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Beweise: [mm] \IN^{\IN} [/mm] ist nicht abzählbar.
Hier hab ich irgendwie keinen blassen schimmer wie ich da rangehen soll. Wäre dankbar über jeden Ansatz!
Danke
mfg
Berndte
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Berndte!
Was ist denn [mm] $\IN ^{\IN}$? [/mm] Meinst du vielleicht [mm] $\IN^{|\IN|}$, [/mm] oder wie ist diese Potenz definiert?
Liebe Grüße,
Hanno
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Es sollen wohl beide [mm] \IN [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen darstellen.
Ich hoffe das hilft irgendwie beim Beantworten der Frage....
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Berndte!
Nein, ich frage mich, wie denn die Potenz einer Menge mit einer Menge definiert ist. Kannst du mir da auf die Sprünge helfen?
Liebe Grüße,
Hanno
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Es ist die Menge alle Funktionen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN! [/mm]
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Hallo!
Also, das geht genauso wie das Cantor-Argument, dass [mm] $\IR$ [/mm] überabzählbar ist... mit Widerspruch.
Denn falls [mm] $\IN^\IN [/mm] = [mm] \{ f: \IN \to \IN \}$ [/mm] abzählbar wäre, dann könnten wir diese Abbildungen alle übersichtlich hinschreiben: [mm] $(f_1, f_2, f_3, f_4, [/mm] ...)$ denn das ist ja eine Abzählung.
Jetzt mußt Du Dir eine Funktion $g [mm] \in \IN^\IN$ [/mm] konstruieren, die in der Abzählung nicht vorkommt...
Vielleicht so: $g(n) := [mm] f_n(n) [/mm] + 1$
Kannst Du zeigen, dass $g$ nicht bei der Aufzählung dabei ist? Und ist Dir dann klar, warum die Menge nicht abzählbar sein kann...?
Lars
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Und wie zeige ich nun, dass G nicht in der AUfzählung enthalten ist?
Warum die Menge dann nicht abzählbar sein kann, ist mir klar, denn dann gibt es keine surjektive Abbildung!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:12 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Berndte2002,
> Und wie zeige ich nun, dass G nicht in der AUfzählung
> enthalten ist?
Wie Lars schon sagte, durch einen Widerspruchsbeweis.
Nimm an, dass das so definierte g in der Aufzählung [mm] $\{f_1,f_2,f_3,\ldots\}$ [/mm] vorkommt.
Dann gibt es doch einen Index m, so dass [mm] $f_m\equiv [/mm] g$.
Nun müßte der Widerspruch durch Ausnutzung der Definition von g sofort folgen... kommst du drauf? 
> Warum die Menge dann nicht abzählbar sein kann, ist mir
> klar, denn dann gibt es keine surjektive Abbildung!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , du meinst, es gibt dann keine surjektive Abbildung [mm] $\IN\mapsto\IN^{\IN}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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