Abwandlung Satz-Beweis < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mit (X,A) einem Messraum und [mm] \mu [/mm] , [mm] \lambda [/mm] beliebige positive Masse
a) Man zeige, dass der Satz von Radon-Nikodym für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] auch dann gilt, wenn
[mm] \lambda [/mm] << [mm] \mu [/mm] , [mm] \mu [/mm] endlich,
erfüllt, aber [mm] \lambda [/mm] nicht [mm] \sigma [/mm] -endlich ist.
Ratschlag: Verwende [mm] \lambda-n*\mu [/mm] hat Hahn-Zerlegung [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
b) Kann hier [mm] \frac{d\lambda}{d\mu} [/mm] reellwertig gewählt werden ? |
Den Ratschlag bei a) dürfen wir benutzen, ohne diesen zu beweisen.
a)
Hahn-Zerlegung:
[mm] \lambda-n\mu=( \lambda-n\mu)_+ [/mm] - [mm] (\lambda-n\mu)_-
[/mm]
Es ist nun zu zeigen, dass dann immer ein f X [mm] \rightarrow \IR_{\ge0} [/mm] existiert mit
[mm] \lambda(A)=\int_A fd\mu [/mm] . [mm] \IR_{\ge0} [/mm] weil oben steht, [mm] \lambda [/mm] sei positiv.
Ich habe noch keine gute Idee leider. Das einzige, was ich habe, ist diese Auflösung in einfache (messbaren) Funktionen mit dem Supremum [mm] \forall [/mm] 0 [mm] \le \phi \le [/mm] f :
[mm] \int_A [/mm] f [mm] d\mu=sup{ \int_A \phi d\mu } [/mm] = [mm] sup\{\sum_i w_i*\phi(A_i)\} [/mm] mit [mm] \cup_i A_i [/mm] =A , [mm] cap_i A_i [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] .
Was muss ich hier denn machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 02.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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