Abzählbare Mengen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mo 15.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | (a.) Es sei A eine überabzählbare Menge und B eine abzählbare Untermenge. Zeigen Sie, dass A\ B überabzählbar ist.
(b.) Es sei A eine abzählbare Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge der Häufungspunkte von A ganz [mm] \IR [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
wie so oft in Mathe sind die Aufgaben so banal, dass man nicht weiß wie man sie beweisen soll?
zu (a.) Es gibt zunächst eine Surjektion [mm] \IN \to [/mm] B und es gibt keine Surjektion von [mm] \IN \to [/mm] A und es soll bewiesen werden, dass es keine Surjektion von [mm] \IN \to [/mm] A\ B gibt.
Weiter komme ich leider nicht.
zu (b.) [mm] \IR [/mm] ist zunächst einmal nicht abzählbar und [mm] \IR\A [/mm] auch nicht, aber es gibt eine Surjektion [mm] \IN\to [/mm] A. Und ein Häufungspunkt ist ein Punkt, in dessen Umgebung unendlich viel Punkte von A liegen.
so hier weiß ich leider auch nicht wie ich weiter ansetzen soll?
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
LuisA44
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> (a.) Es sei A eine überabzählbare Menge und B eine
> abzählbare Untermenge. Zeigen Sie, dass A\ B
> überabzählbar ist.
> (b.) Es sei A eine abzählbare Teilmenge von [mm]\IR.[/mm] Zeigen
> Sie, dass die Menge der Häufungspunkte von A ganz [mm]\IR[/mm]
> ist.
> Hallo zusammen,
>
> wie so oft in Mathe sind die Aufgaben so banal, dass man
> nicht weiß wie man sie beweisen soll?
> zu (a.) Es gibt zunächst eine Surjektion [mm]\IN \to[/mm] B und es
> gibt keine Surjektion von [mm]\IN \to[/mm] A und es soll bewiesen
> werden, dass es keine Surjektion von [mm]\IN \to[/mm] A\ B gibt.
> Weiter komme ich leider nicht.
Mach einen Widerspruchsbeweis: Annahme: A\ B ist höchstens abzählbar.
Es ist A= (A\ B ) [mm] \cup [/mm] B
Was weißt Du über die Vereinigung von endlich vielen abzählbaren Mengen ?
> zu (b.) [mm]\IR[/mm] ist zunächst einmal nicht abzählbar und
> [mm]\IR\A[/mm] auch nicht, aber es gibt eine Surjektion [mm]\IN\to[/mm] A.
> Und ein Häufungspunkt ist ein Punkt, in dessen Umgebung
> unendlich viel Punkte von A liegen.
> so hier weiß ich leider auch nicht wie ich weiter
> ansetzen soll?
Zunächst mal: Die Aussage in (b) ist völliger Unsinn !!!!!!!
Es gibt rudelweise Gegenbeispiele:
1. [mm] \IN
[/mm]
2. $ [mm] \{1/n : n \in \IN \}$
[/mm]
............... etc ..............
Lautet die Aufgabenstellung in b) wirklich so ?
FRED
>
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
>
> Mit freundlichen Grüßen
> LuisA44
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 15.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Fred,
> Mach einen Widerspruchsbeweis: Annahme: A\ B ist
> höchstens abzählbar.
>
> Es ist A= (A\ B ) [mm]\cup[/mm] B
>
> Was weißt Du über die Vereinigung von endlich vielen
> abzählbaren Mengen ?
Da überlegt man und überlegt man und überliest, dass B ene Untermenge sein soll ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Also die Vereinigung abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar und daraus folgt der Widerspruch weil A nicht abzählbar ist.
A (überabzählbar) = [mm] (A\B)(nach [/mm] Ann. abzählbar) [mm] \cup [/mm] B (abzählbar)
--> " überabzählbar = abzählbar " [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
>
> > zu (b.) [mm]\IR[/mm] ist zunächst einmal nicht abzählbar und
> > [mm]\IR\A[/mm] auch nicht, aber es gibt eine Surjektion [mm]\IN\to[/mm] A.
> > Und ein Häufungspunkt ist ein Punkt, in dessen Umgebung
> > unendlich viel Punkte von A liegen.
> > so hier weiß ich leider auch nicht wie ich weiter
> > ansetzen soll?
>
>
>
>
> Zunächst mal: Die Aussage in (b) ist völliger Unsinn
> !!!!!!!
>
> Es gibt rudelweise Gegenbeispiele:
>
> 1. [mm]\IN[/mm]
>
> 2. [mm]\{1/n : n \in \IN \}[/mm]
>
> ............... etc ..............
>
>
> Lautet die Aufgabenstellung in b) wirklich so ?
Hmmm das ist aber jetzt komisch. Ich habe die Aufgabe überprüft und sie lautet wirklich so. Und nu?
Danke für die schnelle Antwort.
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > Mach einen Widerspruchsbeweis: Annahme: A\ B ist
> > höchstens abzählbar.
> >
> > Es ist A= (A\ B ) [mm]\cup[/mm] B
> >
> > Was weißt Du über die Vereinigung von endlich vielen
> > abzählbaren Mengen ?
>
> Da überlegt man und überlegt man und überliest, dass B
> ene Untermenge sein soll
>
> Also die Vereinigung abzählbarer Mengen ist wieder
> abzählbar
Nicht ganz !
Die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar
> und daraus folgt der Widerspruch weil A nicht
> abzählbar ist.
> A (überabzählbar) = [mm](A\B)(nach[/mm] Ann. abzählbar) [mm]\cup[/mm] B
> (abzählbar)
> --> " überabzählbar = abzählbar " [mm]\Rightarrow[/mm]
> Widerspruch
>
> >
> > > zu (b.) [mm]\IR[/mm] ist zunächst einmal nicht abzählbar und
> > > [mm]\IR\A[/mm] auch nicht, aber es gibt eine Surjektion [mm]\IN\to[/mm] A.
> > > Und ein Häufungspunkt ist ein Punkt, in dessen Umgebung
> > > unendlich viel Punkte von A liegen.
> > > so hier weiß ich leider auch nicht wie ich weiter
> > > ansetzen soll?
> >
> >
> >
> >
> > Zunächst mal: Die Aussage in (b) ist völliger Unsinn
> > !!!!!!!
> >
> > Es gibt rudelweise Gegenbeispiele:
> >
> > 1. [mm]\IN[/mm]
> >
> > 2. [mm]\{1/n : n \in \IN \}[/mm]
> >
> > ............... etc ..............
> >
> >
> > Lautet die Aufgabenstellung in b) wirklich so ?
>
> Hmmm das ist aber jetzt komisch. Ich habe die Aufgabe
> überprüft und sie lautet wirklich so. Und nu?
Dann hau Deinem Übungsleiter oder dem , der die "Aufgabe" verbrochen hat, mächtig auf die Nase
FRED
>
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> LuisA44
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mo 15.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Danke für deine Hilfe.
Ich werde mal bei meinem Übungsleiter nachfragen, was mit der Aufgabe los ist 
Lieben Gruß
LuisA44
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:09 Mo 15.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Fred,
ich bins nochmal. Also die Aufgabe wurde geändert und heißt jetzt:
Es sei A eine abzählbare Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge der Häufungspunkte von [mm] \IR [/mm] \ A ganz [mm] \IR [/mm] ist."
Das heißt also, dass [mm] \IR [/mm] mit A eingeschlossen alle Häufungspunkte sind...
Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben?
Lieben Gruß
LuisA44
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mo 15.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
hmmm... mit Aufgabe (a.) weiß man zunächst dass [mm] \IR [/mm] \ A auf jeden Fall überabzählbar ist.
Hilft das hier weiter?
Grüße
LuisA44
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mi 17.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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