nur noch herausfinden, welcher Teil der Strecke [mm] \overline{OD} [/mm] auf der F-Seite des Raums liegt. Zu diesem Streckenteil gehört auch der Punkt P.
...und wenn Du Dir das alles vorstellen kannst, dann kannst Du es auch rechnen.
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| Aufgabe | Wo muss ein Punkt P auf OD liegen, damit der Punkt E zum Punkt P einen größeren Abstand hat als zum Punkt F?
O (0; 0; 0)
D (0; 0; 5)
E (3; 0; 5)
F (0; 3; 5)
gesucht: P |
P muss auf OD liegen & nicht auf EF. Habe ich die Aufgabe falsch verstanden?
Da EF = [mm] \wurzel{18} [/mm] LE ist muss EP > [mm] \wurzel{18} [/mm] LE sein. Soweit meine Überlegung. Anhand der Skizze sehe ich auch, wo P auf der z-Achse etwa liegen müsste.
Die Überlegungen der User bisher verwirren mich vollends.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 So 16.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Opfer,
> Wo muss ein Punkt P auf OD liegen, damit der Punkt E zum
> Punkt P einen größeren Abstand hat als zum Punkt F?
>
> O (0; 0; 0)
> D (0; 0; 5)
> E (3; 0; 5)
> F (0; 3; 5)
>
> gesucht: P
> P muss auf OD liegen & nicht auf EF. Habe ich die Aufgabe
> falsch verstanden?
>
> Da EF = [mm]\wurzel{18}[/mm] LE ist muss EP > [mm]\wurzel{18}[/mm] LE sein.
> Soweit meine Überlegung. Anhand der Skizze sehe ich auch,
> wo P auf der z-Achse etwa liegen müsste.
die Menge aller Punkte, die von E genau den Abstand [mm] $\sqrt{18}$ [/mm] haben, bilden eine Kugel um den Mittelpunkt E mit Radius $r = [mm] \sqrt{18}$.
[/mm]
Berechne die beiden Schnittpunkte der Geraden durch O und D mit dieser Kugel. Alles was von dieser Geraden außerhalb der Kugel, aber noch zwischen O und D liegt, bildet die gesuchte Punktmenge.
LG
Will
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Ich habe eine Lösung über einen - wie ich finde - etwas seltsamen Weg erhalten.
[mm] \overrightarrow{EF} [/mm] = [mm] \wurzel{18} [/mm] LE
[mm] \overrightarrow{EP} [/mm] = [mm] \wurzel{(P_{x} - E_{x})^{2} + (P_{y} - E_{y})^{2} + (P_{z} - E_{z})^{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{18} [/mm] LE = [mm] \wurzel{(0 - 3)^{2} + (z - 5)^{2}}
[/mm]
(z - [mm] 5)^{2} [/mm] = 9
[mm] z^{2} [/mm] - 10z + 25 = 9
[mm] z^{2} [/mm] - 10z + 16 = 0
[mm] [z_{1} [/mm] = 8]
[mm] z_{2} [/mm] = 2
Jetzt weiß ich also, dass P (0; 0; 2) zu E den Abstand von [mm] \wurzel{18} [/mm] LE hat. Soll der Abstand EP größer als [mm] \wurzel{18} [/mm] LE sein, so muss [mm] z_{P} [/mm] < 2.
Eine mögliche Lösung: P (0; 0; 1,9)
Inwiefern könnte der Lösungsweg von meiner Lehrerin anerkannt werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 16.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ich habe eine Lösung über einen - wie ich finde - etwas
> seltsamen Weg erhalten.
>
> [mm]\overrightarrow{EF}[/mm] = [mm]\wurzel{18}[/mm] LE
>
> [mm]\overrightarrow{EP}[/mm] = [mm]\wurzel{(P_{x} - E_{x})^{2} + (P_{y} - E_{y})^{2} + (P_{z} - E_{z})^{2}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{18}[/mm] LE = [mm]\wurzel{(0 - 3)^{2} + (z - 5)^{2}}[/mm]
>
> (z - [mm]5)^{2}[/mm] = 9
> [mm]z^{2}[/mm] - 10z + 25 = 9
> [mm]z^{2}[/mm] - 10z + 16 = 0
> [mm][z_{1}[/mm] = 8]
> [mm]z_{2}[/mm] = 2
>
> Jetzt weiß ich also, dass P (0; 0; 2) zu E den Abstand von
> [mm]\wurzel{18}[/mm] LE hat. Soll der Abstand EP größer als
> [mm]\wurzel{18}[/mm] LE sein, so muss [mm]z_{P}[/mm] < 2.
genauer: $0 [mm] \le z_p [/mm] < 2$.
> Eine mögliche Lösung: P (0; 0; 1,9)
ja.
> Inwiefern könnte der Lösungsweg von meiner Lehrerin
> anerkannt werden?
wenn du deine Überlegungen noch präzise kommentierst, wird er das sicher.
LG
Will
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Richtig - den Intervall muss ich beachten.
Vielen, vielen Dank für die Hilfe!!!
Einen schnittigen Start in die Woche!
Bye
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