Abstandsproblem Gram-Schmidt < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $A = [mm] \begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 &4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}_{sym}.
[/mm]
(a) Zeigen Sie das $A$ positiv definit ist
(b) Sei $B = [mm] (B_1,B_2,B_3)$ [/mm] eine Basis eines Euklidischen Vektorraums [mm] $(\mathcal{V}, \Phi)$ [/mm] mit [mm] ${}_B \Phi^B [/mm] = A$. Bestimmen Sie den Abstand von $V := [mm] 2B_1 [/mm] - [mm] 3B_2$ [/mm] und [mm] $\mathcal(U) [/mm] := [mm] \left \langle B_1, B_2 + B_3 \right \rangle. [/mm] |
Das ist eine Klausuraufgabe aus der 1. Klausur Lineare Algebra 1. Ich verstehe den Lösungsweg nicht:
Musterlösung: Wir nehmen zunächst an, $A$ sei positiv definit und bestimmen OG-Basen von [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{U}^\perp$.
[/mm]
Sei [mm] $V_1 [/mm] = [mm] B_1$ [/mm] Dann ist [mm] $\Phi(V_1,V_2) [/mm] = 2$. Weiter sei [mm] $V_2 [/mm] = [mm] B_2 [/mm] + [mm] B_3 [/mm] - [mm] \frac{\Phi(V_1,B_2+B_3)}{\Phi(V_1,V_1)}V_1 [/mm] = [mm] B_2 [/mm] + [mm] B_3 [/mm] + [mm] \frac{-1-1}{2}B_1 [/mm] = [mm] B_1 [/mm] + [mm] B_2 [/mm] + [mm] B_3$
[/mm]
Dann gillt [mm] $\Phi(V_2,V_2) [/mm] = 2+2+4+2(-1-1-1) = 2$.
Wegen [mm] $B_2 \notin \mathcal{U} [/mm] setzen wir [mm] $V_3 [/mm] = [mm] B_2 [/mm] - [mm] \frac{\Phi(V_1,B_2)}{\Phi(V_1,V_1)}V_2= B_2 [/mm] - [mm] (-\frac{1}{2})B_1 [/mm] - 0 = [mm] \frac{1}{2}B_1 [/mm] + [mm] B_2$. [/mm] Dann gilt [mm] $\Phi(V_3,V_3) [/mm] = [mm] \frac{2}{4} [/mm] - 1 +2 [mm] =\frac{3}{2}$.
[/mm]
Also erfüllt $T = [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in [/mm] GL(3, [mm] \mathbb{R})$ [/mm] die Gleichung [mm] $T^{tr}AT [/mm] = [mm] Diag(2,2,\frac{3}{2})$. [/mm] Daher ist $A$ positiv definit$. Weiter sind [mm] $(V_1,V_2)$ [/mm] und [mm] $(V_3)$ [/mm] OG-Basen von [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{U}^{\perp}$. [/mm] Ferner ergibt sich der Abstand von $V$ und [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] zu
[mm] $$\mid \pi_{\mathcal{U}^{\perp}}(U)\mid [/mm] = [mm] \mid \pi_{\mathcal{U}^{\perp}}(2B_1 [/mm] - [mm] 3B_2)\mid \stackrel{=}{B_1 \in \mathcal{U}} \mid \pi_{\mathcal{U}^{\perp}}(3B_2) \mid [/mm] = [mm] \left \mid \frac{\Phi(V_3,3B_2)}{\Phi(V_3,V_3)}V_3 \right \mid [/mm] = [mm] \left\mid \frac{3(-\frac{1}{2}+2)}{\frac{3}{2}} \right\mid \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} [/mm] = [mm] 3\sqrt{\frac{3}{2}}$$
[/mm]
Falls man $V = 7 / [mm] 2V_1 [/mm] - [mm] 3V_3 \in \mathcal{U} \oplus \mathcal{U}^{\perp}$ [/mm] sofort sieht, so erhält man [mm] $\mid \pi_{\mathcal{U}^{\perp}}(V)$ [/mm] = [mm] \mid 3V_3\mid$ [/mm] natürlich schneller
Ok, ich versteh wirklich nicht viel:
Zunächst wird zu Begin das Gram-Schmidt-Verfahren zur Bestimmung der OrthogonalBasen verwendet. Ok falls das klappt, erhalten wir eine invertierbare Matrix $T$ die Spaltenweise aus den Basisverktoren der OG-Basis besteht. Die Existenz dieser Matrix ist äquivalent zur positiven Definitheit der Grammatrix.
Hier hört mein Verständnis dann aber auch schon auf.
Insebosndere verstehe nicht mal im Ansatz wie der Abstand da berechnet wird, vorallem wovon berechnen wir den Abstand? (2 geraden? 2 ebenen? oder was ganz anderes?)
*help*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
auch wenn ich nun nicht die einzelnen Rechenschritte durchsehe, möchte ich Dir kurz die Idee erklären, die hinter dieser Vorgehensweise steckt: Du sollst untersuchen, ob eine gegebene Matrix $A$ positiv definit ist. Für die positive Definitheit gibt es eine Menge äquivalenter Definitionen. Eine mögliche (die hier verfolgt wird) ist: Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte streng größer als Null sind. Das Resultat des Gram-Schmidt Verfahrens ist eine Diagonalisierung der Matrix $A$, d.h. Du erhälst zunächst eine Transformationsmatrix
[mm] $P:=\begin{pmatrix}1 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
die Deine Matrix $A$ wie folgt diagonalisiert
[mm] $P^{T}AP=D$
[/mm]
mit
[mm] $D:=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$
[/mm]
Diese Matrix $D$ enthält auf der Diagonalen gerade die Eigenwerte Deiner Matrix $A$. Da diese allesamt streng größer als Null sind, ist (siehe oben) Deine Matrix $A$ positiv definit. Damit sollte die Idee, die hinter dieser Vorgehensweise steckt, geklärt sein. Nun musst Du nur noch die Rechnungen das Gram-Schmidt-Verfahrens nachvollziehen, dann hast Du den Teil (a) verstanden. Für das Gram-Schmidt-Verfahren siehe mal unter dem folgenden Link und folge der dortigen Vorgehensweise
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt
Lieben Gruß
Denny
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Danke schonmal,
bis dahin hatte ich das ganze aber schon einigermaßen verstanden! der Wichtige Teil ist aber der zu teil b). da verstehe ich wirklich nichts!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 So 27.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> Insebosndere verstehe nicht mal im Ansatz wie der Abstand
> da berechnet wird, vorallem wovon berechnen wir den
> Abstand? (2 geraden? 2 ebenen? oder was ganz anderes?)
Du berechnest den Abstand von einem Punkt (nämlich dem mit Ortsvektor [mm] $V:=2B_1-3B_3$) [/mm] zur Ebene [mm] $U=\left\langle B_1, B_2 + B_3 \right\rangle$.
[/mm]
Der Ansatz ist, wie auch dasteht, dass dieser Abstand gleich [mm] $\|\pi_{U^\perp}(V)\|$ [/mm] ist, m.a.W. du projezierst V orthogonal auf die Gerade Senkrecht zu U und schaust dir davon die Länge an. Alles was dann folgt ist nur das rumrechnen, unter Beachtung dass [mm] $\pi_{U^\perp}(V)=\frac{\Phi(V_3,V)}{\Phi(V_3,V_3)}V_3$ [/mm] ist.
Gruß, Robert
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Hi,
danke schonmal für die Tipps.
Ich bin jetzt nach mehrfachen Anläufen und einigen ähnlichen Aufgaben endlich dahinter gestiegen was hier eigentlich passiert ;)
Eine kleine Sache habe ich aber noch nciht rausbekommen. und zwar wird ja im letzten Schritt folgendes berechnet:
[mm]\mid \pi_{\mathcal{U}^{\perp}}(U)\mid = \mid \pi_{\mathcal{U}^{\perp}}(2B_1 - 3B_2)\mid \stackrel{=}{B_1 \in \mathcal{U}} \mid \pi_{\mathcal{U}^{\perp}}(3B_2) \mid = \left \mid \frac{\Phi(V_3,3B_2)}{\Phi(V_3,V_3)}V_3 \right \mid = \left\mid \frac{3(-\frac{1}{2}+2)}{\frac{3}{2}} \right\mid \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}}[/mm]
So das allerletzte Gleichheitszeichen konnte ich noch nicht nachvollziehen. und zwar wie kommt man auf die [mm] $\sqrt{\frac{3}{2}}. [/mm] Die müssen ja aus [mm] $\mid V_3 \mid$ [/mm] entstehen. die beiden Skalare davor lassen sich mit Hinweis auf Bilinearität, leicht auflösen und man erhält das gewünschte
[mm] $\frac{3(-\frac{1}{2}+2)}{\frac{3}{2}} [/mm] = 3$. Die [mm] $\sqrt{\frac{3}{2}}$ [/mm] müssen also aus [mm] $\mid V_3 \mid [/mm] = [mm] \mid -\frac{1}{2}B_1 [/mm] + [mm] B_2 \mid [/mm] entstanden sein.
Aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mo 28.09.2009 | | Autor: | pelzig |
[mm] $\|V_3\|^2=\Phi(V_3,V_3)=(-1/2,1,0)\cdot A\cdot (-1/2,1,0)^T=(-1/2,1,0)\cdot(-2,5/2,-1/2)=1+2.5=7/2\Rightarrow\|V_3\|=\sqrt{7/2}$. [/mm] Irgendwo ist jetzt noch ein Rechenfehler drin, aber so rechnet man das prinzipiell aus.
Gruß, Robert
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