Abstandsquadrat zwei Vektoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Di 08.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR^n, a\not= [/mm] 0 und b [mm] \not= [/mm] 0. Für welche Zahl x ist das Abstandsquadrat || b - xa [mm] ||^2 [/mm] minimal?
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Hallo Zusammen,
In diesem Fall sind a und b Vektoren aus einem beliebigen Vektoraum der Dimension n, also Parameter und keine Variablen. Die einzige Variable ist x und diese ist gesucht. Je nachdem wie viele Komponenten a und b haben, ergeben sich unterschiedlich viele Terme.
Ich habe es nun so gerechnet: || b - xa [mm] ||^2 [/mm] = 0 (es soll möglichst minimal werden)
(b - [mm] xa)^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] - 2bxa + [mm] x^2 a^2 [/mm] = 0 -> [mm] x^2 a^2 [/mm] - x 2ba + [mm] b^2 [/mm] = 0
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2ba \pm \wurzel{4b^2 a^2 - 4a^2 b^2}}{2a^2} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
Für x = [mm] \bruch{b}{a} [/mm] minimal.
Wahrscheinlich totaler Mist. Ich weiß nicht genau, was ich mit der allgemeinen Angabe "Seien a,b [mm] \in \IR^n, a\not= [/mm] 0 und b [mm] \not= [/mm] 0" genau anfange. Kann ich a und b beispielsweise aus [mm] \IR^2 [/mm] einfache wählen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Di 08.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du bist leider auf dem völlig falschen Weg.
Bestimme zuerst den "Verbindungsvektor" [mm] \vec{v}=\vec{b}-x*\vec{a}
[/mm]
Also hier: [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\\vdots\\v_{n}}=\vektor{b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n}}-x*\vektor{a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}}
[/mm]
[mm] =\vektor{b_{1}-xa_{1}\\b_{2}-xa_{2}\\\vdots\\b_{n}-xa_{n}}
[/mm]
Und von diesem bestimme dann die Länge [mm] \parallel\vec{v}\parallel, [/mm] und daraus dann das x so, dass [mm] \parallel\vec{v}\parallel^{2} [/mm] minimal wird.
Ein Tipp noch: Wie bestimmt man ein Minimum einer Funktion?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 09.12.2009 | | Autor: | itse |
> Hallo
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> Du bist leider auf dem völlig falschen Weg.
>
> Bestimme zuerst den "Verbindungsvektor"
> [mm]\vec{v}=\vec{b}-x*\vec{a}[/mm]
>
> Also hier:
> [mm]\vektor{v_{1}\\v_{2}\\\vdots\\v_{n}}=\vektor{b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n}}-x*\vektor{a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{b_{1}-xa_{1}\\b_{2}-xa_{2}\\\vdots\\b_{n}-xa_{n}}[/mm]
>
> Und von diesem bestimme dann die Länge
> [mm]\parallel\vec{v}\parallel,[/mm] und daraus dann das x so, dass
> [mm]\parallel\vec{v}\parallel^{2}[/mm] minimal wird.
Ich weiß aber nicht, wie viele Elemente die Vektoren haben. Es ergibt sich für jede Komponente:
$f(x) = [mm] (b_1 [/mm] - x [mm] a_1)^2+(b_2 [/mm] - x [mm] a_2)^2+...+(b_n [/mm] x [mm] a_n)^2$
[/mm]
> Ein Tipp noch: Wie bestimmt man ein Minimum einer
> Funktion?
Durch die 1. Ableitung = 0
$f'(x) = [mm] 2(b_1 [/mm] - x [mm] a_1)(-1)+2(b_2 [/mm] - x [mm] a_2)(-1)+...+2(b_n [/mm] x [mm] a_n)(-1) [/mm] = [mm] -2(b_1 [/mm] - x [mm] a_1) [/mm] - [mm] 2(b_2 [/mm] - x [mm] a_2)-...-2(b_n [/mm] x [mm] a_n) [/mm] = 0$
-> [mm] b_1-x a_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] - x [mm] a_2 [/mm] + ... + [mm] b_n [/mm] - x [mm] a_n [/mm] = 0 -> x = [mm] \bruch{b_1+b_2+...+b_n}{a_1+a_2+..+a_n}
[/mm]
Also Bespiel a sei [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] und b sei [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} [/mm] -> x = [mm] \bruch{3+9}{1+2} [/mm] = 4
Für das Abstandsquadrat ergibt sich [mm] ||\begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} [/mm] - 4 [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ||^2 [/mm] = [mm] ||\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} ||^2 [/mm] = [mm] (-1)^2+1^2 [/mm] = 2
Stimmt dies dann so mit der Formel für x?
Ich hätte doch auch direkt mit dem Abstandsquadrat arbeiten können, also ohne Verbidungsvektor indem ich die Länge, also nach Pythagoras richtig berechnet hätte, also [mm] ||x||^2 [/mm] = [mm] x_1^2+x_2^2+ [/mm] .. + [mm] x_n^2?
[/mm]
Mir hat es Schwierigkeiten bereitet, dass es allgemein berechnet werden soll, also keine Angabe wie viele Komponenten die Punkte a und b haben.
Grüße
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> >
> > Du bist leider auf dem völlig falschen Weg.
> >
> > Bestimme zuerst den "Verbindungsvektor"
> > [mm]\vec{v}=\vec{b}-x*\vec{a}[/mm]
> >
> > Also hier:
> >
> [mm]\vektor{v_{1}\\v_{2}\\\vdots\\v_{n}}=\vektor{b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n}}-x*\vektor{a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}}[/mm]
> >
> > [mm]=\vektor{b_{1}-xa_{1}\\b_{2}-xa_{2}\\\vdots\\b_{n}-xa_{n}}[/mm]
> >
> > Und von diesem bestimme dann die Länge
> > [mm]\parallel\vec{v}\parallel,[/mm] und daraus dann das x so, dass
> > [mm]\parallel\vec{v}\parallel^{2}[/mm] minimal wird.
>
> Ich weiß aber nicht, wie viele Elemente die Vektoren
> haben. Es ergibt sich für jede Komponente:
>
> [mm]f(x) = (b_1 - x a_1)^2+(b_2 - x a_2)^2+...+(b_n x a_n)^2[/mm]
>
> > Ein Tipp noch: Wie bestimmt man ein Minimum einer
> > Funktion?
>
> Durch die 1. Ableitung = 0
>
> [mm]f'(x) = 2(b_1 - x a_1)(-1)+2(b_2 - x a_2)(-1)+...+2(b_n x a_n)(-1) = -2(b_1 - x a_1) - 2(b_2 - x a_2)-...-2(b_n x a_n) = 0[/mm]
>
> -> [mm]b_1-x a_1[/mm] + [mm]b_2[/mm] - x [mm]a_2[/mm] + ... + [mm]b_n[/mm] - x [mm]a_n[/mm] = 0 -> x =
> [mm]\bruch{b_1+b_2+...+b_n}{a_1+a_2+..+a_n}[/mm]
>
> Also Bespiel a sei [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] und
> b sei [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}[/mm] -> x =
> [mm]\bruch{3+9}{1+2}[/mm] = 4
>
> Für das Abstandsquadrat ergibt sich [mm]||\begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}[/mm]
> - 4 [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ||^2[/mm] =
> [mm]||\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} ||^2[/mm] = [mm](-1)^2+1^2[/mm] =
> 2
>
> Stimmt dies dann so mit der Formel für x?
>
> Ich hätte doch auch direkt mit dem Abstandsquadrat
> arbeiten können, also ohne Verbidungsvektor indem ich die
> Länge, also nach Pythagoras richtig berechnet hätte, also
> [mm]||x||^2[/mm] = [mm]x_1^2+x_2^2+[/mm] .. + [mm]x_n^2?[/mm]
>
> Mir hat es Schwierigkeiten bereitet, dass es allgemein
> berechnet werden soll, also keine Angabe wie viele
> Komponenten die Punkte a und b haben.
Steht in der aufgabe nicht : a,b [mm] \in \IR^n [/mm] ?
FRED
>
> Grüße
> itse
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 09.12.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Steht in der aufgabe nicht : a,b [mm]\in \IR^n[/mm] ?
Ja, das steht in der Aufgabe. Je nachdem wie n gewählt wird, hat a und b unterschiedlich viele Komponenten, oder täusche ich mich da?
Stimmt meine Lösung?
Gruß
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mi 09.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Lösung stimmt soweit, auch wenn du evtl. etwas mehr Text drumherumschreiben solltest.
Du kannst das ganze nachher auch mit der Summenschreibeweise etwas "eleganter" aufschreiben.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien a,b [mm]\in \IR^n, a\not=[/mm] 0 und b [mm]\not=[/mm] 0. Für welche
> Zahl x ist das Abstandsquadrat || b - xa [mm]||^2[/mm] minimal?
>
>
> Hallo Zusammen,
>
> In diesem Fall sind a und b Vektoren aus einem beliebigen
> Vektoraum der Dimension n, also Parameter und keine
> Variablen. Die einzige Variable ist x und diese ist
> gesucht. Je nachdem wie viele Komponenten a und b haben,
> ergeben sich unterschiedlich viele Terme.
>
> Ich habe es nun so gerechnet: || b - xa [mm]||^2[/mm] = 0 (es soll
> möglichst minimal werden)
>
> (b - [mm]xa)^2[/mm] = [mm]b^2[/mm] - 2bxa + [mm]x^2 a^2[/mm] = 0 -> [mm]x^2 a^2[/mm] - x 2ba +
> [mm]b^2[/mm] = 0
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{2ba \pm \wurzel{4b^2 a^2 - 4a^2 b^2}}{2a^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
Mitternachtsformel, wehre Dich gegen einen derartigen Mißbrauch !
FRED
>
> Für x = [mm]\bruch{b}{a}[/mm] minimal.
>
>
> Wahrscheinlich totaler Mist. Ich weiß nicht genau, was ich
> mit der allgemeinen Angabe "Seien a,b [mm]\in \IR^n, a\not=[/mm] 0
> und b [mm]\not=[/mm] 0" genau anfange. Kann ich a und b
> beispielsweise aus [mm]\IR^2[/mm] einfache wählen?
>
> Gruß
> itse
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