Abzählbar unendliche Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Mi 17.11.2010 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zeigen sie, dass die Mächtigkeit der folgenden zwei Mengen abzählbar unendlich ist:
(a) $M_1=\IN \cup {0}$
(b) $M_2=\IZ$ |
Die Menge $M_1$ ist doch genau dann abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung von $M_1$ nach $\IN$ gibt.
Ich habe folgende Abbildung aufgestellt:
$f: M_1 \rightarrow \IN \quad x \rightarrow (x-1)$
Dann weise ich die Bijektivität nach:
1. Injektivität:
Es muss gelten $f(x)=f(x') \rightarrow x=x'$
Also:
$x-1=x'-1$
$x=x'$
f ist also injektiv.
2.Surjektiv:
Für jedes $y \in \IN$ muss mindestens ein $x \in \M_1$ existieren.
Sei $r \in \IN$ beliebig, so gilt:
$r=x-1$
$r+1=x$
Somit gilt die Voraussetzung für die Surjektivität.
Da 1. und 2. erfüllt ist, ist die Abbildung bijektiv. Somit ist die Menge $M_1$ abzählbar unendlich.
Ist das so richtig?
Wie sähe es für $M_2$ aus?
Gibt es da überhaupt eine solche Abbildung?
Meine Idee wäre:
$g:M_2 \rightarrow \IN$ $x \rightarrow 2^{x}$
Ist dann mein Beweis für die Bijektivität so richtig?
1. Injektivität:
$2^{x}=2^{x'}$
$ln(2)*x)ln(2)*x'$
$x=x'$
Müsste also passen.
2. Surjektivität
Sei $s \in \IN$ beliebig so gilt:
$s=2^{x}$
$ln(s)=ln{2}*x$
$\bruch {ln(s)} {ln{2}=x$
Da der Logarithmus für alle $x \in \IN$ eindeutig definiert ist, folgt, dass er auch für alle $s \in \IN$ definiert ist.
Surjektivität stimmt demnach auch.
g ist also Bijektiv, die Menge $M_2$ damit abzählbar unendlich.
Was meint ihr dazu?'
Guten Morgen und liebe Grüße
nhard
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> Zeigen sie, dass die Mächtigkeit der folgenden zwei Mengen
> abzählbar unendlich ist:
> (a) [mm]M_1=\IN \cup {0}[/mm]
> (b) [mm]M_2=\IZ[/mm]
> Die Menge [mm]M_1[/mm] ist doch genau dann abzählbar unendlich,
> wenn es eine bijektive Abbildung von [mm]M_1[/mm] nach [mm]\IN[/mm] gibt.
>
> Ich habe folgende Abbildung aufgestellt:
>
> [mm]f: M_1 \rightarrow \IN \quad x \rightarrow (x-1)[/mm]
Hallo,
das wird so nicht klappen, denn [mm] f(0)=-1\not\in\IN.
[/mm]
Vielleicht meintest Du [mm] f:\IN\to M_1.
[/mm]
Entsprechend mußt Du die Surjektivität umarbeiten.
Sag': sei [mm] x\in M_1. [/mm] Dann sag, welches Element aus [mm] \IN [/mm] darauf abgebildet wird und rechne vor, daß es klappt.
> Dann weise ich die Bijektivität nach:
>
> 1. Injektivität:
>
> Es muss gelten [mm]f(x)=f(x') \rightarrow x=x'[/mm]
> Also:
> [mm]x-1=x'-1[/mm]
> [mm]x=x'[/mm]
>
> f ist also injektiv.
>
> 2.Surjektiv:
>
> Für jedes [mm]y \in \IN[/mm] muss mindestens ein [mm]x \in \M_1[/mm]
> existieren.
>
> Sei [mm]r \in \IN[/mm] beliebig, so gilt:
> [mm]r=x-1[/mm]
> [mm]r+1=x[/mm]
> Somit gilt die Voraussetzung für die Surjektivität.
>
> Da 1. und 2. erfüllt ist, ist die Abbildung bijektiv.
> Somit ist die Menge [mm]M_1[/mm] abzählbar unendlich.
>
> Ist das so richtig?
>
> Wie sähe es für [mm]M_2[/mm] aus?
> Gibt es da überhaupt eine solche Abbildung?
Ja.
> Meine Idee wäre:
>
> [mm]g:M_2 \rightarrow \IN[/mm] [mm]x \rightarrow 2^{x}[/mm]
Die ist aber nicht surjektiv.
Oder kannst Du mit sagen, wie ich 7 als ganzzahlige Potenz von 2 schreiben kann?
Probier mal ein bißchen...
Vielversprechend könnte das Spielen mit geraden und ungeraden Zahlen sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mi 17.11.2010 | | Autor: | nhard |
Hm okay, also Versuch ich's nochmal von vorne:
$f: [mm] \IN \rightarrow \M_1$ [/mm] $x [mm] \rightarrow [/mm] x-1$
Inj. Ist ja gleich.
Surjektivität muesste dann doch sein:
Sei $r [mm] \in M_1$ [/mm] dann gilt:
$r=x-1$ also
$r+1=x$
Fuer $r=0$ ergibt sich 1, und $1 [mm] \in \IN$
[/mm]
Fuer $r>0$ ergibt sich immer $x [mm] \in \IN$
[/mm]
ohje, stimmt das?
Lg
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> Hm okay, also Versuch ich's nochmal von vorne:
>
> [mm]f: \IN \rightarrow \M_1[/mm] [mm]x \rightarrow x-1[/mm]
>
> Inj. Ist ja gleich.
>
> Surjektivität muesste dann doch sein:
> Sei [mm]r \in M_1[/mm] dann gilt:
[mm] r+1\in \IN, [/mm] und es ist f(r+1)= (r+1)-1=r.
Also ist f surjektiv.
Gruß v. Angela
> [mm]r=x-1[/mm] also
> [mm]r+1=x[/mm]
>
> Fuer [mm]r=0[/mm] ergibt sich 1, und [mm]1 \in \IN[/mm]
> Fuer [mm]r>0[/mm] ergibt sich
> immer [mm]x \in \IN[/mm]
>
> ohje, stimmt das?
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Sa 20.11.2010 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank für deine Mühe ;)
Hoffe ich habe es jetzt halbwegs verstanden.
lg nhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp zu b)
Setze
f(1)=0
f(2)=1
f(3)=-1
f(4)=2
f(5)=-2
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Suche mal nach einer schönen Abbildungsvorschrift für f
FRED
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