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Abzählbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 So 07.12.2008
Autor: goedkopen

Aufgabe
Zeigen Sie: die Menge [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ist abzählbar. Konstruieren Sie dazu eine bijektive Abbildung

f: [mm] \IN \rightarrow \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ,

und weisen Sie die Bijektivität nach. Was erhalten Sie für f(1234)? Was ist ihr Urbild von (-7,4)?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hey!

Ich muss zugeben ich verstehe die Aufgabe nicht so ganz. In meinen Überlegungen bin ich so weit gekommen:

[mm] \IZ [/mm] ist abzählbar (haben wir in der Vorlesung gesagt), damit ist [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] auch abzählbar. [mm] \IN [/mm] ist ebenfalls abzählbar und damit gleichmächtig zu [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ. [/mm]

Wie soll aber die bijektive Abbildung aussehen und welche Funktion soll ich da konstruieren??? Habs scho mit zeichnen probiert und Tabellen, aber ich komm auf nichts sinnvolles :/

Danke! Kevin

        
Bezug
Abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 So 07.12.2008
Autor: reverend

Stell Dir mal eine Linie vor, die im Nullpunkt beginnt, dann einen Schritt nach rechts (1;0), und dann, soweit möglich, um den Nullpunkt herumläuft: (1;1), (0;1), (-1;1), (-1;0), (-1;-1), (0;-1), (1;-1). An dieser Stelle müsste sie in den nächsten Umlauf übergehen: (2;-1), (2;0), (2;1), (2;2) etc.

Diese Linie erfasst alle Punkte der [mm] \IZ\times\IZ- [/mm] Ebene. Bijektivität ist leicht nachzuweisen, aber die letzten beiden Fragen (Zuordnungsbeispiele) nicht so leicht.

Jetzt Du.

Bezug
                
Bezug
Abzählbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 So 07.12.2008
Autor: goedkopen

danke!

habs mir mal aufgemalt und verstanden. auf sowas muss man erstmal kommen^^

Bezug
                        
Bezug
Abzählbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 So 07.12.2008
Autor: reverend

Na, wenn man den Zahlenstrahl aufwickeln will, dann hält man ihn am besten an dem einzigen Ende fest, das er hat, und wickelt drauflos. ;-)

Bezug
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