Abzählbarkeit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Ist die folgende Funktion abzählbar, überabzählbar oder höchst abzählbar?
[mm] B:=\{f:\IN\Rightarrow\IN: f(n)=f(m) \forall n,m \in \IN \} [/mm] |
Juten Tach Freunde der Mathematik :),
ich bin mir nicht sicher ob diese Aufgabe mir zu trivial erscheint, aber ich rechne doch einfach mal vor:
Es handelt sich um eine konstante Funktion die Bijektiv ist. Bspw. [mm] f_4(n)=4=f_4(m), [/mm] und da gibt es natürlich noch mehrere [mm] f_1(n), f_2(n) f_3(n) [/mm] usw. also ich kann diese aufzählen.
Insgesamt ist es eine abzählbare Funktion.
Da fehlt bestimmt noch irgendwas oder?
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Hiho,
> Ist die folgende Funktion abzählbar, überabzählbar oder höchst abzählbar?
Wie bei deiner anderen Frage: bitte poste die Fragestellung nächste Mal richtig! So lautet sie unter Garantie nicht, denn so macht sie keinen Sinn. Eine Funktion kann nicht abzählbar oder überabzählbar sein.
> [mm]B:=\{f:\IN\Rightarrow\IN: f(n)=f(m) \forall n,m \in \IN \}[/mm]
> ich bin mir nicht sicher ob diese Aufgabe mir zu trivial
> erscheint, aber ich rechne doch einfach mal vor:
trivial ist sie, wenn man alle Begriffe korrekt verstanden hat, was bei dir nicht der Fall zu sein scheint.
> Es handelt sich um eine konstante Funktion die Bijektiv ist.
Bei der Aussage sträuben sich die Haare. Wie soll eine konstante Funktion von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] bijektiv sein?? Wann ist eine Funktion bijektiv? Bitte mit Definitionen nachreichen! Dann: Welche Eigenschaft ist bei konstanten Funktionen nicht erfüllt? Au man.....
> Bspw. [mm]f_4(n)=4=f_4(m),[/mm] und da gibt es natürlich noch
> mehrere [mm]f_1(n), f_2(n) f_3(n)[/mm] usw. also ich kann diese aufzählen.
Was du machst, ist, du indizierst. Wer sagt, dass du das kannst?
Du setzt also voraus, dass deine Menge abzählbar ist, um zu zeigen, dass sie abzählbar ist, das ist ein Zirkelschluß.
Also auch hier nochmal von vorn: Deine Menge ist eine Menge von Funktionen. Wie sehen diese Funktionen aus, die in der Menge liegen? In Worten formulieren bitte.
Wenn du das verstanden hast, können wir weiterarbeiten.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
> Hiho,
>
> > Ist die folgende Funktion abzählbar, überabzählbar oder
> höchst abzählbar?
>
> Wie bei deiner anderen Frage: bitte poste die Fragestellung
> nächste Mal richtig! So lautet sie unter Garantie nicht,
> denn so macht sie keinen Sinn. Eine Funktion kann nicht
> abzählbar oder überabzählbar sein.
Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen abzählbar bzw. überabzählbar
sind. Begründen Sie Ihre Antwort indem Sie eine geeignete Aufzählung mittels
der natürlichen Zahlen angeben bzw. beweisen, dass es eine solchen nicht geben
kann.
> > [mm]B:=\{f:\IN\Rightarrow\IN: f(n)=f(m) \forall n,m \in \IN \}[/mm]
>
> > ich bin mir nicht sicher ob diese Aufgabe mir zu trivial
> > erscheint, aber ich rechne doch einfach mal vor:
>
> trivial ist sie, wenn man alle Begriffe korrekt verstanden
> hat, was bei dir nicht der Fall zu sein scheint.
>
> > Es handelt sich um eine konstante Funktion die Bijektiv
> ist.
>
> Bei der Aussage sträuben sich die Haare. Wie soll eine
> konstante Funktion von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm] bijektiv sein?? Wann
> ist eine Funktion bijektiv? Bitte mit Definitionen
> nachreichen! Dann: Welche Eigenschaft ist bei konstanten
> Funktionen nicht erfüllt? Au man.....
Ja injektiv ist eine Funktion, falls sie Injektiv und Surjektiv ist. Und da mein f(n) scheinbar genau so viele Elemente wie [mm] \IN [/mm] enthält, ist [mm] \IN\Rightarrow [/mm] B doch Bijektiv und damit abzählbar oder?
> > Bspw. [mm]f_4(n)=4=f_4(m),[/mm] und da gibt es natürlich noch
> > mehrere [mm]f_1(n), f_2(n) f_3(n)[/mm] usw. also ich kann diese
> aufzählen.
>
> Was du machst, ist, du indizierst. Wer sagt, dass du das
> kannst?
> Du setzt also voraus, dass deine Menge abzählbar ist, um
> zu zeigen, dass sie abzählbar ist, das ist ein
> Zirkelschluß.
>
> Also auch hier nochmal von vorn: Deine Menge ist eine Menge
> von Funktionen. Wie sehen diese Funktionen aus, die in der
> Menge liegen? In Worten formulieren bitte.
> Wenn du das verstanden hast, können wir weiterarbeiten.
ja jede Abbildung der natürlichen Zahlen bilden die Funktionen ab oder? [mm] f_1(n)=1 [/mm] so gilt das gleiche für [mm] f_1(m) [/mm] und so weiter?. Danke!
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen abzählbar
> bzw. überabzählbar sind. Begründen Sie Ihre Antwort indem Sie eine geeignete Aufzählung mittels der natürlichen Zahlen angeben bzw. beweisen, dass es eine solchen nicht geben kann.
Aha. Ist dir der Unterschied zu deiner vorherigen Frage klar?
> Ja injektiv ist eine Funktion, falls sie Injektiv und Surjektiv ist.
Die Aussage macht auch keinen Sinn.....
> Und da mein f(n) scheinbar genau so viele Elemente wie [mm]\IN[/mm] enthält, ist [mm]\IN\Rightarrow[/mm] B doch Bijektiv und damit abzählbar oder?
"scheinbar", "oder?".
Wenn so etwas in deiner "Beweisführung" vorkommt, ist es kein Beweis.
Wie soll f(n) denn Elemente enthalten? f(n) ist nach Definition ein Element von [mm] $\IN$, [/mm] was soll da noch enthalten sein?
> > > Bspw. [mm]f_4(n)=4=f_4(m),[/mm] und da gibt es natürlich noch
> > > mehrere [mm]f_1(n), f_2(n) f_3(n)[/mm] usw. also ich kann diese
> > aufzählen.
Nein. Was soll denn [mm] f_4 [/mm] sein? Was soll [mm] f_1 [/mm] sein? Du verwendest irgendwelche Symboliken ohne sie auch nur annähernd zu erläutern.
> ja jede Abbildung der natürlichen Zahlen bilden die
> Funktionen ab oder? [mm]f_1(n)=1[/mm] so gilt das gleiche für
> [mm]f_1(m)[/mm] und so weiter?.
Na hier kommen wir mal annähernd einer Definition deiner Index-Funktionen näher.
Um deine Idee mal in Worte zu fassen: Sei $C := [mm] \{ f_j: \IN \to \{j\}, j\in\IN\}$ [/mm] die Menge aller konstanten Funktionen auf [mm] $\IN$, [/mm] die ist offensichtlich abzählbar (warum?).
Deine Behauptung ist nun also, dass gilt: $C = B$.
Na nun zeige das mal....
MFG;
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
> Hiho,
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> > Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen abzählbar
> > bzw. überabzählbar sind. Begründen Sie Ihre Antwort
> indem Sie eine geeignete Aufzählung mittels der
> natürlichen Zahlen angeben bzw. beweisen, dass es eine
> solchen nicht geben kann.
>
> Aha. Ist dir der Unterschied zu deiner vorherigen Frage
> klar?
>
> > Ja injektiv ist eine Funktion, falls sie Injektiv und
> Surjektiv ist.
>
> Die Aussage macht auch keinen Sinn.....
>
> > Und da mein f(n) scheinbar genau so viele Elemente wie [mm]\IN[/mm]
> enthält, ist [mm]\IN\Rightarrow[/mm] B doch Bijektiv und damit
> abzählbar oder?
>
> "scheinbar", "oder?".
> Wenn so etwas in deiner "Beweisführung" vorkommt, ist es
> kein Beweis.
> Wie soll f(n) denn Elemente enthalten? f(n) ist nach
> Definition ein Element von [mm]\IN[/mm], was soll da noch enthalten
> sein?
>
> > > > Bspw. [mm]f_4(n)=4=f_4(m),[/mm] und da gibt es natürlich noch
> > > > mehrere [mm]f_1(n), f_2(n) f_3(n)[/mm] usw. also ich kann diese
> > > aufzählen.
>
> Nein. Was soll denn [mm]f_4[/mm] sein? Was soll [mm]f_1[/mm] sein? Du
> verwendest irgendwelche Symboliken ohne sie auch nur
> annähernd zu erläutern.
>
> > ja jede Abbildung der natürlichen Zahlen bilden die
> > Funktionen ab oder? [mm]f_1(n)=1[/mm] so gilt das gleiche für
> > [mm]f_1(m)[/mm] und so weiter?.
>
> Na hier kommen wir mal annähernd einer Definition deiner
> Index-Funktionen näher.
>
> Um deine Idee mal in Worte zu fassen: Sei [mm]C := \{ f_j: \IN \to \{j\}, j\in\IN\}[/mm]
> die Menge aller konstanten Funktionen auf [mm]\IN[/mm], die ist
> offensichtlich abzählbar (warum?).
> Deine Behauptung ist nun also, dass gilt: [mm]C = B[/mm].
> Na nun
> zeige das mal....
>
> MFG;
> Gono.
Also ich danke dir vielmals für die Erklärung, nur leider verstehe ich die nicht. Wieso kommt auf einmal ne Indexierung vor? Ich soll also von einer allgemeinen konstanten Menge auf meine obige Menge ich sag mal zeigen, dass beide gleich sind? :,( oh man ich verstehe das alles nicht so ganz
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Hiho,
> Also ich danke dir vielmals für die Erklärung, nur leider
> verstehe ich die nicht. Wieso kommt auf einmal ne
> Indexierung vor? Ich soll also von einer allgemeinen
> konstanten Menge auf meine obige Menge ich sag mal zeigen,
> dass beide gleich sind? :,( oh man ich verstehe das alles nicht so ganz
Wie kommst du darauf, dass du eine konstante Menge hast? Deine Menge B ist alles andere als konstant!
Ok, nochmal von vorn:
1.) Woraus besteht deine Menge B?
2.) Was ist ein Element der Menge B?
3.) Wodurch wird jedes Element der Menge B eindeutig Charakterisiert?
Arbeite dich mal von 1.) - 3.) durch. Solltest du irgendwo hängen bleiben, frag erstmal nach, bevor du weitermachst 
Dann kommen wir schon auf einen grünen Zweig.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 30.08.2012 | | Autor: | durden88 |
> Hiho,
huhu und vielen dank für die Mühe.
> > Also ich danke dir vielmals für die Erklärung, nur leider
> > verstehe ich die nicht. Wieso kommt auf einmal ne
> > Indexierung vor? Ich soll also von einer allgemeinen
> > konstanten Menge auf meine obige Menge ich sag mal zeigen,
> > dass beide gleich sind? :,( oh man ich verstehe das alles
> nicht so ganz
>
> Wie kommst du darauf, dass du eine konstante Menge hast?
> Deine Menge B ist alles andere als konstant!
> Ok, nochmal von vorn:
>
> 1.) Woraus besteht deine Menge B?
Zum einen aus den Abbildungen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] mit der Eingrenzung f(n)=f(m) wobei n und m auch von [mm] \IN [/mm] ist.
> 2.) Was ist ein Element der Menge B?
Ein Element von B ist beispielweise eine Funktion f in Abhängigkeit von n die Gleich einer Funktion in Abhängigkeit von m ist.
> 3.) Wodurch wird jedes Element der Menge B eindeutig
> Charakterisiert?
Ja das ist die große Frage. Auf jeden Fall muss f(n)=f(m) sein. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob vielleicht f(2)=f(5)=3 ist (2 für n und 5 für m). Da würde es ja unendlich viele Kombinationen geben, also eigendlich [mm] \IN x\IN, [/mm] die aber dennoch alle Elemente von [mm] \IN [/mm] abbilden.
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> Arbeite dich mal von 1.) - 3.) durch. Solltest du irgendwo
> hängen bleiben, frag erstmal nach, bevor du weitermachst
>
> Dann kommen wir schon auf einen grünen Zweig.
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 30.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Ausgangspunkt war doch folgendes:
Zu untersuchen war
[mm] $$B:=\{f: \IN \to \IN: f(n)=f(m) \text{ für alle }m,n \in \IN\}\,.$$
[/mm]
1.) Ich würde Dir folgendes erstmal vorschlagen: Genau dann gilt für eine
Abbildung $g: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] nun $g [mm] \in B\,,$ [/mm] wenn [mm] $g(n)=g(1)\,$ [/mm] für alle
$n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Versuch' mal, das zu beweisen (notfalls induktiv).
2.) Was hat 1.) mit "Konstantheit einer auf [mm] $\IN$ [/mm] definierten Funktion" zu
tun?
3.) Ich zeige Dir mal beispielhaft, wie man [mm] $B\,$ [/mm] bijektiv auf [mm] $\IN$ [/mm] abbilden
kann:
Definiere $O: B [mm] \to \IN$ [/mm] etwa durch $B [mm] \ni [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] O(f):=f(1) [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
a.) Zeige: [mm] $O\,$ [/mm] ist injektiv. (Dazu benutze 1.) und 2.).)
b.) Zeige: [mm] $O\,$ [/mm] ist auch surjektiv. (Tipp: Erinnere Dich an 1.) und 2.), und
mache Dir klar, wie man, wenn man [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] gegeben hat, dann
eine Funktion $f: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] so zu definieren hat, dass [mm] $O(f)=f(1)=n_0$
[/mm]
gilt: Was muss dann [mm] $f(2),\,f(3),\,...$ [/mm] sein, damit man $f [mm] \in [/mm] B$ sagen darf?)
Hinweise durch Beispiele:
Wir schreiben für konstante Abbildungen $c: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] genauer
[mm] $c_{n_0}:=c\,,$ [/mm] wobei [mm] $n_0:=c(1)\,.$
[/mm]
Nun das ganze ein wenig beispielhaft: Aus [mm] $c_2 \not=c_7$ [/mm] folgt
[mm] $O(c_2)=2 \not=7=O(c_7)\,.$
[/mm]
Weiter: Wenn wir für $13 [mm] \in \IN$ [/mm] nun $f [mm] \in [/mm] B$ mit $O(f)=13$ suchen,
so muss [mm] $f(1)=13\,$ [/mm] gelten. Testen wir mal [mm] $f:=c_{13}$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Do 30.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hiho,
> > Ja injektiv ist eine Funktion, falls sie Injektiv und
> Surjektiv ist.
>
> Die Aussage macht auch keinen Sinn.....
die Aussage ist lustig. Sie definiert oder charakterisiert zwar nicht die
Injektivität einer Funktion, aber korrekt ist sie:
Aus
[mm] $f\,$ [/mm] injektiv und surjektiv
folgt
[mm] $f\,$ [/mm] injektiv.
(Diese Trivialität bzw. analoge Aussagen werden dennoch oft übersehen:
Denn vielen Studenten ist nicht klar, dass $x < [mm] a\,$ [/mm] auch $x [mm] \le [/mm] a$ zur
Folge hat. Dabei ist das analog trivial!)
Gruß,
Marcel
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