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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 04.05.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Sei X ein metrische RAum und A [mm] \subseteq [/mm] X eine nichtleere Teilmenge. Der Abstand eines Punktes x [mm] \in [/mm] X von A ist definiert als
d(x,A):= inf { d(x,a) : a [mm] \in [/mm] A}.
Zeigen Sie
a) d(x,A) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,A) für alle x,y [mm] \in [/mm] X.
b) Die Funktion x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) ist Lipschitzstetig auf X. Geben Sie eine (gute) Lipschitzkonstante an.
Wir betrachten nun eine abgeschlossene Teilmenge A:
c)Zeigen Sie, dass es zu jedem x [mm] \in [/mm] X einen Punkt a [mm] \in [/mm] A mit d(x,A) = d(x,a) gibt. Geben Sie ein Beispiel für eine nicht abgeschlossene Menge an, bei der die Behauptung falsch ist.
d) Beweisen Sie: d(x,A) = 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A |
hallo,
also zu a)
da hab ich mir überlegt dass man vielleicht die normale dreiecksungleichung für metrische Räume irgendwie verwenden kann um dann die dreiecksungleichung zu zeigen. aber ich weiß auch nicht ob dieser Ansatz überhaupt richtig und und wenn ja wie soll ich das denn machen???
zu b)
man muss also zeigen das es lipschitz-stetig ist, dazu muss ich glaub ich
x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A)
d(y,A)
abschätzen und eine lipschitzkonstante finden. ist das denn richtig? und wie soll ich das machen?
c) dadurch das es eine abgeschlossene teilmenge ist, kann man ja mit folgen arbeiten. kann ich das irgendwie anwenden?
d) als vorrausetzung hab ich ja die abgeschlossenheit. aber wie kann ich denn den beweis anfangen?
es wär echt schön wenn mir da einer helfen könnte, sonst bin ich echt aufgeschmissen ...
lg
sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo sabrina!
> Sei X ein metrische RAum und A [mm]\subseteq[/mm] X eine nichtleere
> Teilmenge. Der Abstand eines Punktes x [mm]\in[/mm] X von A ist
> definiert als
> [mm] d(x,A):= \inf \{ d(x,a) : a \in A\}[/mm].
>
> Zeigen Sie
> a) d(x,A) [mm]\le[/mm] d(x,y) + d(y,A) für alle x,y [mm]\in[/mm] X.
> b) Die Funktion x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A) ist Lipschitzstetig auf
> X. Geben Sie eine (gute) Lipschitzkonstante an.
>
> Wir betrachten nun eine abgeschlossene Teilmenge A:
> c)Zeigen Sie, dass es zu jedem x [mm]\in[/mm] X einen Punkt a [mm]\in[/mm] A
> mit d(x,A) = d(x,a) gibt. Geben Sie ein Beispiel für eine
> nicht abgeschlossene Menge an, bei der die Behauptung
> falsch ist.
> d) Beweisen Sie: d(x,A) = 0 [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A
> hallo,
>
> also zu a)
> da hab ich mir überlegt dass man vielleicht die normale
> dreiecksungleichung für metrische Räume irgendwie verwenden
> kann um dann die dreiecksungleichung zu zeigen. aber ich
> weiß auch nicht ob dieser Ansatz überhaupt richtig und und
> wenn ja wie soll ich das denn machen???
Das scheint mir ein guter Ansatz zu sein. Fang doch mal an:
Für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und $x,y [mm] \in [/mm] X$ gilt: $d(x,a) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,a) $.
> zu b)
> man muss also zeigen das es lipschitz-stetig ist, dazu muss
> ich glaub ich
> x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A)
> d(y,A)
> abschätzen und eine lipschitzkonstante finden. ist das denn
> richtig? und wie soll ich das machen?
Das habe ich nicht verstanden. Lipschitz-Stetigkeit bedeutet:
[mm]\forall x,y\in X : |d(x,A)-d(y,A)|\le L*d(x,y) [/mm]
Benutze das Ergebnis von a)
> c) dadurch das es eine abgeschlossene teilmenge ist, kann
> man ja mit folgen arbeiten. kann ich das irgendwie
> anwenden?
Ja. Bedenke: Lipschitz-Stetigkeit bedeutet insbesondere, dass das Bild einer Cauchyfolge wieder eine Cauchyfolge ist.
> d) als vorrausetzung hab ich ja die abgeschlossenheit. aber
> wie kann ich denn den beweis anfangen?
Benutze das Ergebnis von c)
Was bedeutet es, wenn es ein [mm] $x_0\inA$ [/mm] gibt, sodass [mm] $d(x,x_0)=0$ [/mm] ist?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 04.05.2008 | | Autor: | skydyke |
hallo rainerS,
danke für die hilfe, hat mir bis jetzt schon mal gut weitergeholfen.
also zu a) hab ich dann:
d(x,a) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,a)
da die gleichung auch für kleinere elemente gilt, sprich das infinum, folgt
inf(d(x,a)) [mm] \le [/mm] d(x,y) + inf(d(y,a)
[mm] \Rightarrow [/mm] d(x,A) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,A)
zu b)
da nimmt man dann die dreiecksungleinung aus a:
d(x,A) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,A)
[mm] \Rightarrow [/mm] d(x,A) - d(y,A) [mm] \le [/mm] d(x,y)
durch ein hinzufügen von konstanten auf der rechten seite würde nichts an der ungleichung ändern und man erhält dann:
d(x,A) - d(y,A) [mm] \le [/mm] L * d(x,y)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) ist L-stetig auf X.
aber was ist denn jetzt eine gut gewählte L-konstante? kann ich mir die einfach aussuchen, so wie zum beispiel L=1/2 ???
zu c)
da hab ich mir jetzt erst einmal eine folge [mm] z_n \in [/mm] d(x,A) genommen. das wär mein ansatz mit der folge. aber was kann ich denn jetzt damit machen, so ganz versteh ich das nicht.
zu d)
da hab ich d(x,A) = 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A
aus c hab ich
d(x,A)=d(x,a)
d(x,a)=0 [mm] \gdw [/mm] x=a ist
aber wie kann ich denn jetzt weiter machen?
danke für die hilfe
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Mo 05.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo sabrina!
> hallo rainerS,
> danke für die hilfe, hat mir bis jetzt schon mal gut
> weitergeholfen.
>
> also zu a) hab ich dann:
> d(x,a) [mm]\le[/mm] d(x,y) + d(y,a)
> da die gleichung auch für kleinere elemente gilt, sprich
> das infinum, folgt
> inf(d(x,a)) [mm]\le[/mm] d(x,y) + inf(d(y,a)
> [mm]\Rightarrow[/mm] d(x,A) [mm]\le[/mm] d(x,y) + d(y,A)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b)
> da nimmt man dann die dreiecksungleinung aus a:
> d(x,A) [mm]\le[/mm] d(x,y) + d(y,A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] d(x,A) - d(y,A) [mm]\le[/mm] d(x,y)
> durch ein hinzufügen von konstanten auf der rechten seite
> würde nichts an der ungleichung ändern und man erhält
> dann:
> d(x,A) - d(y,A) [mm]\le[/mm] L * d(x,y)
Naja, nicht für beliebige Werte von L. Du hast aus der Dreiecksungleichung
(*) [mm] d(x,A) - d(y,A) \le d(x,y) \le L * d(x,y)[/mm].
Für welche Werte von L ist dies wahr bzw falsch?
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A) ist L-stetig auf X.
> aber was ist denn jetzt eine gut gewählte L-konstante?
> kann ich mir die einfach aussuchen, so wie zum beispiel
> L=1/2 ???
Wenn du dir (*) anschaust, springt dir doch ein bestimmter Wert von L direkt ins Auge!
> zu c)
> da hab ich mir jetzt erst einmal eine folge [mm]z_n \in[/mm] d(x,A)
> genommen. das wär mein ansatz mit der folge. aber was kann
> ich denn jetzt damit machen, so ganz versteh ich das
> nicht.
Ich verstehe nicht, was du mit [mm]z_n \in d(x,A)[/mm] meinst.
Ich würde eine Cauchyfolge [mm] $z_n\in [/mm] A$ suchen mit der Eigenschaft: [mm] $d(x,z_n)$ [/mm] konvergiert gegen $d(x,A)$. Kannst du so eine Folge immer finden?
Wenn du eine solche Folge hast, dann folgt aus der Abgeschlossenheit von A: [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty} z_n\in [/mm] A$.
> zu d)
> da hab ich d(x,A) = 0 [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A
> aus c hab ich
> d(x,A)=d(x,a)
Genauer gesagt: es gibt ein [mm] $a\in [/mm] A$, sodass $d(x,A)=d(x,a)$.
> d(x,a)=0 [mm]\gdw[/mm] x=a ist
> aber wie kann ich denn jetzt weiter machen?
Es ist doch [mm] $a\in [/mm] A$, also...?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mo 05.05.2008 | | Autor: | skydyke |
vielen dank für die hilfe :)
also zu b)
für mein L gilt doch :
0 < L [mm] \le [/mm] 1, ehrlich gesagt seh ich nicht für welche L werte die ungleichung stimmt oder nicht stimmt. das einzige was ich verstehe ist, dass L größer sein muss als d(x,A)-d(y,A). aber wie kann ich denn jetzt L bestimmen, ich weiß ja auch nicht den wert von dieser differenz, das einzige was ich weiß ist das es das Infinum ist.
c) versteh ich erhrlich gesagt nicht ganz. kann ich nicht einfach annehmen, dass die folge [mm] z_n \in [/mm] A die eigenschaft hat, das sie gegen d(x,A) konvergiert???
zu d)
>
> Genauer gesagt: es gibt ein [mm]a\in A[/mm], sodass [mm]d(x,A)=d(x,a)[/mm].
>
> > d(x,a)=0 [mm]\gdw[/mm] x=a ist
> > aber wie kann ich denn jetzt weiter machen?
>
> Es ist doch [mm]a\in A[/mm], also...?
>
> Viele Grüße
> Rainer
also gilt wenn a [mm] \in [/mm] A ist muss auch x [mm] \in [/mm] A sein, da eine gleichheit besteht. reicht das als begründung?
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 05.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie willst du denn aus deinen Gleichungen etwa L=0,5 beweisen?
Immer die bewiesenen Ungl ne Weile ansehen!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mo 05.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo sabrina!
> c) versteh ich erhrlich gesagt nicht ganz. kann ich nicht
> einfach annehmen, dass die folge [mm]z_n \in[/mm] A die eigenschaft
> hat, das sie gegen d(x,A) konvergiert???
Da wirfst du zwei Dinge durcheinander. [mm]z_n\in A[/mm] kann nicht gegen $d(x,A)$ konvergieren, sondern nur gegen einen Punkt [mm] $a\in [/mm] A$: die Folge liegt in A, aber $d(x,A)$ hat Werte in [mm] $\IR$.
[/mm]
Ist dir anschaulich klar, warum für eine abgeschlossene Menge ein [mm] $a\in [/mm] A$ existiert, sodass $d(x,A) = d(x,a)$ ?
Nimm dir folgendes Beispiel: Unser metrischer Raum X sei der [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der üblichen Abstandsfunktion.
Sei nun A die offene Einheitskreisscheibe: [mm] $A=\{(x_1,x_2)\in\IR^2 : x_1^2+x_2^2 < 1\}$.
[/mm]
Jetzt nehme ich mir den Punkt $x=(2,0)$. Mach dir klar, dass $d(x,A)=1$. Es gibt aber keinen Punkt [mm] $a\in [/mm] A$ ,für den gilt $d(x,a)=1$.
Jetzt nehmen wir für A die abgeschlossene Einheitskreisscheibe: [mm] $A=\{(x_1,x_2)\in\IR^2 : x_1^2+x_2^2 \le 1\}$.
[/mm]
Es ist wieder $d(x,A)=1$. Jetzt gibt es aber den Punkt $a=(1,0)$, für den $(d,x,a)=1$ ist.
Diese Überlegung musst du auf beliebige Teilmengen eines beliebigen metrischen Raumes verallgemeinern.
Wichtig dabei ist, dass die Abbildung [mm] $x\mapsto [/mm] d(x,a)$ eine stetige Abbildung ist.
Du musst zeigen, dass bei einer abgeschlossenen Menge A das Infimum [mm] $\inf\{d(x,a) : a\in A\}$ [/mm] immer angenommen wird. Denn dann gibt es ein [mm] $a\in [/mm] A$, sodass $d(x,A)$ zu dieser Menge dazugehört.
Eine Möglichkeit, das zu zeigen, ist eben, eine Cauchyfolge [mm] $z_n\in [/mm] A$ zu nehmen, für die
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} d(x,z_n) = d(x,A) [/mm]
Kann es eine solche Folge immer geben? Da die Menge [mm] M=$\{d(x,a) : a\in A\} [/mm] $ ein Infimum hat, gibt es immer eine Folge [mm] $y_n\in \{d(x,a) : a\in A\}$, [/mm] die von oben gegen das Infimum konvergiert. Daher gibt es immer eine Folge [mm] $z_n \in [/mm] A$ mit [mm] $d(x,z_n)=y_n$.
[/mm]
Kommst du alleine weiter? (Was hat die Abgeschlossenheit von A mit dem Grenzwert der Folge [mm] $z_n$ [/mm] zu tun?)
> zu d)
>
> >
> > Genauer gesagt: es gibt ein [mm]a\in A[/mm], sodass [mm]d(x,A)=d(x,a)[/mm].
> >
> > > d(x,a)=0 [mm]\gdw[/mm] x=a ist
> > > aber wie kann ich denn jetzt weiter machen?
> >
> > Es ist doch [mm]a\in A[/mm], also...?
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> also gilt wenn a [mm]\in[/mm] A ist muss auch x [mm]\in[/mm] A sein, da eine
> gleichheit besteht. reicht das als begründung?
Ja, mehr steckt nicht dahinter.
Viele Grüße
Rainer
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