Abzählbar viele offene Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass zu jeder abgeschlossenen Menge A [mm] \subset [/mm] X abzählbar viele offene Mengen [mm] U_{n} \subset [/mm] X (n [mm] \in \IN) [/mm] existieren, so dass A= [mm] \bigcap_{n \in \IN}^{ }U_{n} [/mm] gilt. |
Ich bräuchte einen Tipp, wie ich an die Aufgabe rangehen kann.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kennst ja sicher [mm] $\varepsilon-$Umgebungen ($\varepsilon-$Bälle) [/mm] von Punkten. Genauso kannst du aber auch [mm] $\varepsilon-$Umgebungen [/mm] von Mengen definieren, d.h. [mm] B_\varepsilon(A)=\{x|d(x,A)<\varepsilon\}. [/mm] Hilft dir das als Anfang?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Ja, die kenne ich.
Also müsste mein [mm] \varepsilon [/mm] dann gegen Null gehen, damit mein x [mm] \in [/mm] A. Hab ich dann gezeigt, dass dieses x in A liegt und muss es für alle x verallgemeinern? Kommt so das "abzählbar viele" rein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die kenne ich.
> Also müsste mein [mm]\varepsilon[/mm] dann gegen Null gehen, damit
> mein x [mm]\in[/mm] A. Hab ich dann gezeigt, dass dieses x in A
> liegt und muss es für alle x verallgemeinern?
Von welchen x sprichst Du ???
> Kommt so das
> "abzählbar viele" rein?
Nein. Zeige:
[mm] A=\bigcap_{n=1}^{\infty}B_{1/n}(A)
[/mm]
FRED
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