Abzählbarkeit < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass eine Teilmenge einer abzählbaren Menge stets endlich oder abzählbar ist. |
Hallo, ich bitte um Korrektur meiner Lösung:
Definitionen:
Seien X, Y beiliebige Mengen.
1. Eine Vorschrift A, welche jedem x einer Teilmenge $ [mm] D(A)\subset{X} [/mm] $ eindeutig ein Element $ [mm] y=A(x)\in{Y} [/mm] $ zuordnet, heißt eine Abbildung aus X in Y.
2. D(A) heißt Definitionsmenge von A.
3. $ [mm] B(A):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{D(A)}\} [/mm] $ heißt Bildmenge von A.
4. Ist $ [mm] X\subset{D(A)}, [/mm] $ so heißt $ [mm] A(X):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{X}\} [/mm] $ Bild von X unter A.
5. Eine Abbildung $ [mm] A:X\to [/mm] $ Y heißt eineindeutig, wenn aus $A(x)=A(x')$ stets folgt: $x=x'$
Eine Menge $X$ sei abzählbar [mm] \gdw [/mm] Es existiert eine eineindeutige Abbildung [mm] G:X\to\IN [/mm] mit $D(G)=X$, [mm] B(G)=\IN.
[/mm]
Sei [mm] Y\subset{}X. [/mm] Zu zeigen ist: Es existert eine eineindeutige Abbildung [mm] F:Y\to\IN [/mm] mit $D(F)=Y$, [mm] $B(F)\subset\IN$.
[/mm]
Ich unterscheide nun zwei Fälle:
1. $B(F)$ ist endlich [mm] \Rightarrow [/mm] Zu jedem [mm] n\in{}B(F) [/mm] existiert genau ein [mm] y\in{}Y [/mm] mit $F(y)=n$ [mm] \Rightarrow [/mm] $Y$ ist endlich.
2. [mm] B(F)\subset\IN [/mm] ist unendlich.
Es existiert dann genau ein [mm] n_1\in{}B(F) [/mm] so, dass [mm] n_1
Es existiert auch genau ein [mm] n_2\in{}B(F) [/mm] so, dass [mm] n_2
Auf die gleiche Weise existiert genau ein [mm] n_k\in{}B(F) [/mm] so, dass [mm] n_k
Es existiert demnach eine eineindeutige Abbildung [mm] K:B(F)\to\IN [/mm] mit $D(K)=B(F)$, [mm] B(K)=\IN [/mm] definiert durch [mm] K(n)=n_k.
[/mm]
Es ist also $B(F)$ gleichmächtig zu [mm] \IN [/mm] und damit auch $Y$ gleichmächtig zu [mm] \IN, [/mm] $Y$ ist also abzählbar.
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe 1 | | Man zeige: Jede unendliche Menge besitzt eine abzählbare Teilmenge. |
| Aufgabe 2 | | Man zeige: Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn es eine echte Teilmenge mit gleicher Mächtigkeit gibt. |
Hallo,
zu diesen beiden Aufgaben habe ich auch noch Fragen. Ich bin mir bei dem Thema Mengenlehre sehr unsicher.
1. Hier habe ich mir gedacht, dass Folgendes gelten müsste: Sei X eine unendliche Menge. Dann existiert wegen [mm] X\not=\emptyset [/mm] ein beliebig wählbares [mm] x_1\in{X} [/mm] . Da X unendlich ist, existiert nun ein weiteres beliebig wählbares [mm] x_2\in X\setminus\{x_1\}.
[/mm]
Auf die gleiche Weise existiert stets ein [mm] x_i\in X\setminus\{x_n,n
Bei 2. habe ich keine Idee, vielleicht kann mir ja jemand eine verschaffen.
Vielen Dank im Voraus und Viele Grüße,
Axiom
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Man zeige: Jede unendliche Menge besitzt eine abzählbare
> Teilmenge.
>
> Man zeige: Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn es
> eine echte Teilmenge mit gleicher Mächtigkeit gibt.
>
> Hallo,
>
> zu diesen beiden Aufgaben habe ich auch noch Fragen. Ich
> bin mir bei dem Thema Mengenlehre sehr unsicher.
>
> 1. Hier habe ich mir gedacht, dass Folgendes gelten
> müsste: Sei X eine unendliche Menge. Dann existiert wegen
> [mm]X\not=\emptyset[/mm] ein beliebig wählbares [mm]x_1\in{X}[/mm] . Da X
> unendlich ist, existiert nun ein weiteres beliebig
> wählbares [mm]x_2\in X\setminus\{x_1\}.[/mm]
> Auf die gleiche Weise
> existiert stets ein [mm]x_i\in X\setminus\{x_n,n
> [mm]i\in\IN.[/mm] Für alle n ist nun sicher
> [mm]Y:=\{x_n,n\in\IN\}\subset{}X[/mm] abzählbar. Genügt das? Ich
> bin mir nicht sicher, ob ich streng nach Definition
> argumentiere.
>
> Bei 2. habe ich keine Idee, ...
das glaube ich Dir nicht - ich bin mir sicher, dass Du dort die Beweisrichtung
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] gelöst bekommst!
(Nimm' an, es gebe eine endliche Menge, die zu einer echten Teilmenge
gleich mächtig wäre. Die Idee ist leicht: Die echte Teilmenge wird wohl
notwendigerweise echt weniger Elemente haben... Und man kann bei
endlichen Mengen leicht sehen: Sind [mm] $A,B\,$ [/mm] Mengen so, dass eine
Injektion $A [mm] \to [/mm] B$ existiert, so folgt $|A| [mm] \le |B|\,.$ [/mm] Wenn eine Bijektion
existiert, folgt, dass sowohl eine Injektion $A [mm] \to [/mm] B$ als auch eine Injektion
$B [mm] \to [/mm] A$ existiert: Hier gilt also $|A| [mm] \le [/mm] |B|$ und auch $|B| [mm] \le [/mm] |A|$ etc. pp.
P.S. Dass ich hier nur von endlichen Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] rede, heißt nicht, dass
so manches bei unendlichen vielleicht nicht auch gilt - sondern nur, dass
ich mir darüber hier keine Gedanken mache. Und bevor ich was falsches
sage, weil ich noch nicht drüber nachgedacht habe, beschränke ich mich
darauf, nur das zu sagen, worüber ich nachgedacht und es für richtig
befunden habe. 
P.P.S. Der Satz, dass eine Bijektion $A [mm] \to [/mm] B$ existiert genau dann, wenn
es sowohl eine Injektion $A [mm] \to [/mm] B$ als auch eine Injektion $B [mm] \to [/mm] A$ gibt,
gilt übrigens für beliebige Mengen [mm] $A,B\,.$ [/mm] Wenn Du ihn nicht kennst, Du
kennst ja mittlerweile das Spiel (und spielst es gerne): Beweise dies!
Hilfsmittel dafür: Zwischen Mengen $X,Y$ existiert genau dann eine
Injektion $X [mm] \to Y\,,$ [/mm] wenn es eine Surjektion $Y [mm] \to [/mm] X$ gibt. Falls
unbekannt: Wieder spielen wird das Spiel...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo Marcel,
Du hast Recht, wie ich jetzt noch einmal darüber nachdenke, komme ich zu folgendem
Beweis durch Widerspruch:
Seien X,Y beliebige Mengen mit [mm] Y\subset{}X.
[/mm]
Dann existiert ein [mm] x\in{}X [/mm] mit [mm] x\notin{}Y.
[/mm]
Angenommen, X wäre endlich und gleichmächtig zu Y. Dann gibt es eine bijektive Abbildung [mm] A:Y\to{}X, y\to{}A(y). [/mm] Nun ist [mm] \{x:x=A(y)\}\subset{}X, [/mm] ex existiert also ein [mm] x\in{}X [/mm] mit [mm] x\notin\{x:x=A(y)\}, [/mm] damit ist die Abbildung also nicht bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
Andersrum weiß ich aber dennoch noch nichts.
Vielen Dank schonmal für deine "Hilfestellung" (auch sowas hilft schonmal weiter) und Viele Grüße,
Axiom
P.S.: Ich habe gerade auch noch eine Idee andersrum, die tippe ich jetzt aber nicht auch noch am Handy.
P.P.S.: Lese gerade erst, dass du noch einiges geschrieben hast.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Hallo Marcel,
>
> Du hast Recht, wie ich jetzt noch einmal darüber
> nachdenke, komme ich zu folgendem
> Beweis durch Widerspruch:
> Seien X,Y beliebige Mengen mit [mm]Y\subset{}X.[/mm]
> Dann existiert ein [mm]x\in{}X[/mm] mit [mm]x\notin{}Y.[/mm]
> Angenommen, X wäre endlich und gleichmächtig zu Y. Dann
> gibt es eine bijektive Abbildung [mm]A:Y\to{}X, y\to{}A(y).[/mm]
schreib' lieber $y [mm] \mapsto A(y)\,.$ [/mm] (Also hier an der Stelle
"mapsto" anstatt des "to".)
> Nun
> ist [mm]\{x:x=A(y)\}\subset{}X,[/mm]
[mm] $$\{x \in X: x=A(y) \text{ für ein }y \in Y\} \text{ bzw. (mit den MIR üblichen Bezeichungen) }A(Y)$$
[/mm]
meinst Du wohl!
> ex existiert also ein [mm]x\in{}X[/mm]
> mit [mm]x\notin\{x:x=A(y)\},[/mm] damit ist die Abbildung also nicht
> bijektiv [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch
Das kann so alleine schon nicht funktionieren, weil Du doch nirgendwo
bei Deiner Argumentation die Endlichkeit von [mm] $X\,$ [/mm] benutzt hast! Und dass
es ein $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] Y$ gibt, ist sicher richtig. Aber bei $A: Y [mm] \to [/mm] X$
steht doch eben NIRGENDWO, dass [mm] $\text{Bild}(A) \subseteq [/mm] Y$ sein muss.
Überprüfe Deine Argumentation etwa mit folgenden Mengen:
[mm] $X:=\IN$ [/mm] und [mm] $Y:=2*\IN=\{n \in \IN: \;n \text{ ist gerade}\}=\{n \in \IN: \exists k \in \IN: n=2k\}\,.$
[/mm]
Natürlich ist hier [mm] $X=\IN$ [/mm] NICHT endlich, aber wie gesagt: Wo benutzt Du
bei Deiner Abbildung [mm] $A\,$ [/mm] die Endlichkeit von [mm] $X\,$?
[/mm]
Ich würde es mal so machen:
Sei [mm] $X\,$ [/mm] endlich und sei $Y [mm] \subsetneqq X\,.$ [/mm] Es ist klar, dass
[mm] $$\text{id}_Y: [/mm] Y [mm] \to X,\;Y \ni [/mm] y [mm] \mapsto [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \subsetneqq [/mm] X$$
eine Injektion ist. Ist nun $|X|=n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] d.h. es existiert eine Bijektion
$$X [mm] \to \{1,...,n\}\,,$$
[/mm]
so folgt damit $|Y| [mm] \le n\,,$ [/mm] insbesondere ist [mm] $Y\,$ [/mm] endlich.
Jetzt nehmen wir an, dass es eine (ggf. andere) Injektion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ so
gibt, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht nur injektiv, sondern auch surjektiv ist. (Auch hier
folgt aus der Annahme der Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] natürlich $|Y| [mm] \le |X|=n\,.$
[/mm]
Aber oben haben wir schon gesehen, dass das immer gilt, also eigentlich
keine Annahme, sondern eine Tatsache ist, wenn [mm] $X\,$ [/mm] endlich und -
eigentlich würde es reichen: $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ - ist!)
Weil $f: X [mm] \to [/mm] Y$ nach Annahme surjektiv ist, existiert eine injektive
Abbildung $g: Y [mm] \to X\,.$ [/mm] (Man kann so eine einfach angeben, denn weil
[mm] $f\,$ [/mm] hier bijektiv ist, ist [mm] $g:=f^{-1}:Y \to X\,,$ [/mm] welches die zu [mm] $f\,$ [/mm] zugehörige Umkehrfunktion
bezeichne, geeignet!)
Dann ist aber auch $|X| [mm] \le [/mm] |Y|$ - also [mm] $|X|=|Y|=n\,.$
[/mm]
Das scheint jetzt schon ein Widerspruch zu sein - jedenfalls würden die
meisten das schon als klar ansehen, aber ich ergänze dafür dennoch mal
ein paar Argumente:
Man kann nun etwa induktiv zeigen: Sind [mm] $A,B\,$ [/mm] endliche und disjunkte Mengen, so folgt
$|A [mm] \cup B|=|A|+|B|\,.$ [/mm] Daraus kann man folgern: Sind
[mm] $A,B\,$ [/mm] beides nicht leere endliche und disjunkte Mengen, so folgt [mm] $|A|,\;|B| [/mm] < |A [mm] \cup [/mm] B| < [mm] \infty\,.$
[/mm]
Damit folgern wir nun, dass, wenn [mm] $X\,$ [/mm] endlich und $Y [mm] \subsetneqq [/mm] X$ ist,
dass dann $|Y| < [mm] |X|\,$ [/mm] gelten muss:
Sei dazu [mm] $x_0 \in [/mm] X [mm] \setminus Y\,,$ [/mm] dann gilt
$$Y [mm] \subseteq [/mm] (X [mm] \setminus \{x_0\}) \subseteq [/mm] ((X [mm] \setminus \{x_0\}) \cup \{x_0\})=X\,.$$
[/mm]
Falls nun weder [mm] $X=\emptyset$ [/mm] noch [mm] $X=\{x_0\}$ [/mm] gilt, sind $X [mm] \setminus \{x_0\}$ [/mm] und [mm] $\{x_0\}$ [/mm] beide nicht leer und wir erhalten aus obiger
Erkenntnis insbesondere
$$|Y| < [mm] |X|\,.$$
[/mm]
Weiterhin kann [mm] $X=\emptyset$ [/mm] eh nicht gelten (Warum?). Gilt nun aber
[mm] $X=\{x_0\}\,,$ [/mm] so gibt es nur eine einzige echte Teilmenge von [mm] $X\,$:
[/mm]
Welche?
Wieviele Elemente hat die? Und wie viele hat [mm] $\{x_0\}$? [/mm] Wieso folgt dann
auch $|Y| < [mm] |X|\,$?
[/mm]
P.S.
Fast bin ich mir sicher, dass ich hier irgendwo mit mehr argumentiere, als
man eigentlich braucht. Hoffentlich habe ich dennoch nichts übersehen
und benutze irgendwo ein Argument, das ich vielleicht noch gar nicht
benutzen dürfte... Ist halt auch immer ein bisschen schwer hier zu wissen:
Was darfst Du schon benutzen und was noch nicht?
Zum Beispiel kann man definieren:
Eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] heißt endlich, wenn [mm] $M=\emptyset$ [/mm] (mit [mm] $|\emptyset|:=0$) [/mm] oder wenn es eine Bijektion $M [mm] \to \{1,...,n\}$
[/mm]
gibt, und $|M|:=n$ heißt dann die Anzahl der Elemente von [mm] $M\,.$
[/mm]
Man kann aber auch definieren (äquivalente Definition!):
Eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] heißt endlich, wenn [mm] $M=\emptyset$ [/mm] (mit [mm] $|\emptyset|:=0$) [/mm] oder wenn es eine INJEKTION $M [mm] \to \{1,...,n\}$
[/mm]
gibt. Hier definiert man dann [mm] $|M|:=\min\{n \in \IN: \text{ es existiert eine Injektion }M \to \{1,...,n\}\}\,.$
[/mm]
(Es gibt noch weitere äquivalente Definitionen - z.B. kann man, das kannst
Du quasi dem Tipp aus meiner Mitteilung am Ende entnehmen, auch mit
dem Begriff der Surjektivität das ganze direkt passend hinschreiben...)
Jetzt habe ich in Deiner Frage zwar einige Definitionen gelesen, aber ich
glaube, da steht nur was über abzählbar. Was (abzählbar) endlich
bedeutet: Steht das auch drin? Habe ich das überlesen? Ich hab's gerade
nochmal durchgelesen, finde es aber nicht.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Di 09.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Jetzt habe ich in Deiner Frage zwar einige Definitionen
> gelesen, aber ich
> glaube, da steht nur was über abzählbar. Was
> (abzählbar) endlich
> bedeutet: Steht das auch drin? Habe ich das überlesen? Ich
> hab's gerade
> nochmal durchgelesen, finde es aber nicht.
So wie ich mein Buch verstehe gilt immer GENAU einer der Fälle:
1. Eine Menge ist endlich.
2. Eine Menge ist abzählbar (also nicht endlich)
3. Eine Menge ist nicht abzählbar (weder endlich noch abzählbar)
Gilt 2. oder 3. so ist die Menge unendlich.
Ich habe mich auch ein wenig im Internet dazu umgesehen, ich finde immer wieder verschiedene, wenn auch ähnliche Definitionen dieser Begriffe. Manchmal wird unterschieden zwischen abzählbar=endlich oder abzählbar unendlich und abzählbar unendlich (Fall 2). 3. heißt wohl manchmal auch überabzählbar, aber mein Buch verwendet 1. 2. 3. so wie ich sie eben angegeben habe.
> Gruß,
> Marcel
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Di 09.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> > Jetzt habe ich in Deiner Frage zwar einige Definitionen
> > gelesen, aber ich
> > glaube, da steht nur was über abzählbar. Was
> > (abzählbar) endlich
> > bedeutet: Steht das auch drin? Habe ich das überlesen? Ich
> > hab's gerade
> > nochmal durchgelesen, finde es aber nicht.
> So wie ich mein Buch verstehe gilt immer GENAU einer der
> Fälle:
> 1. Eine Menge ist endlich.
> 2. Eine Menge ist abzählbar (also nicht endlich)
> 3. Eine Menge ist nicht abzählbar (weder endlich noch
> abzählbar)
Es können auch zwei der Fälle gelten: Eine endliche Menge ist laut 2. nicht abzählbar und erfüllt 3. Für endliche Mengen gilt demnach sowohl 1. als auch 3.
Um vernünftig argumentieren zu können, brauchen wir eine Definition von "endlich" oder von "unendlich". Die Definition von "abzählbar" reicht da nicht.
In vielen Analysisbüchern wird "endlich" gar nicht definiert und unendlich als "nicht endlich". So bleiben beide Begriffe im Dunkeln. Was die Autoren aber nicht davon abhält, mit diesen Begriffen munter Sätze und Beweise zu formulieren. Mir scheint, daß auch hier Dein Buch wie schon bei dem Bild zur Gleichmächtigkeit eines Intervalls mit der Menge der reellen Zahlen hier eher an die Anschauung appelliert.
Ich habe für mich mal "endlich" definiert. Mit dem Begriff der Abbildung aus Deinem Buch lautet sie:
Eine Menge $Y$ ist endlich, wenn es ein [mm] $n\in \IN_0$ [/mm] und eine eineindeutige Abbildung $A$ gibt mit $D(A)=Y$ und [mm] $B(A)=\{k\in\IN_0\colon 0\le k < n\}\;.$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\IN_0$ [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null.
Übrigens hat DEDEKIND in seinem Buch "Was sind und was sollen die Zahlen,![[]](/images/popup.gif) Seite 17 ,"unendlich" ganz so wie in Deiner zweiten Aufgabe definiert. (ähnlich steht für gleichmächtig und System für Menge).
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Di 09.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hierzu auch B.Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, S. 21ff.
Die stehen hier, angefangen gleich oben rechts.
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Axiom96,
>
> > > Jetzt habe ich in Deiner Frage zwar einige Definitionen
> > > gelesen, aber ich
> > > glaube, da steht nur was über abzählbar. Was
> > > (abzählbar) endlich
> > > bedeutet: Steht das auch drin? Habe ich das überlesen? Ich
> > > hab's gerade
> > > nochmal durchgelesen, finde es aber nicht.
> > So wie ich mein Buch verstehe gilt immer GENAU einer
> der
> > Fälle:
> > 1. Eine Menge ist endlich.
> > 2. Eine Menge ist abzählbar (also nicht endlich)
> > 3. Eine Menge ist nicht abzählbar (weder endlich noch
> > abzählbar)
>
> Es können auch zwei der Fälle gelten: Eine endliche
> Menge ist laut 2. nicht abzählbar und erfüllt 3. Für
> endliche Mengen gilt demnach sowohl 1. als auch 3.
>
> Um vernünftig argumentieren zu können, brauchen wir eine
> Definition von "endlich" oder von "unendlich". Die
> Definition von "abzählbar" reicht da nicht.
>
> In vielen Analysisbüchern wird "endlich" gar nicht
> definiert und unendlich als "nicht endlich". So bleiben
> beide Begriffe im Dunkeln. Was die Autoren aber nicht davon
> abhält, mit diesen Begriffen munter Sätze und Beweise zu
> formulieren. Mir scheint, daß auch hier Dein Buch wie
> schon bei dem Bild zur Gleichmächtigkeit eines Intervalls
> mit der Menge der reellen Zahlen hier eher an die
> Anschauung appelliert.
>
> Ich habe für mich mal "endlich" definiert. Mit dem Begriff
> der Abbildung aus Deinem Buch lautet sie:
>
> Eine Menge [mm]Y[/mm] ist endlich, wenn es ein [mm]n\in \IN_0[/mm] und eine
> eineindeutige Abbildung [mm]A[/mm] gibt mit [mm]D(A)=Y[/mm] und
> [mm]B(A)=\{k\in\IN_0\colon 0\le k < n\}\;.[/mm]
sowas hatte ich auch als mögliche Definition hingeschrieben (in leicht
abgewandelter Form, und ohne mich in das Buch zu denken - ich frage
mich bei dem Buch aber gerade sowieso, wieso man da nicht direkt
bei gewissen Formulierungen den Begriff "bijektiv=surjektiv+injektiv"
verwendet).
> Dabei ist [mm]\IN_0[/mm] die Menge der natürlichen Zahlen
> einschließlich der Null.
>
> Übrigens hat DEDEKIND in seinem Buch "Was sind und was
> sollen die
> Zahlen,Seite 17
> ,"unendlich" ganz so wie in Deiner zweiten Aufgabe
> definiert. (ähnlich steht für gleichmächtig und System
> für Menge).
Das finde ich irgendwie auch naheliegend. Vor allem aber: Er hat sicher
nicht nur den Begriff "unendlich" definiert, sondern danach sicher auch
irgendwo geschrieben: Eine Menge, die nicht unendlich ist, heißt endlich!
(Ich war gerade zu faul, den Link durchzugucken, aber das mache ich
gleich!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 09.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> > In vielen Analysisbüchern wird "endlich" gar nicht
> > definiert und unendlich als "nicht endlich". So bleiben
> > beide Begriffe im Dunkeln. Was die Autoren aber nicht davon
> > abhält, mit diesen Begriffen munter Sätze und Beweise zu
> > formulieren. Mir scheint, daß auch hier Dein Buch wie
> > schon bei dem Bild zur Gleichmächtigkeit eines Intervalls
> > mit der Menge der reellen Zahlen hier eher an die
> > Anschauung appelliert.
> >
> > Ich habe für mich mal "endlich" definiert. Mit dem Begriff
> > der Abbildung aus Deinem Buch lautet sie:
> >
> > Eine Menge [mm]Y[/mm] ist endlich, wenn es ein [mm]n\in \IN_0[/mm] und eine
> > eineindeutige Abbildung [mm]A[/mm] gibt mit [mm]D(A)=Y[/mm] und
> > [mm]B(A)=\{k\in\IN_0\colon 0\le k < n\}\;.[/mm]
>
> sowas hatte ich auch als mögliche Definition
> hingeschrieben (in leicht
> abgewandelter Form, und ohne mich in das Buch zu denken -
> ich frage
> mich bei dem Buch aber gerade sowieso, wieso man da nicht
> direkt
> bei gewissen Formulierungen den Begriff
> "bijektiv=surjektiv+injektiv"
> verwendet).
In der Analysis -- ganz so wie in Axiom96s Buch -- definiert man oft eine Abbildung durch die Zuordnungsvorschrift und die Definitionsmenge. Die Zielmenge spielt keine Rolle, sie muß nur das Bild enthalten. Das heißt zwei Abbildungen sind schon gleich, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Graphen (sprich "Zuordnungsvorschriften") übereinstimmen. Bei diesem Abbildungsbegriff kann man daher weder von "surjektiv" noch von "bijektiv" sprechen. Es bleibt nur "injektiv" -- bezeichnet mit dem merkwürdigen Wort "eineindeutig". Ich errinnere mich, diese Vorgehensweise mal als "fragwürdig" hier im Forum bezeichnet zu haben. FRED war ganz und gar nicht meiner Meinung. Zu Recht, denn Analysis-Abbildungen sind für ihre Zwecke meistens günstiger.
> > Übrigens hat DEDEKIND in seinem Buch "Was sind und was
> > sollen die
> >
> Zahlen,Seite 17
> > ,"unendlich" ganz so wie in Deiner zweiten Aufgabe
> > definiert. (ähnlich steht für gleichmächtig und System
> > für Menge).
>
> Das finde ich irgendwie auch naheliegend. Vor allem aber:
> Er hat sicher
> nicht nur den Begriff "unendlich" definiert, sondern
> danach sicher auch
> irgendwo geschrieben: Eine Menge, die nicht unendlich ist,
> heißt endlich!
> (Ich war gerade zu faul, den Link durchzugucken, aber das
> mache ich
> gleich!)
Natürlich ist "endlich" auch bei DEDEKIND die Verneinung von "unendlich". "injektiv" heißt bei ihm übrigens "ähnlich", und er bezeichnet Definitions- und Bildmenge einer ähnlichen Abbildung als "einander ähnlich".
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> > > In vielen Analysisbüchern wird "endlich" gar nicht
> > > definiert und unendlich als "nicht endlich". So bleiben
> > > beide Begriffe im Dunkeln. Was die Autoren aber nicht davon
> > > abhält, mit diesen Begriffen munter Sätze und Beweise zu
> > > formulieren. Mir scheint, daß auch hier Dein Buch wie
> > > schon bei dem Bild zur Gleichmächtigkeit eines Intervalls
> > > mit der Menge der reellen Zahlen hier eher an die
> > > Anschauung appelliert.
> > >
> > > Ich habe für mich mal "endlich" definiert. Mit dem Begriff
> > > der Abbildung aus Deinem Buch lautet sie:
> > >
> > > Eine Menge [mm]Y[/mm] ist endlich, wenn es ein [mm]n\in \IN_0[/mm] und eine
> > > eineindeutige Abbildung [mm]A[/mm] gibt mit [mm]D(A)=Y[/mm] und
> > > [mm]B(A)=\{k\in\IN_0\colon 0\le k < n\}\;.[/mm]
> >
> > sowas hatte ich auch als mögliche Definition
> > hingeschrieben (in leicht
> > abgewandelter Form, und ohne mich in das Buch zu denken
> -
> > ich frage
> > mich bei dem Buch aber gerade sowieso, wieso man da
> nicht
> > direkt
> > bei gewissen Formulierungen den Begriff
> > "bijektiv=surjektiv+injektiv"
> > verwendet).
>
> In der Analysis -- ganz so wie in Axiom96s Buch --
> definiert man oft eine Abbildung durch die
> Zuordnungsvorschrift und die Definitionsmenge. Die
> Zielmenge spielt keine Rolle, sie muß nur das Bild
> enthalten. Das heißt zwei Abbildungen sind schon gleich,
> wenn ihre Definitionsmengen und ihre Graphen (sprich
> "Zuordnungsvorschriften") übereinstimmen. Bei diesem
> Abbildungsbegriff kann man daher weder von "surjektiv" noch
> von "bijektiv" sprechen. Es bleibt nur "injektiv" --
> bezeichnet mit dem merkwürdigen Wort "eineindeutig". Ich
> errinnere mich, diese Vorgehensweise mal als "fragwürdig"
> hier im Forum bezeichnet zu haben. FRED war ganz und gar
> nicht meiner Meinung. Zu Recht, denn Analysis-Abbildungen
> sind für ihre Zwecke meistens günstiger.
war das die Diskussion, wo es um die Definition des Begriffes
"Umkehrabbildung" ging? Aber okay: Analysis war mein zweifacher
Schwerpunkt im Diplom - bei uns gab's da nichts derartiges, wie
es in dem Buch von Axiom vorkommt. Ich bin auch, weil ich schon
mit diesen Begriffen "seit fast einem Jahrzehnt" so arbeite, wie ich
es hier schreibe, auch ein wenig in meinem eigenen Denkschema
festgefahren. Heißt nicht, dass ich nicht umdenken könnte und mich
in die Notation aus Axioms Buch reindenken kann: Nur, da schwenke
ich dann, ohne es zu merken, einfach zu schnell in "mein Denkschema"
um. Und deswegen schreibe ich hier lieber alles einfach in dem
Denkschema, wie ich es kenne. Reine Faulheit und, nennen wir es
meinetwegen "ein wenig Feigheit", die Begriffe, wie ich sie kenne, mit
den Begriffen aus Axioms Buch zu verwechseln bzw. diese durcheinander
zu werfen!
> > > Übrigens hat DEDEKIND in seinem Buch "Was sind und was
> > > sollen die
> > >
> >
> Zahlen,Seite 17
> > > ,"unendlich" ganz so wie in Deiner zweiten Aufgabe
> > > definiert. (ähnlich steht für gleichmächtig und System
> > > für Menge).
> >
> > Das finde ich irgendwie auch naheliegend. Vor allem aber:
> > Er hat sicher
> > nicht nur den Begriff "unendlich" definiert, sondern
> > danach sicher auch
> > irgendwo geschrieben: Eine Menge, die nicht unendlich
> ist,
> > heißt endlich!
> > (Ich war gerade zu faul, den Link durchzugucken, aber
> das
> > mache ich
> > gleich!)
>
> Natürlich ist "endlich" auch bei DEDEKIND die Verneinung
> von "unendlich". "injektiv" heißt bei ihm übrigens
> "ähnlich", und er bezeichnet Definitions- und Bildmenge
> einer ähnlichen Abbildung als "einander ähnlich".
Okay. Der Link ist übrigens schön, aber leider kann ich da nichts
durchsuchen. Vielleicht hatte sich ja mal jmd. die Mühe gemacht,
dieses "alte Schriftwerk" neu aufzulegen und als Durchsuchbare pdf-
Datei zur Verfügung zu stellen... Ich such' demnächst mal nach einer,
auch, wenn's böse klingt: zeitgemäßeren Auflage.
(Im Sinne von: Gleicher Text, meinetwegen auch die damalige
Rechtschreibung, aber durchsuchbare pdf-Datei, andere Schrift (nicht
diese altdeutschen Buchstaben) etc. pp.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Di 09.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> schreib' lieber [mm]y \mapsto A(y)\,.[/mm] (Also hier an der Stelle
> "mapsto" anstatt des "to".)
Hallo, ja das habe ich auch gemeint, ich wusste nur nicht, wie man das schreibt. Wie wird diese Vorschrift übrigens gelesen? "A(y) wird y zugeordnet?" Das klingt nicht sehr elegant.
Viele grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 09.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> > schreib' lieber [mm]y \mapsto A(y)\,.[/mm] (Also hier an der Stelle
> > "mapsto" anstatt des "to".)
> Hallo, ja das habe ich auch gemeint, ich wusste nur nicht,
> wie man das schreibt. Wie wird diese Vorschrift übrigens
> gelesen? "A(y) wird y zugeordnet?" Das klingt nicht sehr
> elegant.
Vielleicht besser: $y$ geht nach $A(y)$. Man benutzt diese Schreibweise gerne, um kurz und knapp eine Abbildung anzugeben, etwa [mm] $\IR\to \IR, x\mapsto x^2$ [/mm] oder [mm] $\IR \to \IR, x\mapsto y^2$. [/mm] Diese Abbildungen sind anonym. Um der ersten den Namen $f$ zu geben, schreibt man [mm] $f\colon \IR\to \IR, x\mapsto x^2$.
[/mm]
Allgemein ist eine Abbildung durch die Definitionsmenge $D$, die Zielmenge $Z$ und eine Zuordnung definiert, die jedem Element $x$ aus $D$ ein Element $T(x)$ aus $Z$ zuordnet. Dies schreibt man dann so:
$f: [mm] D\to [/mm] Z, [mm] x\mapsto [/mm] T(x)$.
Wenn Definitions- und Zielmenge aus dem Zusammenhang klar sind oder gerade keine Rolle spielen, schreibt man einfach [mm] $x\mapsto [/mm] T(x)$.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Di 09.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
das Zeichen [mm] \mapsto [/mm] wird oft auch gelesen als "wird abgebildet auf".
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Axiom96,
>
> > > schreib' lieber [mm]y \mapsto A(y)\,.[/mm] (Also hier an der Stelle
> > > "mapsto" anstatt des "to".)
> > Hallo, ja das habe ich auch gemeint, ich wusste nur
> nicht,
> > wie man das schreibt. Wie wird diese Vorschrift übrigens
> > gelesen? "A(y) wird y zugeordnet?"
@ Axiom: Das kann man vielfältig lesen:
"Man bildet [mm] $y\,$ [/mm] auf [mm] $A(y)\,$ [/mm] ab!"
[mm] "$y\,$ [/mm] wird auf [mm] $A(y)\,$ [/mm] abgebildet!"
[mm] "$A(y)\,$ [/mm] ist das Bild von [mm] $y\,$ [/mm] unter [mm] $A\,.$" [/mm]
"Man ordnet [mm] $y\,$ $A(y)\,$ [/mm] zu."
.
.
.
Ich selbst bevorzuge [mm] "$y\,$ [/mm] wird auf [mm] $A(y)\,$ [/mm] abgebildet!"
> Das klingt nicht sehr
> > elegant.
>
> Vielleicht besser: [mm]y[/mm] geht nach [mm]A(y)[/mm]. Man benutzt diese
> Schreibweise gerne, um kurz und knapp eine Abbildung
> anzugeben, etwa [mm]\IR\to \IR, x\mapsto x^2[/mm] oder [mm]\IR \to \IR, x\mapsto y^2[/mm].
Meintest Du hier zuletzt [mm] $\red{y} \mapsto y^2$? [/mm] Oder $x [mm] \mapsto y=x^2$?
[/mm]
Ich selbst übertreibe es auch gerne und schreibe:
$$f: [mm] \IR \ni [/mm] x [mm] \maspto f(x):=x^2 \in [0,\infty)$$
[/mm]
steht für $f: [mm] \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Übertrieben deswegen vor allem, weil ich $x [mm] \mapsto f(x):=x^2$ [/mm] da
stehen habe...
> Diese Abbildungen sind anonym. Um der ersten den Namen [mm]f[/mm] zu
> geben, schreibt man [mm]f\colon \IR\to \IR, x\mapsto x^2[/mm].
>
> Allgemein ist eine Abbildung durch die Definitionsmenge [mm]D[/mm],
> die Zielmenge [mm]Z[/mm] und eine Zuordnung definiert, die jedem
> Element [mm]x[/mm] aus [mm]D[/mm] ein Element [mm]T(x)[/mm] aus [mm]Z[/mm] zuordnet. Dies
> schreibt man dann so:
>
> [mm]f: D\to Z, x\mapsto T(x)[/mm].
Das mache ich wiederum nicht - anstatt [mm] $T(x)\,$ [/mm] schreibe ich in der Tat
schon [mm] $f(x)\,,$ [/mm] vielleicht würde das bei Dir so aussehen
$$f: D [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x):=T(x) [mm] \in Z\,.$$
[/mm]
Was dieses [mm] $T(x)\,$ [/mm] aber dann da soll, wenn es nicht selbst schon eine
Abbildung ist, verstehe ich nicht ganz... Nunja, über Konventionen muss
man aber auch nicht unbedingt diskutieren. Aber vielleicht erklärst Du
dennoch, was [mm] $T\,$ [/mm] dort eigentlich soll. Vielleicht hat es bei Dir eine
Bedeutung wie "Term, der mit [mm] $x\,$ [/mm] gebildet wird". Auch, wenn dann
[mm] $T\,$ [/mm] in sinnvoller Weise wohl doch selbst eine Abbildung sein sollte...
Wie gesagt: Mir ist das nicht ganz klar, warum Du da anstatt [mm] $f(x)\,$
[/mm]
nun [mm] $T(x)\,$ [/mm] schreibst! Aber alte Gewohnheiten legt man auch schwer
ab... deswegen: Ich seh's vielleicht einfach aus Gewohnheit gerade nicht!
> Wenn Definitions- und Zielmenge aus dem Zusammenhang klar
> sind oder gerade keine Rolle spielen, schreibt man einfach
> [mm]x\mapsto T(x)[/mm].
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Di 09.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Vielleicht besser: [mm]y[/mm] geht nach [mm]A(y)[/mm]. Man benutzt diese
> > Schreibweise gerne, um kurz und knapp eine Abbildung
> > anzugeben, etwa [mm]\IR\to \IR, x\mapsto x^2[/mm] oder [mm]\IR \to \IR, x\mapsto y^2[/mm].
>
> Meintest Du hier zuletzt [mm]\red{y} \mapsto y^2[/mm]? Oder [mm]x \mapsto y=x^2[/mm]?
Nein, zur Abwechslung habe ich tatsächlich geschrieben, was ich gemeint habe.
Diese Abbildung bildet alle $x$ auf [mm] $y^2$ [/mm] ab, ist also konstant.
> > Allgemein ist eine Abbildung durch die Definitionsmenge [mm]D[/mm],
> > die Zielmenge [mm]Z[/mm] und eine Zuordnung definiert, die jedem
> > Element [mm]x[/mm] aus [mm]D[/mm] ein Element [mm]T(x)[/mm] aus [mm]Z[/mm] zuordnet. Dies
> > schreibt man dann so:
> >
> > [mm]f: D\to Z, x\mapsto T(x)[/mm].
>
> Das mache ich wiederum nicht - anstatt [mm]T(x)\,[/mm] schreibe ich
> in der Tat
> schon [mm]f(x)\,,[/mm] vielleicht würde das bei Dir so aussehen
> [mm]f: D \ni x \mapsto f(x):=T(x) \in Z\,.[/mm]
Bei mir nicht, bei Dir?
> Was dieses [mm]T(x)\,[/mm]
> aber dann da soll, wenn es nicht selbst schon eine
> Abbildung ist, verstehe ich nicht ganz... Nunja, über
> Konventionen muss
> man aber auch nicht unbedingt diskutieren. Aber vielleicht
> erklärst Du
> dennoch, was [mm]T\,[/mm] dort eigentlich soll. Vielleicht hat es
> bei Dir eine
> Bedeutung wie "Term, der mit [mm]x\,[/mm] gebildet wird". Auch, wenn
> dann
> [mm]T\,[/mm] in sinnvoller Weise wohl doch selbst eine Abbildung
> sein sollte...
> Wie gesagt: Mir ist das nicht ganz klar, warum Du da
> anstatt [mm]f(x)\,[/mm]
> nun [mm]T(x)\,[/mm] schreibst! Aber alte Gewohnheiten legt man auch
> schwer
> ab... deswegen: Ich seh's vielleicht einfach aus
> Gewohnheit gerade nicht!
Das $T(x)$ ist tatsächlich ein Term, in dem $x$ auftauchen kann oder auch nicht -- wie in meinem zweiten, etwas irritierenden Beispiel.
Das machst Du übrigens auch so:
[mm] $f\colon \IR^2\to\IR, [/mm] (x, [mm] y)\mapsto x*y\;.$
[/mm]
Dabei wird dann gleich der Term $f(x, y)$ definiert, den man dann bei
[mm] $f_1\colon \IR\to\IR, x\mapsto [/mm] f(x, y)$
verwenden kann.
Sowas hilft, partielle Ableitungen auf die Ableitung von Funktionen mit einer Variablen zurückzuführen.
Jede Abbildung $f$ definiert einen Term $f(x)$ und jeder Term kann benutzt werden, um eine Abbildung zu definieren.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > > Vielleicht besser: [mm]y[/mm] geht nach [mm]A(y)[/mm]. Man benutzt diese
> > > Schreibweise gerne, um kurz und knapp eine Abbildung
> > > anzugeben, etwa [mm]\IR\to \IR, x\mapsto x^2[/mm] oder [mm]\IR \to \IR, x\mapsto y^2[/mm].
> >
> > Meintest Du hier zuletzt [mm]\red{y} \mapsto y^2[/mm]? Oder [mm]x \mapsto y=x^2[/mm]?
>
> Nein, zur Abwechslung habe ich tatsächlich geschrieben,
> was ich gemeint habe.
> Diese Abbildung bildet alle [mm]x[/mm] auf [mm]y^2[/mm] ab, ist also
> konstant.
okay... das macht so dann natürlich auch Sinn.
> > > Allgemein ist eine Abbildung durch die Definitionsmenge [mm]D[/mm],
> > > die Zielmenge [mm]Z[/mm] und eine Zuordnung definiert, die jedem
> > > Element [mm]x[/mm] aus [mm]D[/mm] ein Element [mm]T(x)[/mm] aus [mm]Z[/mm] zuordnet. Dies
> > > schreibt man dann so:
> > >
> > > [mm]f: D\to Z, x\mapsto T(x)[/mm].
> >
> > Das mache ich wiederum nicht - anstatt [mm]T(x)\,[/mm] schreibe ich
> > in der Tat
> > schon [mm]f(x)\,,[/mm] vielleicht würde das bei Dir so
> aussehen
> > [mm]f: D \ni x \mapsto f(x):=T(x) \in Z\,.[/mm]
>
> Bei mir nicht, bei Dir?
Ja, da habe ich mich sprachlich blöd' ausgedrückt: Ich meinte, so, wie ich
das sonst schreibe, würde das, wenn ich es mit Deiner Notation
"vermische", wohl so wie oben aussehen!
> > Was dieses [mm]T(x)\,[/mm]
> > aber dann da soll, wenn es nicht selbst schon eine
> > Abbildung ist, verstehe ich nicht ganz... Nunja, über
> > Konventionen muss
> > man aber auch nicht unbedingt diskutieren. Aber
> vielleicht
> > erklärst Du
> > dennoch, was [mm]T\,[/mm] dort eigentlich soll. Vielleicht hat es
> > bei Dir eine
> > Bedeutung wie "Term, der mit [mm]x\,[/mm] gebildet wird". Auch, wenn
> > dann
> > [mm]T\,[/mm] in sinnvoller Weise wohl doch selbst eine Abbildung
> > sein sollte...
> > Wie gesagt: Mir ist das nicht ganz klar, warum Du da
> > anstatt [mm]f(x)\,[/mm]
> > nun [mm]T(x)\,[/mm] schreibst! Aber alte Gewohnheiten legt man
> auch
> > schwer
> > ab... deswegen: Ich seh's vielleicht einfach aus
> > Gewohnheit gerade nicht!
>
> Das [mm]T(x)[/mm] ist tatsächlich ein Term, in dem [mm]x[/mm] auftauchen
> kann oder auch nicht -- wie in meinem zweiten, etwas
> irritierenden Beispiel.
>
> Das machst Du übrigens auch so:
> [mm]f\colon \IR^2\to\IR, (x, y)\mapsto x*y\;.[/mm]
Ja, nur schreibe ich dann nicht [mm] $T(x,y)=x*y\,,$ [/mm] sondern [mm] $f(x,y)=x*y\,.$
[/mm]
("Übertriebenermaßen korrekt" manchmal sogar auch [mm] $f((x,y))=x*y\,$
[/mm]
oder, je nachdem, wie man den [mm] $\IR^2$ [/mm] auffasst, auch als
[mm] $f((x,y)^T):=x*y\,.$)
[/mm]
> Dabei wird dann gleich der Term [mm]f(x, y)[/mm] definiert, den man
> dann bei
>
> [mm]f_1\colon \IR\to\IR, x\mapsto f(x, y)[/mm]
>
> verwenden kann.
>
> Sowas hilft, partielle Ableitungen auf die Ableitung von
> Funktionen mit einer Variablen zurückzuführen.
>
> Jede Abbildung [mm]f[/mm] definiert einen Term [mm]f(x)[/mm] und jeder Term
> kann benutzt werden, um eine Abbildung zu definieren.
Okay... ich glaub', ich müsste mal anhand von ein paar Beispielen
klarer sehen, wo da nun genau der Unterschied ist respektive welche
Vorteile (oder welche Nachteile) es da gibt. Irgendwie scheint's mir, dass
wir eigentlich das gleiche machen, aber nur die Dinge anders benennen.
Aber um das, gerade zu so später Stunde, genau(er) zu durchblicken,
wäre das ein oder andere Beispiel vorteilhaft.
Aber wie gesagt: Arbeiten tu' ich mit dem Zeug eh schon ewig so, wie
ich's gelernt habe. Ob ich das "komplett umschmeißen und mich einer
'anderen Notation' anpassen will" - das mache ich dann, wenn mich die
Vielzahl der Vorteile der "anderen Notation" davon überzeugen würde.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:59 Di 09.10.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Zu 2):
"=>"
Wenn man die menge X hat. Dann ist [mm] Y=X/\{x_{1} | x_{1} \in X \} [/mm] eine Teilmenge von X.|Y|= [mm] \infty [/mm] -1 [mm] =\infty
[/mm]
"<="
sei Y [mm] \subset [/mm] X und [mm] |Y|=\infty \Rightarrow |X|>\infty \Rightarrow |X|=\infty
[/mm]
q.e.d.
Gruß
Cluso ! Der Chefinspektor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:46 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Zu 2):
>
> "=>"
> Wenn man die menge X hat. Dann ist [mm]Y=X/\{x_{1} | x_{1} \in X \}[/mm]
> eine Teilmenge von X.|Y|= [mm]\infty[/mm] -1 [mm]=\infty[/mm]
nein: [mm] $\{x_1: x_1 \in X\}$ [/mm] ist doch einfach nur [mm] $=X\,.$ [/mm]
Damit ist $X [mm] \setminus \{x_1: x_1 \in X\}=\emptyset\,.$
[/mm]
Du meinst mit [mm] $x_1 \in [/mm] X$ wenn überhaupt oben: $X [mm] \setminus \{x_1\}\,.$ [/mm] Es ist wichtig, dass das [mm] $x_1 \in [/mm] X$ NICHT in der Mengenklammer steht!
> "<="
> sei Y [mm]\subset[/mm] X und [mm]|Y|=\infty \Rightarrow |X|>\infty \Rightarrow |X|=\infty[/mm]
Das ist, auch wenn man's "richtig gemeint" liest, kein Beweis: Du rechnest
ja einfach nur mit dem "Symbol" [mm] $\infty\,.$ [/mm] Wer sagt, dass Du das so darfst
- bzw. dass das hier so vernünftig ist? (Im Sinne von, dass das zu den Definitionen der Begriffe 'endliche Menge', 'unendliche abzählbare Menge' und 'unendliche nicht abzählbare Menge' und dem Begriff
"Mächtigkeit einer Menge" passende Rechenregeln sind?!)
Beispiel:
[mm] $|\IN|=\infty$ [/mm] und [mm] $|2\IN|=\infty\,.$ [/mm] Ist daher mit [mm] $U:=\{u \in \IN: u=2k-1; k \in \IN\}|$ [/mm] dann [mm] $|U|=\infty-\infty$ [/mm] wegen [mm] $U=\IN \setminus (2\IN)$? [/mm]
Und was ist dann [mm] $\infty-\infty\,,$ [/mm] oder warum wird das nicht definiert?
P.S. "Fundamentaler Fehler", weil Du nirgends beweist, dass mit den hier
gegebenen Definitionen eben so gerechnet werden darf. Der Sinn der
Aufgabe hier ist es doch nicht, einfach mit "Definitionen", wie
[mm] $$\infty\pm r:=\infty \text{ für alle }r \in \IR$$
[/mm]
irgendwie rumzurechnen. Sondern eben die Aussage mit den gegebenen
Definitionen zu beweisen. Böse gesagt: Thema verfehlt!
(Jedenfalls, solange Du keine Ergänzungen machst!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 11.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
So, dann mal hier oben weiter...
> 1. Hier habe ich mir gedacht, dass Folgendes gelten
> müsste: Sei X eine unendliche Menge. Dann existiert wegen
> [mm]X\not=\emptyset[/mm] ein beliebig wählbares [mm]x_1\in{X}[/mm] . Da X
> unendlich ist, existiert nun ein weiteres beliebig
> wählbares [mm]x_2\in X\setminus\{x_1\}.[/mm]
> Auf die gleiche Weise
> existiert stets ein [mm]x_i\in X\setminus\{x_n,n
> [mm]i\in\IN.[/mm] Für alle n ist nun sicher
> [mm]Y:=\{x_n,n\in\IN\}\subset{}X[/mm] abzählbar. Genügt das? Ich
> bin mir nicht sicher, ob ich streng nach Definition
> argumentiere.
War das so richtig? Diese Frage ist neben den anderen beiden etwas untergegangen.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> > 1. Hier habe ich mir gedacht, dass Folgendes gelten
> > müsste: Sei X eine unendliche Menge. Dann existiert wegen
> > [mm]X\not=\emptyset[/mm] ein beliebig wählbares [mm]x_1\in{X}[/mm] . Da X
> > unendlich ist, existiert nun ein weiteres beliebig
> > wählbares [mm]x_2\in X\setminus\{x_1\}.[/mm]
> > Auf die gleiche
> Weise
> > existiert stets ein [mm]x_i\in X\setminus\{x_n,n
> > [mm]i\in\IN.[/mm] Für alle n ist nun sicher
> > [mm]Y:=\{x_n,n\in\IN\}\subset{}X[/mm] abzählbar. Genügt das? Ich
> > bin mir nicht sicher, ob ich streng nach Definition
> > argumentiere.
Hier ist alles richtig. Aber das erste "sicher" hat sowas Überredendes. Solche Floskeln zeigen meistens an, daß der Autor sich selbst gerade nicht sicher ist oder daß er meint, der Leser kann das eh' nicht nachvollziehen und muß überredet werden.
Ich nehme mal ersteres an. Also warum ist $Y$ abzählbar, d. h. warum ist $Y$ zu [mm] $\IN$ [/mm] gleichmächtig? Vielleicht solltest Du das begründen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 11.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom96,
>
> > > 1. Hier habe ich mir gedacht, dass Folgendes gelten
> > > müsste: Sei X eine unendliche Menge. Dann existiert wegen
> > > [mm]X\not=\emptyset[/mm] ein beliebig wählbares [mm]x_1\in{X}[/mm] . Da X
> > > unendlich ist, existiert nun ein weiteres beliebig
> > > wählbares [mm]x_2\in X\setminus\{x_1\}.[/mm]
> > > Auf die
> gleiche
> > Weise
> > > existiert stets ein [mm]x_i\in X\setminus\{x_n,n
> > > [mm]i\in\IN.[/mm] Für alle n ist nun sicher
> > > [mm]Y:=\{x_n,n\in\IN\}\subset{}X[/mm] abzählbar. Genügt das? Ich
> > > bin mir nicht sicher, ob ich streng nach Definition
> > > argumentiere.
>
> Hier ist alles richtig. Aber das erste "sicher" hat sowas
> Überredendes. Solche Floskeln zeigen meistens an, daß der
> Autor sich selbst gerade nicht sicher ist oder daß er
> meint, der Leser kann das eh' nicht nachvollziehen und muß
> überredet werden.
>
> Ich nehme mal ersteres an. Also warum ist [mm]Y[/mm] abzählbar, d.
> h. warum ist [mm]Y[/mm] zu [mm]\IN[/mm] gleichmächtig? Vielleicht solltest
> Du das begründen.
>
> Gruß,
> Wolfgang
Weil eine bijektive Abbildung [mm] f:Y\to\IN x_n\mapsto{}n [/mm] existiert, oder nicht? Dabei ist ja [mm] x_n [/mm] gerade so konstruiert worden, dass [mm] D(f)=\IN. [/mm] Existierte ein [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] x_n\notin{}Y, [/mm] dann wäre ja |Y|<n.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Hallo Axiom96,
> >
> > > > 1. Hier habe ich mir gedacht, dass Folgendes gelten
> > > > müsste: Sei X eine unendliche Menge. Dann existiert wegen
> > > > [mm]X\not=\emptyset[/mm] ein beliebig wählbares [mm]x_1\in{X}[/mm] . Da X
> > > > unendlich ist, existiert nun ein weiteres beliebig
> > > > wählbares [mm]x_2\in X\setminus\{x_1\}.[/mm]
> > > > Auf
> die
> > gleiche
> > > Weise
> > > > existiert stets ein [mm]x_i\in X\setminus\{x_n,n
> > > > [mm]i\in\IN.[/mm] Für alle n ist nun sicher
> > > > [mm]Y:=\{x_n,n\in\IN\}\subset{}X[/mm] abzählbar. Genügt das? Ich
> > > > bin mir nicht sicher, ob ich streng nach Definition
> > > > argumentiere.
> >
> > Hier ist alles richtig. Aber das erste "sicher" hat sowas
> > Überredendes. Solche Floskeln zeigen meistens an, daß der
> > Autor sich selbst gerade nicht sicher ist oder daß er
> > meint, der Leser kann das eh' nicht nachvollziehen und muß
> > überredet werden.
> >
> > Ich nehme mal ersteres an. Also warum ist [mm]Y[/mm] abzählbar, d.
> > h. warum ist [mm]Y[/mm] zu [mm]\IN[/mm] gleichmächtig? Vielleicht solltest
> > Du das begründen.
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
> Weil eine bijektive Abbildung [mm]f:Y\to\IN x_n\mapsto{}n[/mm]
> existiert, oder nicht?
Das stimmt zwar, aber einfacher ist es, in der anderen Richtung zu argumentieren: Die Folge ist eine eineindeutige Abbildung
[mm] $f:\IN\to [/mm] X, [mm] k\mapsto n_k\.$
[/mm]
mit [mm] $D(f)=\IN$ [/mm] und $B(f)=Y$. Damit sind $Y$ und [mm] $\IN$ [/mm] gleichmächtig, d. h. $Y$ ist abzählbar.
> Dabei ist ja [mm]x_n[/mm] gerade so
> konstruiert worden, dass [mm]D(f)=\IN.[/mm] Existierte ein [mm]n\in\IN[/mm]
> mit [mm]x_n\notin{}Y,[/mm] dann wäre ja |Y|<n.
Na ja, das letzte stimmt zwar, aber nur weil die Voraussetzung falsch ist, und deren Falschheit ist klar. Und hier bringst Du neue Symbole rein wie $|Y|$. Dies ist überflüssig und macht alles komplizierter, als es ohnehin schon ist. Deshalb habe ich ja auch die Begriffe aus Deinem Buch verwendet und bewußt auf "injektiv", "bijektiv" und "surjektiv" verzichtet. Das Motto von Dieter Rahms "Weniger, aber besser" kann man auch auf unser Geschäft übertragen: Verwende wenige Begriffe, aber die sehr gut.
liebe Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 09.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> Man zeige, dass eine Teilmenge einer abzählbaren Menge
> stets endlich oder abzählbar ist.
> Hallo, ich bitte um Korrektur meiner Lösung:
>
> Definitionen:
> Seien X, Y beiliebige Mengen.
> 1. Eine Vorschrift A, welche jedem x einer Teilmenge
> [mm]D(A)\subset{X}[/mm] eindeutig ein Element [mm]y=A(x)\in{Y}[/mm] zuordnet,
> heißt eine Abbildung aus X in Y.
> 2. D(A) heißt Definitionsmenge von A.
> 3. [mm]B(A):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{D(A)}\}[/mm] heißt
> Bildmenge von A.
> 4. Ist [mm]X\subset{D(A)},[/mm] so heißt [mm]A(X):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{X}\}[/mm]
> Bild von X unter A.
> 5. Eine Abbildung [mm]A:X\to[/mm] Y heißt eineindeutig, wenn aus
> [mm]A(x)=A(x')[/mm] stets folgt: [mm]x=x'[/mm]
>
> Eine Menge [mm]X[/mm] sei abzählbar [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine
> eineindeutige Abbildung [mm]G:X\to\IN[/mm] mit [mm]D(G)=X[/mm], [mm]B(G)=\IN.[/mm]
> Sei [mm]Y\subset{}X.[/mm] Zu zeigen ist: Es existert eine
> eineindeutige Abbildung [mm]F:Y\to\IN[/mm] mit [mm]D(F)=Y[/mm],
> [mm]B(F)\subset\IN[/mm].
> Ich unterscheide nun zwei Fälle:
> 1. [mm]B(F)[/mm] ist endlich [mm]\Rightarrow[/mm] Zu jedem [mm]n\in{}B(F)[/mm]
> existiert genau ein [mm]y\in{}Y[/mm] mit [mm]F(y)=n[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]Y[/mm] ist
> endlich.
> 2. [mm]B(F)\subset\IN[/mm] ist unendlich.
> Es existiert dann genau ein [mm]n_1\in{}B(F)[/mm] so, dass [mm]n_1
> für alle [mm]n\in{}B(F)\setminus\{n_1\}.[/mm]
> Es existiert auch genau ein [mm]n_2\in{}B(F)[/mm] so, dass [mm]n_2
> für alle [mm]n\in{}B(F)\setminus\{n_1,n_2\}.[/mm]
> Auf die gleiche Weise existiert genau ein [mm]n_k\in{}B(F)[/mm] so,
> dass [mm]n_k
> Es existiert demnach eine eineindeutige Abbildung
> [mm]K:B(F)\to\IN[/mm] mit [mm]D(K)=B(F)[/mm], [mm]B(K)=\IN[/mm] definiert durch
> [mm]K(n)=n_k.[/mm]
> Es ist also [mm]B(F)[/mm] gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] und damit auch [mm]Y[/mm]
> gleichmächtig zu [mm]\IN,[/mm] [mm]Y[/mm] ist also abzählbar.
Deinen Beweis verstehe ich nicht. Du scheinst "$Y$ ist abzählbar" bewiesen zu haben. Dies folgt aber tatsächlich nicht aus der Voraussetzung [mm] $Y\subset [/mm] X$ und $X$ ist abzählbar.
Die Fallunterscheidung ist überflüssig, ja sogar schädlich, da wir ja "endlich" nicht definiert haben, Du aber nach diesem Begriff Deine Fälle unterscheidest. Beschränken wir uns also auf Definiertes:
Wir gehen von der eineindeutigen Abbildung $G: [mm] X\to \IN$ [/mm] aus. Weil [mm] $Y\subset [/mm] X$ ist, wird durch
$F: [mm] Y\to \IN, x\mapsto [/mm] G(x)$
eine Abbildung $F$ definiert. (Man nennt $F$ auch "Einschränkung von $G$ auf $Y$". Diese Einschränkung ist nur möglich, weil [mm] $Y\subset [/mm] X$ ist.)
$F$ ist eineindeutig: Sei $x, [mm] x'\in [/mm] Y$ und $F(x)=F(y)$. Wegen $F(x)=G(x)$ und $F(x')=G(x')$ folgt $G(x)=G(x')$. Und weil $G$ eineindeutig ist, folgt weiter $x=x'$.
[mm] $B(F)\subset \IN$: [/mm] Dies ist klar, weil [mm] $\IN$ [/mm] die Zielmenge von $F$ ist.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 09.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo Wolfgang,
ich glaube, ich muss noch einige vielleicht banale Fragen stellen, denn dieses Thema bereitet mir doch mächtig (haha) Schwierigkeiten. Nicht, dass ich eine billige Ausrede suche, aber ich denke doch, dass diese auf einige Mängel im Buch zurückzuführen sind.
Zunächst einmal möchte ich klären, was ich überhaupt genau zeigen soll. Doch, dass [mm] Y\subset{}X [/mm] entweder endlich oder abzählbar unendlich ist. Meine Idee war daher, wenn Y nicht endlich ist, zu zeigen, dass sich eine Abzählung von Y konstruieren lässt. Dazu wollte ich die Ordnung von [mm] \IN [/mm] ausnutzen und zeigen, dass ich die Teilmenge [mm] B(F)\subset\IN [/mm] ebenso anordnen kann, auch wenn gewisse Elemente fehlen. Ist diese Grundidee schon falsch, oder nur die Ausführung?
> Hallo Axiom96,
>
> > Man zeige, dass eine Teilmenge einer abzählbaren Menge
> > stets endlich oder abzählbar ist.
> > Hallo, ich bitte um Korrektur meiner Lösung:
> >
> > Definitionen:
> > Seien X, Y beiliebige Mengen.
> > 1. Eine Vorschrift A, welche jedem x einer Teilmenge
> > [mm]D(A)\subset{X}[/mm] eindeutig ein Element [mm]y=A(x)\in{Y}[/mm]
> zuordnet,
> > heißt eine Abbildung aus X in Y.
> > 2. D(A) heißt Definitionsmenge von A.
> > 3. [mm]B(A):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{D(A)}\}[/mm] heißt
> > Bildmenge von A.
> > 4. Ist [mm]X\subset{D(A)},[/mm] so heißt [mm]A(X):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{X}\}[/mm]
>
> > Bild von X unter A.
> > 5. Eine Abbildung [mm]A:X\to[/mm] Y heißt eineindeutig, wenn
> aus
> > [mm]A(x)=A(x')[/mm] stets folgt: [mm]x=x'[/mm]
> >
> > Eine Menge [mm]X[/mm] sei abzählbar [mm]\gdw[/mm] Es existiert eine
> > eineindeutige Abbildung [mm]G:X\to\IN[/mm] mit [mm]D(G)=X[/mm], [mm]B(G)=\IN.[/mm]
> > Sei [mm]Y\subset{}X.[/mm] Zu zeigen ist: Es existert eine
> > eineindeutige Abbildung [mm]F:Y\to\IN[/mm] mit [mm]D(F)=Y[/mm],
> > [mm]B(F)\subset\IN[/mm].
> > Ich unterscheide nun zwei Fälle:
> > 1. [mm]B(F)[/mm] ist endlich [mm]\Rightarrow[/mm] Zu jedem [mm]n\in{}B(F)[/mm]
> > existiert genau ein [mm]y\in{}Y[/mm] mit [mm]F(y)=n[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]Y[/mm] ist
> > endlich.
> > 2. [mm]B(F)\subset\IN[/mm] ist unendlich.
> > Es existiert dann genau ein [mm]n_1\in{}B(F)[/mm] so, dass [mm]n_1
> > für alle [mm]n\in{}B(F)\setminus\{n_1\}.[/mm]
> > Es existiert auch genau ein [mm]n_2\in{}B(F)[/mm] so, dass [mm]n_2
> > für alle [mm]n\in{}B(F)\setminus\{n_1,n_2\}.[/mm]
> > Auf die gleiche Weise existiert genau ein [mm]n_k\in{}B(F)[/mm]
> so,
> > dass [mm]n_k
> > Es existiert demnach eine eineindeutige Abbildung
> > [mm]K:B(F)\to\IN[/mm] mit [mm]D(K)=B(F)[/mm], [mm]B(K)=\IN[/mm] definiert durch
> > [mm]K(n)=n_k.[/mm]
> > Es ist also [mm]B(F)[/mm] gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] und damit auch [mm]Y[/mm]
> > gleichmächtig zu [mm]\IN,[/mm] [mm]Y[/mm] ist also abzählbar.
>
> Deinen Beweis verstehe ich nicht. Du scheinst "[mm]Y[/mm] ist
> abzählbar" bewiesen zu haben. Dies folgt aber tatsächlich
> nicht aus der Voraussetzung [mm]Y\subset X[/mm] und [mm]X[/mm] ist
> abzählbar.
>
> Die Fallunterscheidung ist überflüssig, ja sogar
> schädlich, da wir ja "endlich" nicht definiert haben, Du
> aber nach diesem Begriff Deine Fälle unterscheidest.
> Beschränken wir uns also auf Definiertes:
>
> Wir gehen von der eineindeutigen Abbildung [mm]G: X\to \IN[/mm] aus.
> Weil [mm]Y\subset X[/mm] ist, wird durch
>
> [mm]F: Y\to \IN, x\mapsto G(x)[/mm]
>
> eine Abbildung [mm]F[/mm] definiert. (Man nennt [mm]F[/mm] auch
> "Einschränkung von [mm]G[/mm] auf [mm]Y[/mm]". Diese Einschränkung ist nur
> möglich, weil [mm]Y\subset X[/mm] ist.)
>
> [mm]F[/mm] ist eineindeutig: Sei [mm]x, x'\in Y[/mm] und [mm]F(x)=F(y)[/mm]. Wegen
> [mm]F(x)=G(x)[/mm] und [mm]F(x')=G(x')[/mm] folgt [mm]G(x)=G(x')[/mm]. Und weil [mm]G[/mm]
> eineindeutig ist, folgt weiter [mm]x=x'[/mm].
>
> [mm]B(F)\subset \IN[/mm]: Dies ist klar, weil [mm]\IN[/mm] die Zielmenge von
> [mm]F[/mm] ist.
Ich glaube, der Beweis ist mir klar. Allerdings kommen mir immer wieder Fragen, die dann mit einem Blick auf die Definitionen wieder verschwinden, vielleicht muss ich nachher noch eine solche stellen.
> Grüße,
> Wolfgang
Vielen Dank jedenfalls für die Hilfe und
Viele Grüße,
Axiom
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Di 09.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> Ausrede suche, aber ich denke doch, dass diese auf einige
> Mängel im Buch zurückzuführen sind.
Dies Mängel sind leider typisch für Analysisbücher und -vorlesungen! Die Mengenlehre wird zu kurz gestreift, um nachvollziehbare Schlüsse zu vermitteln. Gute, ehrliche Bücher geben das zu, andere tun so, als ob jeder "unendlich" intuitiv einsehen kann, obwohl doch die Mathematik seit über 2000 Jahre mit mehr oder weniger Erfolg versucht, den Begriff "Unendlich" so in den Griff zu bekommen, um darauf überzeugende Beweise zu gründen, bzw. ohne ihn auszukommen.
> Zunächst einmal möchte ich klären, was ich überhaupt
> genau zeigen soll. Doch, dass [mm]Y\subset{}X[/mm] entweder endlich
> oder abzählbar unendlich ist.
Ahh, das wußte ich gar nicht. Ich dachte, Du solltest zeigen, daß jede Teilmenge $Y$ einer abzählbaren Menge $X$ zu einer Teilmenge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Und das habe ich gezeigt. Nun kann man noch sagen, jede Teilmenge der natürlichen Zahlen ist entweder endlich oder abzählbar (intuitiv, ohne Beweis!). Damit ist $Y$ entweder endlich oder abzählbar.
> Meine Idee war daher, wenn Y
> nicht endlich ist, zu zeigen, dass sich eine Abzählung von
> Y konstruieren lässt. Dazu wollte ich die Ordnung von [mm]\IN[/mm]
> ausnutzen und zeigen, dass ich die Teilmenge [mm]B(F)\subset\IN[/mm]
> ebenso anordnen kann, auch wenn gewisse Elemente fehlen.
> Ist diese Grundidee schon falsch, oder nur die
> Ausführung?
Die Idee ist gut! Wenn Du eine Definition von "endlich" hast. Ohne diese muß jede Ausführung scheitern. So auch Deine. Für den ersten Fall benutzt Du: Ist $B(F)$ endlich und $F$ eineindeutig, so ist auch die Definitionsmenge $Y$ endlich. Dies ist zwar richtig (sogar ohne die Eineindeutigkeit von F), müßte aber bewiesen werden. Ich stelle mir das immer mit Pfeilen vor, die von $x$ nach $F(x)$ gehen. Von jedem $x$ in $D(F)$ geht genau ein Pfeil aus und bei jedem $n$ in $B(F)$ landen eine oder mehrere Pfeilspitzen. Da wir nur endlich viele [mm] $x\in [/mm] D(F)$ haben, haben wir nur endlich viele Pfeile, und damit auch nur endlich viele Pfeilspitzen und damit auch nur endlich viele Elemente in $B(F)$. Intuitiv also klar!
Auch den zweiten Fall behandelst Du richtig. Da definierst Du eine Folge [mm] $(n_k)$ [/mm] durch [mm] $n_1 [/mm] = [mm] \min [/mm] B(F)$ und [mm] $n_{k+1}=\min B(F)\setminus\{n_j \colon1\le j \le k\}\;.$ [/mm] Hier setzt Du voraus, daß eine nichtleere Menge natürlicher Zahlen immer ein Minimum besitzt (intuitiv klar!) und daß [mm] $B(F)\setminus\{n_j\colon 1\le j \le k\}$ [/mm] nichtleer ist. Beides ist intuitiv klar. Dann benutzt Du noch das Prinzip der rekursiven Definition. DEDEKIND hat es bewiesen. Aber das ist einfach nicht das Thema der Analysis. Gute Bücher weisen allerdings darauf hin, daß das Rekursionsprinzip ohne Beweis benutzt werden darf (oder muß), schlechte bemühen die Anschauung.
Für mich selbst habe ich einen Beweis zusammengebastelt, der von PAUL LORENZEN stammt.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Di 09.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Axiom96,
>
> > Ausrede suche, aber ich denke doch, dass diese auf einige
> > Mängel im Buch zurückzuführen sind.
>
> Dies Mängel sind leider typisch für Analysisbücher und
> -vorlesungen! Die Mengenlehre wird zu kurz gestreift, um
> nachvollziehbare Schlüsse zu vermitteln. Gute, ehrliche
> Bücher geben das zu, andere tun so, als ob jeder
> "unendlich" intuitiv einsehen kann, obwohl doch die
> Mathematik seit über 2000 Jahre mit mehr oder weniger
> Erfolg versucht, den Begriff "Unendlich" so in den Griff zu
> bekommen, um darauf überzeugende Beweise zu gründen, bzw.
> ohne ihn auszukommen.
Das kann ich bestätigen. Ich war bis hierhin sehr zufrieden mit dem Buch. Ohne viele Umschweife werden Definition, Satz und Beweis sehr exakt formuliert. Als besonderen Pluspunkt empfinde ich zum Beispiel, dass [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] konstruiert werden, in allen anderen Analysis-Büchern, die ich bisher gesehen habe werden diese vorausgesetzt. Das hat bei mir eindeutig zu einem tieferen Verständnis geführt. Dazu gibt es immer recht viele Aufgaben, die üblicherweise genau auf dem zuvor Behandelten aufbauen.
Beim Thema Mengen scheint mir das ganz anders.
> > Zunächst einmal möchte ich klären, was ich überhaupt
> > genau zeigen soll. Doch, dass [mm]Y\subset{}X[/mm] entweder endlich
> > oder abzählbar unendlich ist.
>
> Ahh, das wußte ich gar nicht. Ich dachte, Du solltest
> zeigen, daß jede Teilmenge [mm]Y[/mm] einer abzählbaren Menge [mm]X[/mm] zu
> einer Teilmenge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist.
Die Aufgabe lautete ja, man solle zeigen, jede unendliche Menge besitze stets eine abzählbare Teilmenge. Endlich und unendlich sind zwar nicht definiert, allerdings basiert das Kapitel auf der Motivation, dass man bei "endlichen" (?) Mengen leicht die Zahl der Elemente vergleichen könne, bei unendlichen aber nicht. Dann wird der von den Mengen unabhängige Begriff der Gleichmächtigkeit geliefert, wenn also eine eineindeutige Abbildung [mm] A:X\to{}Y [/mm] existiert mit D(A)=X und B(A)=Y. Dann kommt das Beispiel mit dem Bild, zu dem ich neulich schon eine Frage gestellt habe, dann folgender Satz:
"Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist nach obigem einfach die Anzahl ihrer Elemente. Es ist nun zweckmäßig, auch für die Mächhtigkeit von gewissen unendlichen mengen eine Abkürzung zu haben, die aber jetzt keine natürliche Zahl mehr sein kann. Dann die Definition, eine Menge heiße abzählbar, wenn sie gleichmächtig zu [mm] \IN [/mm] sei.
Als nächstes die (nur zeichnerischen) Beweise, dass [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist und dass die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen abzählbar ist.
Darauf folgt der Satz, eine Teilmenge einer abzählbaren Menge sei endlich oder abzählbar. Diesen soll man nun als Übung beweisen.
> Und das habe ich gezeigt. Nun kann man noch sagen, jede
> Teilmenge der natürlichen Zahlen ist entweder endlich oder
> abzählbar (intuitiv, ohne Beweis!). Damit ist [mm]Y[/mm] entweder
> endlich oder abzählbar.
>
> > Meine Idee war daher, wenn Y
> > nicht endlich ist, zu zeigen, dass sich eine Abzählung von
> > Y konstruieren lässt. Dazu wollte ich die Ordnung von [mm]\IN[/mm]
> > ausnutzen und zeigen, dass ich die Teilmenge [mm]B(F)\subset\IN[/mm]
> > ebenso anordnen kann, auch wenn gewisse Elemente fehlen.
> > Ist diese Grundidee schon falsch, oder nur die
> > Ausführung?
>
> Die Idee ist gut! Wenn Du eine Definition von "endlich"
> hast. Ohne diese muß jede Ausführung scheitern. So auch
> Deine. Für den ersten Fall benutzt Du: Ist [mm]B(F)[/mm] endlich
> und [mm]F[/mm] eineindeutig, so ist auch die Definitionsmenge [mm]Y[/mm]
> endlich. Dies ist zwar richtig (sogar ohne die
> Eineindeutigkeit von F), müßte aber bewiesen werden. Ich
> stelle mir das immer mit Pfeilen vor, die von [mm]x[/mm] nach [mm]F(x)[/mm]
> gehen. Von jedem [mm]x[/mm] in [mm]D(F)[/mm] geht genau ein Pfeil aus und bei
> jedem [mm]n[/mm] in [mm]B(F)[/mm] landen eine oder mehrere Pfeilspitzen. Da
> wir nur endlich viele [mm]x\in D(F)[/mm] haben, haben wir nur
> endlich viele Pfeile, und damit auch nur endlich viele
> Pfeilspitzen und damit auch nur endlich viele Elemente in
> [mm]B(F)[/mm]. Intuitiv also klar!
Hierzu ist mir gerade eingefallen, dass es ja reichen müsste, zu zeigen, dass wenn Y nicht endlich ist, es dann abzählbar unendlich ist. Das Obige könnte man sich also sparen, oder?
> Auch den zweiten Fall behandelst Du richtig. Da definierst
> Du eine Folge [mm](n_k)[/mm] durch [mm]n_1 = \min B(F)[/mm] und [mm]n_{k+1}=\min B(F)\setminus\{n_j \colon1\le j \le k\}\;.[/mm]
> Hier setzt Du voraus, daß eine nichtleere Menge
> natürlicher Zahlen immer ein Minimum besitzt (intuitiv
> klar!)
Ich habe schon von einem sog. Supremumsaxiom gehört. Dieser Begriff (wie auch Infimum und Supremum) ist in dem Buch aber bis jetzt nicht aufgetaucht. Hat das damit zu tun?
>und daß [mm]B(F)\setminus\{n_j\colon 1\le j \le k\}[/mm]
> nichtleer ist. Beides ist intuitiv klar. Dann benutzt Du
> noch das Prinzip der rekursiven Definition.
Rekursive Definition=Induktion? Diese ist in dem Buch gegeben, wenn auch ohne Erläuterung durch Peano, da [mm] \IN [/mm] als gegeben vorausgesetzt wird.
> DEDEKIND hat es
> bewiesen. Aber das ist einfach nicht das Thema der
> Analysis. Gute Bücher weisen allerdings darauf hin, daß
> das Rekursionsprinzip ohne Beweis benutzt werden darf (oder
> muß), schlechte bemühen die Anschauung.
Wäre meine Beweisidee mit einigen Verbesserungen akzeptabel? Oder sollte ich doch besser auf deine zurückgreifen?
> Für mich selbst habe ich einen Beweis zusammengebastelt,
> der von PAUL LORENZEN stammt.
>
> Grüße,
> Wolfgang
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> Hallo Wolfgang,
>
> > Hallo Axiom96,
> >
> > > Ausrede suche, aber ich denke doch, dass diese auf einige
> > > Mängel im Buch zurückzuführen sind.
> >
> > Dies Mängel sind leider typisch für Analysisbücher und
> > -vorlesungen! Die Mengenlehre wird zu kurz gestreift, um
> > nachvollziehbare Schlüsse zu vermitteln. Gute, ehrliche
> > Bücher geben das zu, andere tun so, als ob jeder
> > "unendlich" intuitiv einsehen kann, obwohl doch die
> > Mathematik seit über 2000 Jahre mit mehr oder weniger
> > Erfolg versucht, den Begriff "Unendlich" so in den Griff zu
> > bekommen, um darauf überzeugende Beweise zu gründen, bzw.
> > ohne ihn auszukommen.
> Das kann ich bestätigen. Ich war bis hierhin sehr
> zufrieden mit dem Buch. Ohne viele Umschweife werden
> Definition, Satz und Beweis sehr exakt formuliert. Als
> besonderen Pluspunkt empfinde ich zum Beispiel, dass [mm]\IQ[/mm]
> und [mm]\IR[/mm] konstruiert werden, in allen anderen
> Analysis-Büchern, die ich bisher gesehen habe werden diese
> vorausgesetzt. Das hat bei mir eindeutig zu einem tieferen
> Verständnis geführt. Dazu gibt es immer recht viele
> Aufgaben, die üblicherweise genau auf dem zuvor
> Behandelten aufbauen.
> Beim Thema Mengen scheint mir das ganz anders.
>
> > > Zunächst einmal möchte ich klären, was ich überhaupt
> > > genau zeigen soll. Doch, dass [mm]Y\subset{}X[/mm] entweder endlich
> > > oder abzählbar unendlich ist.
> >
> > Ahh, das wußte ich gar nicht. Ich dachte, Du solltest
> > zeigen, daß jede Teilmenge [mm]Y[/mm] einer abzählbaren Menge [mm]X[/mm] zu
> > einer Teilmenge der natürlichen Zahlen gleichmächtig
> ist.
> Die Aufgabe lautete ja, man solle zeigen, jede unendliche
> Menge besitze stets eine abzählbare Teilmenge. Endlich und
> unendlich sind zwar nicht definiert, allerdings basiert das
> Kapitel auf der Motivation, dass man bei "endlichen" (?)
> Mengen leicht die Zahl der Elemente vergleichen könne, bei
> unendlichen aber nicht. Dann wird der von den Mengen
> unabhängige Begriff der Gleichmächtigkeit geliefert, wenn
> also eine eineindeutige Abbildung [mm]A:X\to{}Y[/mm] existiert mit
> D(A)=X und B(A)=Y. Dann kommt das Beispiel mit dem Bild, zu
> dem ich neulich schon eine Frage gestellt habe, dann
> folgender Satz:
> "Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist nach obigem
> einfach die Anzahl ihrer Elemente. Es ist nun zweckmäßig,
> auch für die Mächhtigkeit von gewissen unendlichen mengen
> eine Abkürzung zu haben, die aber jetzt keine natürliche
> Zahl mehr sein kann. Dann die Definition, eine Menge heiße
> abzählbar, wenn sie gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] sei.
> Als nächstes die (nur zeichnerischen) Beweise, dass [mm]\IQ[/mm]
> abzählbar ist und dass die Vereinigung von abzählbar
> vielen abzählbaren Mengen abzählbar ist.
> Darauf folgt der Satz, eine Teilmenge einer abzählbaren
> Menge sei endlich oder abzählbar. Diesen soll man nun als
> Übung beweisen.
> > Und das habe ich gezeigt. Nun kann man noch sagen, jede
> > Teilmenge der natürlichen Zahlen ist entweder endlich oder
> > abzählbar (intuitiv, ohne Beweis!). Damit ist [mm]Y[/mm] entweder
> > endlich oder abzählbar.
> >
> > > Meine Idee war daher, wenn Y
> > > nicht endlich ist, zu zeigen, dass sich eine Abzählung von
> > > Y konstruieren lässt. Dazu wollte ich die Ordnung von [mm]\IN[/mm]
> > > ausnutzen und zeigen, dass ich die Teilmenge [mm]B(F)\subset\IN[/mm]
> > > ebenso anordnen kann, auch wenn gewisse Elemente fehlen.
> > > Ist diese Grundidee schon falsch, oder nur die
> > > Ausführung?
> >
> > Die Idee ist gut! Wenn Du eine Definition von "endlich"
> > hast. Ohne diese muß jede Ausführung scheitern. So auch
> > Deine. Für den ersten Fall benutzt Du: Ist [mm]B(F)[/mm] endlich
> > und [mm]F[/mm] eineindeutig, so ist auch die Definitionsmenge [mm]Y[/mm]
> > endlich. Dies ist zwar richtig (sogar ohne die
> > Eineindeutigkeit von F), müßte aber bewiesen werden. Ich
> > stelle mir das immer mit Pfeilen vor, die von [mm]x[/mm] nach [mm]F(x)[/mm]
> > gehen. Von jedem [mm]x[/mm] in [mm]D(F)[/mm] geht genau ein Pfeil aus und bei
> > jedem [mm]n[/mm] in [mm]B(F)[/mm] landen eine oder mehrere Pfeilspitzen. Da
> > wir nur endlich viele [mm]x\in D(F)[/mm] haben, haben wir nur
> > endlich viele Pfeile, und damit auch nur endlich viele
> > Pfeilspitzen und damit auch nur endlich viele Elemente in
> > [mm]B(F)[/mm]. Intuitiv also klar!
> Hierzu ist mir gerade eingefallen, dass es ja reichen
> müsste, zu zeigen, dass wenn Y nicht endlich ist, es dann
> abzählbar unendlich ist. Das Obige könnte man sich also
> sparen, oder?
Ja. Interessant ist der zweite Fall.
> > Auch den zweiten Fall behandelst Du richtig. Da
> definierst
> > Du eine Folge [mm](n_k)[/mm] durch [mm]n_1 = \min B(F)[/mm] und [mm]n_{k+1}=\min B(F)\setminus\{n_j \colon1\le j \le k\}\;.[/mm]
> > Hier setzt Du voraus, daß eine nichtleere Menge
> > natürlicher Zahlen immer ein Minimum besitzt (intuitiv
> > klar!)
> Ich habe schon von einem sog. Supremumsaxiom gehört.
> Dieser Begriff (wie auch Infimum und Supremum) ist in dem
> Buch aber bis jetzt nicht aufgetaucht. Hat das damit zu
> tun?
Ja, entfernt. Das Minimum ist das kleinste Element einer Zahlenmenge, wenn es denn überhaupt ein solches gibt. Und Du hast verwendet, daß $B(F)$ ein kleinstes Element hat, nämlich [mm] $n_1$.
[/mm]
> >und daß [mm]B(F)\setminus\{n_j\colon 1\le j \le k\}[/mm]
> > nichtleer ist. Beides ist intuitiv klar. Dann benutzt Du
> > noch das Prinzip der rekursiven Definition.
> Rekursive Definition=Induktion? Diese ist in dem Buch
> gegeben, wenn auch ohne Erläuterung durch Peano, da [mm]\IN[/mm]
> als gegeben vorausgesetzt wird.
Rekursive Definition ist etwas anderes als Induktion. Bei der rekursiven Definition wird eine Abbildung mit der Definitionsmenge $IN$ definiert, mit der Induktion beweist man eine Aussage über natürliche Zahlen. In Deinem Beispiel hast Du [mm] $n_1$ [/mm] festgelegt, und dann [mm] $n_2$ [/mm] -- gestützt auf Deiner Definition von [mm] $n_1$ [/mm] -- usw. Du hast also [mm] $n_{k+1}$ [/mm] mit Hilfe der bereits definierten Zahlen [mm] $n_1, \dots [/mm] , [mm] n_{k}$ [/mm] definiert. Das Rekursionsprinzip besagt nun, daß damit tatsächlich eine Abbildung [mm] $\IN\to \IN, k\mapsto n_k$ [/mm] definiert ist. Auch dies ist intuitiv klar!
> > DEDEKIND hat es
> > bewiesen. Aber das ist einfach nicht das Thema der
> > Analysis. Gute Bücher weisen allerdings darauf hin, daß
> > das Rekursionsprinzip ohne Beweis benutzt werden darf (oder
> > muß), schlechte bemühen die Anschauung.
> Wäre meine Beweisidee mit einigen Verbesserungen
> akzeptabel? Oder sollte ich doch besser auf deine
> zurückgreifen?
Warum mußt Du Dich da entscheiden? Wir sind ja nicht im Wettbewerb. Deine Beweisidee ist sehr gut! Und völlig akzeptabel. Und ich verstehe auch Deine Unsicherheit. Sie rührt daher, daß Dein Buch, zumindest was die Mengenlehre betrifft, einen naiven Standpunkt einnimmt. Damit kann man als denkender Mensch nicht zufrieden sein. War ich auch nicht, und habe dann nach und nach selbständig versucht, Beweislücken zu schließen. Einiges habe ich mir selbst zurechtgelegt, anderes bei Originalschriften nachgelesen, von Euklid über Archimedes bis Dedekind, dem eigentlichen Schöpfer der Mengenlehre, so wie wir sie in der Analysis brauchen. (Cantor wird da häufig überschätzt). Und hin und wieder frage ich hier im Forum nach, wo ich -- erstaunlich schnell-- die passenden Antworten bekomme.
Ich denke auch, daß Du mit Deinem Buch eine gute Wahl getroffen hast. Es geht sehr viel weiter auf die Grundlagen ein als die typische Analysisvorlesung des Bolongazeitalters.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo noch einmal,
> Hallo Axiom96,
> > Ich habe schon von einem sog. Supremumsaxiom gehört.
> > Dieser Begriff (wie auch Infimum und Supremum) ist in dem
> > Buch aber bis jetzt nicht aufgetaucht. Hat das damit zu
> > tun?
>
> Ja, entfernt. Das Minimum ist das kleinste Element einer
> Zahlenmenge, wenn es denn überhaupt ein solches gibt. Und
> Du hast verwendet, daß [mm]B(F)[/mm] ein kleinstes Element hat,
> nämlich [mm]n_1[/mm].
Wie groß wäre der Aufwand, dies ggf. noch zu zeigen?
> > >und daß [mm]B(F)\setminus\{n_j\colon 1\le j \le k\}[/mm]
> > > nichtleer ist. Beides ist intuitiv klar. Dann benutzt Du
> > > noch das Prinzip der rekursiven Definition.
> > Rekursive Definition=Induktion? Diese ist in dem Buch
> > gegeben, wenn auch ohne Erläuterung durch Peano, da [mm]\IN[/mm]
> > als gegeben vorausgesetzt wird.
>
> Rekursive Definition ist etwas anderes als Induktion. Bei
> der rekursiven Definition wird eine Abbildung mit der
> Definitionsmenge [mm]IN[/mm] definiert, mit der Induktion beweist
> man eine Aussage über natürliche Zahlen. In Deinem
> Beispiel hast Du [mm]n_1[/mm] festgelegt, und dann [mm]n_2[/mm] -- gestützt
> auf Deiner Definition von [mm]n_1[/mm] -- usw. Du hast also [mm]n_{k+1}[/mm]
> mit Hilfe der bereits definierten Zahlen [mm]n_1, \dots , n_{k}[/mm]
> definiert. Das Rekursionsprinzip besagt nun, daß damit
> tatsächlich eine Abbildung [mm]\IN\to \IN, k\mapsto n_k[/mm]
> definiert ist. Auch dies ist intuitiv klar!
Veilleicht verstehe ich das ja falsch. Aber folgt das nicht "trivial" mit Induktion?
Behauptung: K ist definiert für alle [mm] k\in\IN [/mm] .
Induktionsanfang: [mm] K(1):=n_1
[/mm]
Induktionsschluss: [mm] K(n+1):=n_{k+1}.
[/mm]
Oder liegt das "Problem" schon einen Schritt vorher bei der Folge [mm] \{n_k\}? [/mm] Diese würde ich dann einfach so verwenden, weil auch andere rekursive Folgen schon in dem Buch vorgekommen sind.
> > > DEDEKIND hat es
> > > bewiesen. Aber das ist einfach nicht das Thema der
> > > Analysis. Gute Bücher weisen allerdings darauf hin, daß
> > > das Rekursionsprinzip ohne Beweis benutzt werden darf (oder
> > > muß), schlechte bemühen die Anschauung.
> > Wäre meine Beweisidee mit einigen Verbesserungen
> > akzeptabel? Oder sollte ich doch besser auf deine
> > zurückgreifen?
>
> Warum mußt Du Dich da entscheiden? Wir sind ja nicht im
> Wettbewerb. Deine Beweisidee ist sehr gut!
Das freut mich zu hören. Es ging mir nicht darum, einen Wettbewerb um den "besten" Beweis zu führen, ich möchte nur am Ende einen Beweis aufschreiben, den ich mit meinem mathematischen Gewissen vereinbaren kann.
> Und völlig
> akzeptabel. Und ich verstehe auch Deine Unsicherheit. Sie
> rührt daher, daß Dein Buch, zumindest was die Mengenlehre
> betrifft, einen naiven Standpunkt einnimmt. Damit kann man
> als denkender Mensch nicht zufrieden sein. War ich auch
> nicht, und habe dann nach und nach selbständig versucht,
> Beweislücken zu schließen. Einiges habe ich mir selbst
> zurechtgelegt, anderes bei Originalschriften nachgelesen,
> von Euklid über Archimedes bis Dedekind, dem eigentlichen
> Schöpfer der Mengenlehre, so wie wir sie in der Analysis
> brauchen. (Cantor wird da häufig überschätzt). Und hin
> und wieder frage ich hier im Forum nach, wo ich --
> erstaunlich schnell-- die passenden Antworten bekomme.
>
> Ich denke auch, daß Du mit Deinem Buch eine gute Wahl
> getroffen hast. Es geht sehr viel weiter auf die Grundlagen
> ein als die typische Analysisvorlesung des
> Bolongazeitalters.
Dazu: Ich war gestern noch in der Bibliothek, habe mir noch zwei weitere Bücher zu Analysis ausgeliehen, eines von Königsberger, eines von Hildebrandt. Mit dem Königsberger habe ich mich noch nicht wirklich auseinandergesetzt, aber bei Hildbrandt finde ich auf Seite 12 das "Vollständigkeitsaxiom für [mm] \IR [/mm] ": Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] besitzt eine kleinste obere Schranke; diese wird Supremum von M genannt und mit [mm] \sup{M} [/mm] bezeichnet. Ich war etwas verwundert, weil kaum einer der verwendeten Begriffe schon eingeführt war, blätterte deswegen ein wenig und fand auf Seite 71 (!) überhaupt erst die Einführung des naiven Mengenbegriffs nach Cantor und die Definitionen für Vereinigung, Durchschnitt, etc. . Das hat mich gelinde gesagt sehr verwundert.
> Grüße,
> Wolfgang
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> > Du hast verwendet, daß [mm]B(F)[/mm] ein kleinstes Element hat,
> > nämlich [mm]n_1[/mm].
> Wie groß wäre der Aufwand, dies ggf. noch zu zeigen?
Nicht groß. Aber als Vorbereitung muß man ein System von Axiomen festlegen, bestehend aus den PEANO-Axiomen und Axiomen für die Addition, die Multiplikation und die Ordnungsrelation. Und das macht das Ganze doch aufwendig.
> > Das Rekursionsprinzip besagt nun, daß damit
> > tatsächlich eine Abbildung [mm]\IN\to \IN, k\mapsto n_k[/mm]
> > definiert ist. Auch dies ist intuitiv klar!
>
> Veilleicht verstehe ich das ja falsch. Aber folgt das nicht
> "trivial" mit Induktion?
> Behauptung: K ist definiert für alle [mm]k\in\IN[/mm] .
> Induktionsanfang: [mm]K(1):=n_1[/mm]
> Induktionsschluss: [mm]K(n+1):=n_{k+1}.[/mm]
> Oder liegt das "Problem" schon einen Schritt vorher bei
> der Folge [mm]\{n_k\}?[/mm]
Genau. Das $K$ ist ja nur ein Name für die Folge [mm] $(n_k)$, [/mm] die nichts anderes als eine Abbildung mit der Definitionsmenge [mm] $\IN$ [/mm] ist. Und es sind solche Definitionen wie Deine, die das Rekursionsprinzip rechtfertigt.
> Diese würde ich dann einfach so
> verwenden, weil auch andere rekursive Folgen schon in dem
> Buch vorgekommen sind.
Ja. Das "darfst" Du auch.
Übrigens, jetzt fällt mir auf, daß Dein Beweis noch unvollständig ist. Zu zeigen war doch:
Jede unendliche Teilmenge $Y$ einer abzählbaren Menge $X$ ist abzählbar. Nun ist Dein $K$ eine eineindeutige Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] nach $B(F)$. Aber wieso folgt daraus, daß $Y$ abzählbar ist? Die Eineindeutigkeit von $K$ zeigt doch nur, daß $B(K)$ und [mm] $\IN$ [/mm] gleichmächtig sind, woraus folgt, daß $B(K)$ abzählbar ist.
Weiter wissen wir, daß $B(F)$ und $Y$ gleichmächtig sind. Was noch fehlt, ist die Gleichmächtigkeit von $B(K)$ und $B(F)$, oder? Wenn ich das jetzt richtig sehe, hat uns $K$ keinen Schritt weiter gebracht.
Wir wissen allerdings, daß $B(F)$ eine unendliche Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] ist, (weil $F$ injektiv und $Y$ unendlich ist). Und wir wissen, daß $B(F)$ und $Y$ gleichmächtig sind. Wir wären also fertig, wenn jede unendliche Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] abzählbar wäre. Was also noch zu zeigen bliebe. Was mir schwierig scheint, je länger ich darüber nachdenke. Ich halte es sogar für gut möglich, daß auch dieses nach Meinung der Buchautoren "intuitiv klar" ist, und sie einen Beweis gar nicht erwarten. Der allgemeine Fall ist der BERNSTEINSCHE Äquivalenzsatz.
Sind $Y$ und $X$ Mengen, und gibt es eineindeutige Abbildungen $F: Y [mm] \to [/mm] X$ und $G: [mm] X\to [/mm] Y$, so sind $Y$ und $X$ gleichmächtig.
Der Beweis ist nicht einfach.
> Dazu: Ich war gestern noch in der Bibliothek, habe mir
> noch zwei weitere Bücher zu Analysis ausgeliehen, eines
> von Königsberger, eines von Hildebrandt. Mit dem
> Königsberger habe ich mich noch nicht wirklich
> auseinandergesetzt, aber bei Hildbrandt finde ich auf Seite
> 12 das "Vollständigkeitsaxiom für [mm]\IR[/mm] ": Jede nichtleere,
> nach oben beschränkte Teilmenge M von [mm]\IR[/mm] besitzt eine
> kleinste obere Schranke; diese wird Supremum von M genannt
> und mit [mm]\sup{M}[/mm] bezeichnet. Ich war etwas verwundert, weil
> kaum einer der verwendeten Begriffe schon eingeführt war,
> blätterte deswegen ein wenig und fand auf Seite 71 (!)
> überhaupt erst die Einführung des naiven Mengenbegriffs
> nach Cantor und die Definitionen für Vereinigung,
> Durchschnitt, etc. . Das hat mich gelinde gesagt sehr
> verwundert.
Diese Bücher sind halt fürs Selbststudium nicht besonders geeignet. Aber die Begriffe kannst Du doch auch googeln. Auch der Königsberger setzt die Mengenlehre ohne Erläuterung voraus.
Wenn Du in der Nähe einer Bibliothek wohnst, kannst Du ja auch mal nach meinem Buch "Analysis 0, eine logische Einführung in die Analysis" schauen. Dort findest Du zwar nichts über Mächtigkeiten unendlicher Mengen. Aber alles andere, was man so braucht, um die Lücken in Analysisvorlesungen bzw. -büchern zu schließen.
Viel Spaß mit der Mathematik,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Axiom96,
>
> > Ausrede suche, aber ich denke doch, dass diese auf einige
> > Mängel im Buch zurückzuführen sind.
>
> Dies Mängel sind leider typisch für Analysisbücher und
> -vorlesungen! Die Mengenlehre wird zu kurz gestreift, um
> nachvollziehbare Schlüsse zu vermitteln. Gute, ehrliche
> Bücher geben das zu, andere tun so, als ob jeder
> "unendlich" intuitiv einsehen kann, obwohl doch die
> Mathematik seit über 2000 Jahre mit mehr oder weniger
> Erfolg versucht, den Begriff "Unendlich" so in den Griff zu
> bekommen, um darauf überzeugende Beweise zu gründen, bzw.
> ohne ihn auszukommen.
>
> > Zunächst einmal möchte ich klären, was ich überhaupt
> > genau zeigen soll. Doch, dass [mm]Y\subset{}X[/mm] entweder endlich
> > oder abzählbar unendlich ist.
>
> Ahh, das wußte ich gar nicht. Ich dachte, Du solltest
> zeigen, daß jede Teilmenge [mm]Y[/mm] einer abzählbaren Menge [mm]X[/mm] zu
> einer Teilmenge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist.
> Und das habe ich gezeigt. Nun kann man noch sagen, jede
> Teilmenge der natürlichen Zahlen ist entweder endlich oder
> abzählbar (intuitiv, ohne Beweis!). Damit ist [mm]Y[/mm] entweder
> endlich oder abzählbar.
>
> > Meine Idee war daher, wenn Y
> > nicht endlich ist, zu zeigen, dass sich eine Abzählung von
> > Y konstruieren lässt. Dazu wollte ich die Ordnung von [mm]\IN[/mm]
> > ausnutzen und zeigen, dass ich die Teilmenge [mm]B(F)\subset\IN[/mm]
> > ebenso anordnen kann, auch wenn gewisse Elemente fehlen.
> > Ist diese Grundidee schon falsch, oder nur die
> > Ausführung?
>
> Die Idee ist gut! Wenn Du eine Definition von "endlich"
> hast. Ohne diese muß jede Ausführung scheitern. So auch
> Deine. Für den ersten Fall benutzt Du: Ist [mm]B(F)[/mm] endlich
> und [mm]F[/mm] eineindeutig, so ist auch die Definitionsmenge [mm]Y[/mm]
> endlich. Dies ist zwar richtig (sogar ohne die
> Eineindeutigkeit von F), müßte aber bewiesen werden. Ich
> stelle mir das immer mit Pfeilen vor, die von [mm]x[/mm] nach [mm]F(x)[/mm]
> gehen. Von jedem [mm]x[/mm] in [mm]D(F)[/mm] geht genau ein Pfeil aus und bei
> jedem [mm]n[/mm] in [mm]B(F)[/mm] landen eine oder mehrere Pfeilspitzen. Da
> wir nur endlich viele [mm]x\in D(F)[/mm] haben, haben wir nur
> endlich viele Pfeile, und damit auch nur endlich viele
> Pfeilspitzen und damit auch nur endlich viele Elemente in
> [mm]B(F)[/mm]. Intuitiv also klar!
>
> Auch den zweiten Fall behandelst Du richtig. Da definierst
> Du eine Folge [mm](n_k)[/mm] durch [mm]n_1 = \min B(F)[/mm] und [mm]n_{k+1}=\min B(F)\setminus\{n_j \colon1\le j \le k\}\;.[/mm]
> Hier setzt Du voraus, daß eine nichtleere Menge
> natürlicher Zahlen immer ein Minimum besitzt (intuitiv
> klar!)
das "intuitiv klare" hat einen Namen und nennt sich
Wohlordnungsprinzip für $\IN$ (Satz 3.20)
> und daß [mm]B(F)\setminus\{n_j\colon 1\le j \le k\}[/mm]
> nichtleer ist. Beides ist intuitiv klar.
Die Nichtleerheit sollte begründet werden. Ich hab' jetzt nicht mehr im
Kopf, wie Axiom da vorgegangen war, aber ich denke, dass er das
begründen kann! (Vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis? ...)
> Dann benutzt Du
> noch das Prinzip der rekursiven Definition. DEDEKIND hat es
> bewiesen. Aber das ist einfach nicht das Thema der
> Analysis. Gute Bücher weisen allerdings darauf hin, daß
> das Rekursionsprinzip ohne Beweis benutzt werden darf (oder
> muß), schlechte bemühen die Anschauung.
Na, ganz so krass sehe ich das nicht. Auch gute Analysisbücher lassen
sowas mal weg.
Aber wo wir schon dabei sind:
In dem Buch Analysis I, von Escher, wird das Rekursionsprinzip bewiesen!
Ich zitiere das mal aus dem Buch:
5.11 Satz Es seien [mm] $X\,$ [/mm] eine nichtleere Menge und $a [mm] \in [/mm] X$. Ferner sei für jedes $n [mm] \in \IN^\times$ [/mm]
eine Abbildung [mm] $V_n [/mm] : [mm] X^n \to [/mm] X$ gegeben. Dann gibt es eine eindeutig
bestimmte Abbildung $f : [mm] \IN \to [/mm] X$ mit folgenden Eigenschaften:
(i) $f(0) = [mm] a.\,$
[/mm]
(ii) $f(n + 1) = [mm] V_{n+1}(f(0), [/mm] f(1), . . . , [mm] f(n))\,, [/mm] n [mm] \in \IN.\,$
[/mm]
P.S.
Bei Amann/Escher (übrigens ein empfehlenswertes Buch - auch mal wieder
eins, was Dir gefallen wird, Axiom, denke ich! Insbesondere stehen dort
auch mal die Peano-Axiome drin!) ist $0 [mm] \in \IN$ [/mm] und dort ist dann [mm] $\IN^\times:=\IN \setminus \{0\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> > und daß [mm]B(F)\setminus\{n_j\colon 1\le j \le k\}[/mm]
> > nichtleer ist. Beides ist intuitiv klar.
>
> Die Nichtleerheit sollte begründet werden. Ich hab' jetzt
> nicht mehr im
> Kopf, wie Axiom da vorgegangen war, aber ich denke, dass er
> das
> begründen kann! (Vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis?
$B(F)$ ist unendlich. Der anschauliche Beweis lautet daher: Wenn ich aus einer unendlichen Menge endlich viele Elemente entferne, ist der Rest nichtleer.
Aber ein Beweis ist nicht möglich, solange unendlich (oder endlich) nicht definiert ist.
> ...)
>
> > Dann benutzt Du
> > noch das Prinzip der rekursiven Definition. DEDEKIND hat es
> > bewiesen. Aber das ist einfach nicht das Thema der
> > Analysis. Gute Bücher weisen allerdings darauf hin, daß
> > das Rekursionsprinzip ohne Beweis benutzt werden darf (oder
> > muß), schlechte bemühen die Anschauung.
>
> Na, ganz so krass sehe ich das nicht. Auch gute
> Analysisbücher lassen
> sowas mal weg.
Genau das ist schlecht. Auf der einen Seite wird den Studenten eingebleut, alles ohne Anschauung zu beweisen, auf der anderen Seite werden Sätze benutzt, die anschaulich oder gar nicht begründet werden.
>
> Aber wo wir schon dabei sind:
> In dem Buch Analysis I, von Escher, wird das
> Rekursionsprinzip bewiesen!
>
> Ich zitiere das mal aus dem Buch:
> 5.11 Satz Es seien [mm]X\,[/mm] eine nichtleere Menge und [mm]a \in X[/mm].
> Ferner sei für jedes [mm]n \in \IN^\times[/mm]
> eine Abbildung [mm]V_n : X^n \to X[/mm] gegeben. Dann gibt es eine
> eindeutig
> bestimmte Abbildung [mm]f : \IN \to X[/mm] mit folgenden
> Eigenschaften:
>
> (i) [mm]f(0) = a.\,[/mm]
> (ii) [mm]f(n + 1) = V_{n+1}(f(0), f(1), . . . , f(n))\,, n \in \IN.\,[/mm]
Escher "beweist" intuitiv klare Sätze mit nur intuitiv begründeten Argumenten. Dies ist das Schlimmste, was man einem Studenten antun kann. Schon seine Formulierung appelliert mit [mm] $\dots$ [/mm] an die Anschauung. Wenn die Bedeutung der drei Punkte klar ist, ist auch die rekursive Definition klar und braucht nicht bewiesen zu werden.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Do 11.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> > > und daß [mm]B(F)\setminus\{n_j\colon 1\le j \le k\}[/mm]
> > > nichtleer ist. Beides ist intuitiv klar.
> >
> > Die Nichtleerheit sollte begründet werden. Ich hab' jetzt
> > nicht mehr im
> > Kopf, wie Axiom da vorgegangen war, aber ich denke, dass er
> > das
> > begründen kann! (Vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis?
>
> [mm]B(F)[/mm] ist unendlich. Der anschauliche Beweis lautet daher:
> Wenn ich aus einer unendlichen Menge endlich viele Elemente
> entferne, ist der Rest nichtleer.
> Aber ein Beweis ist nicht möglich, solange unendlich
> (oder endlich) nicht definiert ist.
>
> > ...)
> >
> > > Dann benutzt Du
> > > noch das Prinzip der rekursiven Definition. DEDEKIND hat es
> > > bewiesen. Aber das ist einfach nicht das Thema der
> > > Analysis. Gute Bücher weisen allerdings darauf hin, daß
> > > das Rekursionsprinzip ohne Beweis benutzt werden darf (oder
> > > muß), schlechte bemühen die Anschauung.
> >
> > Na, ganz so krass sehe ich das nicht. Auch gute
> > Analysisbücher lassen
> > sowas mal weg.
>
> Genau das ist schlecht. Auf der einen Seite wird den
> Studenten eingebleut, alles ohne Anschauung zu beweisen,
> auf der anderen Seite werden Sätze benutzt, die
> anschaulich oder gar nicht begründet werden.
sowas wird in jeder Vorlesung alleine aus Zeitgründen immer mal wieder
vorkommen (müssen), es sei denn, der Dozent ist wirklich halb genial und
kann vieles "komprimieren", ohne Informationen wegzulassen. Ich hatte
übrigens einen Dozenten, der wirklich diese, in meinen Augen "Genialität",
besaß. Das hat aber den Nachteil, dass man zuhause sitzt, sich seine
Beweise aus einer 2-stündigen Vorlesung anguckt, erstmal nichts kapiert
und dann,wenn man nach 4 bis 6 Stunden alles dekomprimiert hat, erst
mal anfangen kann, das Zeug zu verstehen.
Und selbst mein Analysis-Prof., der eigentlich total penibel war, hat mal auf
andere Vorlesungen oder Bücher verwiesen oder gesagt, dass die
Studenten das selbst beweisen sollen.
Versuch' mal, eine Analysis-Vorlesung mit Deinen Ansprüchen zu halten,
indem Du wirklich alles, d.h. auch wirklich alles, was Du in dieser Vorlesung
benötigst, auch nur dort beweist. Aber Deine Kritik ist nichtsdestotrotz
nicht ungerechtfertigt, ich kann sie gut nachvollziehen, da ich selbst mal
genau so dachte (und auch irgendwie immer noch so denke). Dass man
allerdings sich in einem Buch dahingehend "stärker austoben" kann, ist
eine andere Sache.
Mein Analysis-Prof. war übrigens in meiner Diplom-Arbeit wegen meiner
extrem peniblen und detailtreuen Art, sagen wir mal: "etwas strapaziert"
worden. Das kann ich bis heute nicht wirklich verstehen, denn prinzipiell
bin ich eben deswegen so vorgegangen, weil ich es eben so gelernt habe.
> > Aber wo wir schon dabei sind:
> > In dem Buch Analysis I, von Escher, wird das
> > Rekursionsprinzip bewiesen!
> >
> > Ich zitiere das mal aus dem Buch:
> > 5.11 Satz Es seien [mm]X\,[/mm] eine nichtleere Menge und [mm]a \in X[/mm].
> > Ferner sei für jedes [mm]n \in \IN^\times[/mm]
> > eine Abbildung [mm]V_n : X^n \to X[/mm] gegeben. Dann gibt es eine
> > eindeutig
> > bestimmte Abbildung [mm]f : \IN \to X[/mm] mit folgenden
> > Eigenschaften:
> >
> > (i) [mm]f(0) = a.\,[/mm]
> > (ii) [mm]f(n + 1) = V_{n+1}(f(0), f(1), . . . , f(n))\,, n \in \IN.\,[/mm]
>
> Escher "beweist" intuitiv klare Sätze mit nur intuitiv
> begründeten Argumenten. Dies ist das Schlimmste, was man
> einem Studenten antun kann. Schon seine Formulierung
> appelliert mit [mm]\dots[/mm] an die Anschauung. Wenn die Bedeutung
> der drei Punkte klar ist, ist auch die rekursive Definition
> klar und braucht nicht bewiesen zu werden.
Du meinst die [mm] "$\ldots$" [/mm] in obigem Satz? Naja, ich gehe eher davon aus,
dass er da daran appelliert, dass wir "zählend denken" können, also, dass
wir die natürlichen Zahlen zwischen [mm] $0\,$ [/mm] und [mm] $n\,$ [/mm] einfügen können.
Ich seh's vielleicht gerade nicht: Aber meines Erachtens nach hat das nun
nicht wirklich was mit Rekursion zu tun - ich würde es eher in Richtung
"Peano-Axiome" deuten.
P.S.
Zugegeben, ich hab' in das Buch bisher eigentlich zu wenig Blicke
geworfen. Heuser kenne ich vergleichsweise ziemlich gut, aber alles,
was ich mir im Escher mal angeschaut habe, sah' durchaus vernünftig und
meist detailliert aus. Entweder habe ich mir dann wirklich nur das, was
auch wirklich so dort behandelt wird, angeschaut - oder aber, und das kann
gut sein: Mir fällt so manche - nennen wir es mal "Schlamperei" - gar nicht
mehr auf, weil ich das quasi in Gedanken ergänzend lese. Als
Studienanfänger hat man da ein ganz anderes Auge und Gespühr, da gebe
ich Dir recht (ich weiß, dass Du kein Studienanfänger bist - aber ich merke,
dass Du jmd. bist, der sich sehr oft und detailliert in deren Gedankengänge
eindenkt und dann versucht, dass Geschriebene aus deren Sicht zu
bewerten. Das ist übrigens gar nicht so einfach, gerade, wenn man, wie
auch Du, jahrelange Erfahrung in der Mathematik gesammelt hat. Ich
merke es ja an mir selbst, wie ich immer öfter manches mal schnell einfach
als klar ansehe oder akzeptiere, was ich vor ein paar Jahren noch viel
kritischer hinterfragt hätte. Deswegen schenke ich Dir meinen Respekt
dafür. Und auch, wenn wir nicht immer einer Meinung sind, denken wir doch
irgendwie ähnlich !)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> > > Na, ganz so krass sehe ich das nicht. Auch gute
> > > Analysisbücher lassen
> > > sowas mal weg.
> >
> > Genau das ist schlecht. Auf der einen Seite wird den
> > Studenten eingebleut, alles ohne Anschauung zu beweisen,
> > auf der anderen Seite werden Sätze benutzt, die
> > anschaulich oder gar nicht begründet werden.
>
> sowas wird in jeder Vorlesung alleine aus Zeitgründen
> immer mal wieder
> vorkommen (müssen)
Natürlich. Aber dann sollte man nicht den Eindruck vermitteln, alles beweisen zu müssen. Vorbildlich sehe ich hier den Königsberger, der sich ganz auf die Analysis konzentriert.
> > > Aber wo wir schon dabei sind:
> > > In dem Buch Analysis I, von Escher, wird das
> > > Rekursionsprinzip bewiesen!
> > >
> > > Ich zitiere das mal aus dem Buch:
> > > 5.11 Satz Es seien [mm]X\,[/mm] eine nichtleere Menge und [mm]a \in X[/mm].
> > > Ferner sei für jedes [mm]n \in \IN^\times[/mm]
> > > eine Abbildung [mm]V_n : X^n \to X[/mm] gegeben. Dann gibt es eine
> > > eindeutig
> > > bestimmte Abbildung [mm]f : \IN \to X[/mm] mit folgenden
> > > Eigenschaften:
> > >
> > > (i) [mm]f(0) = a.\,[/mm]
> > > (ii) [mm]f(n + 1) = V_{n+1}(f(0), f(1), . . . , f(n))\,, n \in \IN.\,[/mm]
>
> >
> > Escher "beweist" intuitiv klare Sätze mit nur intuitiv
> > begründeten Argumenten. Dies ist das Schlimmste, was man
> > einem Studenten antun kann. Schon seine Formulierung
> > appelliert mit [mm]\dots[/mm] an die Anschauung. Wenn die Bedeutung
> > der drei Punkte klar ist, ist auch die rekursive Definition
> > klar und braucht nicht bewiesen zu werden.
>
> Du meinst die "[mm]\ldots[/mm]" in obigem Satz? Naja, ich gehe eher
> davon aus,
> dass er da daran appelliert, dass wir "zählend denken"
> können, also, dass
> wir die natürlichen Zahlen zwischen [mm]0\,[/mm] und [mm]n\,[/mm] einfügen
> können.
> Ich seh's vielleicht gerade nicht: Aber meines Erachtens
> nach hat das nun
> nicht wirklich was mit Rekursion zu tun - ich würde es
> eher in Richtung
> "Peano-Axiome" deuten.
>
Na, irgendwie muß er ja [mm] $X^n$ [/mm] definiert haben. Und tatsächlich hat er [mm] $X^n$ [/mm] "rekursiv" definiert, glaubt er zumindest. Damit bricht das Ganze als Zirkelschluß in sich zusammen.
Noch dazu wird seine Definition von [mm] $X^n$ [/mm] für jede Menge $X$ gar nicht durch das Rekursionsprinzip gedeckt, denn die Zielmenge der zu definierenden Funktion wäre die "Menge aller Mengen".
Ich habe nichts gegen eine Definition von [mm] $X^n$ [/mm] als [mm] "$X\times [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \cdots [/mm] X$ n-mal", aber dann bitte nicht in einem Buch, das einen Rechtfertigung rekursiver Definitionen für nötig erachtet. In dem Fall könnte er [mm] $X^n$ [/mm] z. B. als endliche Folge mit Folgengliedern in $X$ definieren -- nachdem er die natürlichen Zahlen eingeführt hat.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 11.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> > > > Na, ganz so krass sehe ich das nicht. Auch gute
> > > > Analysisbücher lassen
> > > > sowas mal weg.
> > >
> > > Genau das ist schlecht. Auf der einen Seite wird den
> > > Studenten eingebleut, alles ohne Anschauung zu beweisen,
> > > auf der anderen Seite werden Sätze benutzt, die
> > > anschaulich oder gar nicht begründet werden.
> >
> > sowas wird in jeder Vorlesung alleine aus Zeitgründen
> > immer mal wieder
> > vorkommen (müssen)
>
> Natürlich. Aber dann sollte man nicht den Eindruck
> vermitteln, alles beweisen zu müssen. Vorbildlich sehe ich
> hier den Königsberger, der sich ganz auf die Analysis
> konzentriert.
dafür müßte ich mal in den Königsberger reinschauen. Aber da vertraue
ich Deinem Urteil.
> > > > Aber wo wir schon dabei sind:
> > > > In dem Buch Analysis I, von Escher, wird das
> > > > Rekursionsprinzip bewiesen!
> > > >
> > > > Ich zitiere das mal aus dem Buch:
> > > > 5.11 Satz Es seien [mm]X\,[/mm] eine nichtleere Menge und
> [mm]a \in X[/mm].
> > > > Ferner sei für jedes [mm]n \in \IN^\times[/mm]
> > > > eine Abbildung [mm]V_n : X^n \to X[/mm] gegeben. Dann gibt es eine
> > > > eindeutig
> > > > bestimmte Abbildung [mm]f : \IN \to X[/mm] mit folgenden
> > > > Eigenschaften:
> > > >
> > > > (i) [mm]f(0) = a.\,[/mm]
> > > > (ii) [mm]f(n + 1) = V_{n+1}(f(0), f(1), . . . , f(n))\,, n \in \IN.\,[/mm]
>
> >
> > >
> > > Escher "beweist" intuitiv klare Sätze mit nur intuitiv
> > > begründeten Argumenten. Dies ist das Schlimmste, was man
> > > einem Studenten antun kann. Schon seine Formulierung
> > > appelliert mit [mm]\dots[/mm] an die Anschauung. Wenn die Bedeutung
> > > der drei Punkte klar ist, ist auch die rekursive Definition
> > > klar und braucht nicht bewiesen zu werden.
> >
> > Du meinst die "[mm]\ldots[/mm]" in obigem Satz? Naja, ich gehe
> eher
> > davon aus,
> > dass er da daran appelliert, dass wir "zählend denken"
> > können, also, dass
> > wir die natürlichen Zahlen zwischen [mm]0\,[/mm] und [mm]n\,[/mm]
> einfügen
> > können.
> > Ich seh's vielleicht gerade nicht: Aber meines
> Erachtens
> > nach hat das nun
> > nicht wirklich was mit Rekursion zu tun - ich würde es
> > eher in Richtung
> > "Peano-Axiome" deuten.
> >
> Na, irgendwie muß er ja [mm]X^n[/mm] definiert haben. Und
> tatsächlich hat er [mm]X^n[/mm] "rekursiv" definiert, glaubt er
> zumindest. Damit bricht das Ganze als Zirkelschluß in sich
> zusammen.
Das stimmt. Dann beweist oder formuliert man etwas mit den Mitteln, von
denen man sagt, dass man sie erst verwenden kann/darf, nachdem sie
bewiesen worden sind. Dann macht's keinen Sinn mehr, das ganze auf
diese Art und Weise zu beweisen. Okay, das hatte ich nicht gesehen.
Sowas sieht man aber auch nicht so leicht: Man muss quasi alles, was man
irgendwoher schon weiß, vergessen, und sich dann nur mit den im Buch
zur Verfügung gestellten Mitteln durchackern und gucken, dass man damit
alleine auskommt.
> Noch dazu wird seine Definition von [mm]X^n[/mm] für jede Menge [mm]X[/mm]
> gar nicht durch das Rekursionsprinzip gedeckt, denn die
> Zielmenge der zu definierenden Funktion wäre die "Menge
> aller Mengen".
Das verstehe ich aber gerade nicht: In der Tat gibt's das Manko bei
Amann und Escher, dass
[mm] $$X^n:=X \times [/mm] ... [mm] \times [/mm] X$$
(n-mal) definiert wird, und das ist dann eine rekursive Definition, so, wie
sie die rechte Seite erläutern. Wo steht aber denn die Zielmenge dort?
(Dazu finde ich gerade einfach nichts, bin gerade auf Seite 12,13,14 am
Suchen!)
Ich dachte (hoffte) eigentlich, dass das dort wie üblich etwa mit
[mm] $$X^n:=\{f: \{1,...,n\} \to X\}$$
[/mm]
definiert werde. Ehrlich gesagt finde ich diesbezüglich gerade gar nichts
(muss aber gleich auch los!). Da steht aber nirgends die Menge aller
Mengen. Auch nicht bei ihrer Definition von $X [mm] \times Y\,.$ [/mm] Ich überlese
es mal, anscheinend, wieder...
> Ich habe nichts gegen eine Definition von [mm]X^n[/mm] als "[mm]X\times X \times X \cdots X[/mm]
> n-mal", aber dann bitte nicht in einem Buch, das einen
> Rechtfertigung rekursiver Definitionen für nötig
> erachtet. In dem Fall könnte er [mm]X^n[/mm] z. B. als endliche
> Folge mit Folgengliedern in [mm]X[/mm] definieren -- nachdem er die
> natürlichen Zahlen eingeführt hat.
Ich fände es durchaus gut, wenn Du derartige Kritik auch an die Autoren
weitergibst. Denn normalerweise lassen die ja schon mit sich reden und
überdenken diese Kritik, oder aber, sie versuchen wenigstens, sich bzw.
ihre Vorgehensweise zu rechtfertigen. Das ist ja durchaus konstruktive
Kritik, die ihre Berechtigung hat, die Du hier übst!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> >
> > > > > Na, ganz so krass sehe ich das nicht. Auch gute
> > > > > Analysisbücher lassen
> > > > > sowas mal weg.
> > > >
> > > > Genau das ist schlecht. Auf der einen Seite wird den
> > > > Studenten eingebleut, alles ohne Anschauung zu beweisen,
> > > > auf der anderen Seite werden Sätze benutzt, die
> > > > anschaulich oder gar nicht begründet werden.
> > >
> > > sowas wird in jeder Vorlesung alleine aus Zeitgründen
> > > immer mal wieder
> > > vorkommen (müssen)
> >
> > Natürlich. Aber dann sollte man nicht den Eindruck
> > vermitteln, alles beweisen zu müssen. Vorbildlich sehe ich
> > hier den Königsberger, der sich ganz auf die Analysis
> > konzentriert.
>
> dafür müßte ich mal in den Königsberger reinschauen.
> Aber da vertraue
> ich Deinem Urteil.
>
> > > > > Aber wo wir schon dabei sind:
> > > > > In dem Buch Analysis I, von Escher, wird das
> > > > > Rekursionsprinzip bewiesen!
> > > > >
> > > > > Ich zitiere das mal aus dem Buch:
> > > > > 5.11 Satz Es seien [mm]X\,[/mm] eine nichtleere Menge
> und
> > [mm]a \in X[/mm].
> > > > > Ferner sei für jedes [mm]n \in \IN^\times[/mm]
> > > > > eine Abbildung [mm]V_n : X^n \to X[/mm] gegeben. Dann gibt es eine
> > > > > eindeutig
> > > > > bestimmte Abbildung [mm]f : \IN \to X[/mm] mit folgenden
> > > > > Eigenschaften:
> > > > >
> > > > > (i) [mm]f(0) = a.\,[/mm]
> > > > > (ii) [mm]f(n + 1) = V_{n+1}(f(0), f(1), . . . , f(n))\,, n \in \IN.\,[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Escher "beweist" intuitiv klare Sätze mit nur intuitiv
> > > > begründeten Argumenten. Dies ist das Schlimmste, was man
> > > > einem Studenten antun kann. Schon seine Formulierung
> > > > appelliert mit [mm]\dots[/mm] an die Anschauung. Wenn die Bedeutung
> > > > der drei Punkte klar ist, ist auch die rekursive Definition
> > > > klar und braucht nicht bewiesen zu werden.
> > >
> > > Du meinst die "[mm]\ldots[/mm]" in obigem Satz? Naja, ich gehe
> > eher
> > > davon aus,
> > > dass er da daran appelliert, dass wir "zählend
> denken"
> > > können, also, dass
> > > wir die natürlichen Zahlen zwischen [mm]0\,[/mm] und [mm]n\,[/mm]
> > einfügen
> > > können.
> > > Ich seh's vielleicht gerade nicht: Aber meines
> > Erachtens
> > > nach hat das nun
> > > nicht wirklich was mit Rekursion zu tun - ich würde
> es
> > > eher in Richtung
> > > "Peano-Axiome" deuten.
> > >
> > Na, irgendwie muß er ja [mm]X^n[/mm] definiert haben. Und
> > tatsächlich hat er [mm]X^n[/mm] "rekursiv" definiert, glaubt er
> > zumindest. Damit bricht das Ganze als Zirkelschluß in sich
> > zusammen.
>
> Das stimmt. Dann beweist oder formuliert man etwas mit den
> Mitteln, von
> denen man sagt, dass man sie erst verwenden kann/darf,
> nachdem sie
> bewiesen worden sind. Dann macht's keinen Sinn mehr, das
> ganze auf
> diese Art und Weise zu beweisen. Okay, das hatte ich nicht
> gesehen.
> Sowas sieht man aber auch nicht so leicht: Man muss quasi
> alles, was man
> irgendwoher schon weiß, vergessen, und sich dann nur mit
> den im Buch
> zur Verfügung gestellten Mitteln durchackern und gucken,
> dass man damit
> alleine auskommt.
>
> > Noch dazu wird seine Definition von [mm]X^n[/mm] für jede Menge [mm]X[/mm]
> > gar nicht durch das Rekursionsprinzip gedeckt, denn die
> > Zielmenge der zu definierenden Funktion wäre die "Menge
> > aller Mengen".
>
> Das verstehe ich aber gerade nicht: In der Tat gibt's das
> Manko bei
> Amann und Escher, dass
> [mm]X^n:=X \times ... \times X[/mm]
> (n-mal) definiert wird, und
> das ist dann eine rekursive Definition, so, wie
> sie die rechte Seite erläutern. Wo steht aber denn die
> Zielmenge dort?
> (Dazu finde ich gerade einfach nichts, bin gerade auf Seite
> 12,13,14 am
> Suchen!)
Die Fußnote auf Seite 13 (mir liegt die dritte Auflage vor) verweist auf das Rekursionsprinzip. Den Autoren ist also durchaus bewußt, daß sie da mogeln.
Um [mm] $f\colon \IN\to \cal [/mm] X$, rekursiv zu definieren, brauchen wir drei Dinge: Eine Menge [mm] $\cal [/mm] X$, ein [mm] $a\in \cal [/mm] X$ und ein [mm] $\cal G\colon \cal X\to \cal [/mm] X$. Laut Rekursionsprinzip gibt es dann genau eine Funktion [mm] $f\colon\IN\to \cal [/mm] X$ mit
(i) $ f(0)=a$
(ii) [mm] $f(n+1)={\cal G} \bigl(f(n)\bigr)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Welche Menge ist jetzt [mm] $\cal [/mm] X$?
>
> Ich dachte (hoffte) eigentlich, dass das dort wie üblich
> etwa mit
> [mm]X^n:=\{f: \{1,...,n\} \to X\}[/mm]
> definiert werde. Ehrlich
Das kartesische Produkt wird in Abschnitt 2 behandelt, das Rekursionsprinzip erst in Abschnitt 5, wo er [mm] $\IN$ [/mm] einführt. Endliche Folgen können in Abschnitt 2 noch gar nicht definiert werden, außer mit Pünktchen.
> gesagt finde ich diesbezüglich gerade gar nichts
> (muss aber gleich auch los!). Da steht aber nirgends die
> Menge aller
> Mengen. Auch nicht bei ihrer Definition von [mm]X \times Y\,.[/mm]
> Ich überlese
> es mal, anscheinend, wieder...
>
> > Ich habe nichts gegen eine Definition von [mm]X^n[/mm] als "[mm]X\times X \times X \cdots X[/mm]
> > n-mal", aber dann bitte nicht in einem Buch, das eine
> > Rechtfertigung rekursiver Definitionen für nötig
> > erachtet. In dem Fall könnte er [mm]X^n[/mm] z. B. als endliche
> > Folge mit Folgengliedern in [mm]X[/mm] definieren -- nachdem er die
> > natürlichen Zahlen eingeführt hat.
>
> Ich fände es durchaus gut, wenn Du derartige Kritik auch
> an die Autoren
> weitergibst. Denn normalerweise lassen die ja schon mit
> sich reden und
> überdenken diese Kritik, oder aber, sie versuchen
> wenigstens, sich bzw.
> ihre Vorgehensweise zu rechtfertigen. Das ist ja durchaus
> konstruktive
> Kritik, die ihre Berechtigung hat, die Du hier übst!
Diese Kritik trifft ja nicht nur Amann/Escher. Sie haben nur das gemacht, "was alle machen." (Na ja, bis auf Dedekind) Und andere Programmierer, besonders Dijkstra, haben von sehr viel einflußreicheren Positionen als meiner versucht, Mathematiker an unseren Programmiererfahrungen zu beteiligen. Ich kam auf diese ganzen Geschichten übrigens just beim Programmieren. Dabei tauchte die Frage auf: warum gilt eigentlich:
[mm] $m
Mir dämmerte zwar, daß das mit Peano zu tun hat, aber habe in meinen alten Mathebüchern nichts dazu gefunden. Und dann hatte ich mir Amann/Escher zugelegt, verleitet durch Kundenbewertungen bei einem großen Internetbuchhändler. Aber das war es auch nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Do 11.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
ich kürze mal der Übersicht wegen ein wenig weg:
> > > > ...
> > > ...
> > Das stimmt. Dann beweist oder formuliert man etwas mit den
> > Mitteln, von
> > denen man sagt, dass man sie erst verwenden kann/darf,
> > nachdem sie
> > bewiesen worden sind. Dann macht's keinen Sinn mehr, das
> > ganze auf
> > diese Art und Weise zu beweisen. Okay, das hatte ich nicht
> > gesehen.
> > Sowas sieht man aber auch nicht so leicht: Man muss quasi
> > alles, was man
> > irgendwoher schon weiß, vergessen, und sich dann nur
> mit
> > den im Buch
> > zur Verfügung gestellten Mitteln durchackern und
> gucken,
> > dass man damit
> > alleine auskommt.
> >
> > > Noch dazu wird seine Definition von [mm]X^n[/mm] für jede Menge [mm]X[/mm]
> > > gar nicht durch das Rekursionsprinzip gedeckt, denn die
> > > Zielmenge der zu definierenden Funktion wäre die "Menge
> > > aller Mengen".
> >
> > Das verstehe ich aber gerade nicht: In der Tat gibt's das
> > Manko bei
> > Amann und Escher, dass
> > [mm]X^n:=X \times ... \times X[/mm]
> > (n-mal) definiert wird,
> und
> > das ist dann eine rekursive Definition, so, wie
> > sie die rechte Seite erläutern. Wo steht aber denn die
> > Zielmenge dort?
> > (Dazu finde ich gerade einfach nichts, bin gerade auf Seite
> > 12,13,14 am
> > Suchen!)
>
> Die Fußnote auf Seite 13 (mir liegt die dritte Auflage
> vor) verweist auf das Rekursionsprinzip. Den Autoren ist
> also durchaus bewußt, daß sie da mogeln.
na, ich denke eher, dass sie da auf den Paragraph 5 verweisen, ohne
drüber nachgedacht zu haben, dass sie in der Formulierung des
Rekursionsprinzips schon etwas rekursiv definiertes verwenden.
Eine ähnliche, wenn auch viel kleinere, Bemerkung habe ich auch mal an
Karpfinger/Meyberg geschrieben: Dort hatten sie schon an einer Stelle
etwas verwendet, was sie erst ein paar Seiten später definiert haben.
Nur wäre das da einfach zu retten gewesen, denn sie brauchen einfach
nur an der Stelle auf eine später kommende Seite zu verweisen. Da gibt's
dann keinen Zirkelschluss bei denen!
> Um [mm]f\colon \IN\to \cal X[/mm], rekursiv zu definieren, brauchen
> wir drei Dinge: Eine Menge [mm]\cal X[/mm], ein [mm]a\in \cal X[/mm] und ein
> [mm]\cal G\colon \cal X\to \cal X[/mm].
Das hier ist klar. Aber hier setzt Du doch voraus, dass Du eine Menge
[mm] $\cal [/mm] X$ gegeben hast, deswegen...
> Laut Rekursionsprinzip gibt
> es dann genau eine Funktion [mm]f\colon\IN\to \cal X[/mm] mit
>
> (i) [mm]f(0)=a[/mm]
> (ii) [mm]f(n+1)={\cal G} \bigl(f(n)\bigr)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
>
> Welche Menge ist jetzt [mm]\cal X[/mm]?
... verstehe ich gerade diese Frage nicht!
> >
> > Ich dachte (hoffte) eigentlich, dass das dort wie üblich
> > etwa mit
> > [mm]X^n:=\{f: \{1,...,n\} \to X\}[/mm]
> > definiert werde.
> Ehrlich
>
> Das kartesische Produkt wird in Abschnitt 2 behandelt, das
> Rekursionsprinzip erst in Abschnitt 5, wo er [mm]\IN[/mm] einführt.
> Endliche Folgen können in Abschnitt 2 noch gar nicht
> definiert werden, außer mit Pünktchen.
>
> > gesagt finde ich diesbezüglich gerade gar nichts
> > (muss aber gleich auch los!). Da steht aber nirgends die
> > Menge aller
> > Mengen. Auch nicht bei ihrer Definition von [mm]X \times Y\,.[/mm]
> > Ich überlese
> > es mal, anscheinend, wieder...
> >
> > > Ich habe nichts gegen eine Definition von [mm]X^n[/mm] als "[mm]X\times X \times X \cdots X[/mm]
> > > n-mal", aber dann bitte nicht in einem Buch, das eine
> > > Rechtfertigung rekursiver Definitionen für nötig
> > > erachtet. In dem Fall könnte er [mm]X^n[/mm] z. B. als endliche
> > > Folge mit Folgengliedern in [mm]X[/mm] definieren -- nachdem er die
> > > natürlichen Zahlen eingeführt hat.
> >
> > Ich fände es durchaus gut, wenn Du derartige Kritik auch
> > an die Autoren
> > weitergibst. Denn normalerweise lassen die ja schon mit
> > sich reden und
> > überdenken diese Kritik, oder aber, sie versuchen
> > wenigstens, sich bzw.
> > ihre Vorgehensweise zu rechtfertigen. Das ist ja
> durchaus
> > konstruktive
> > Kritik, die ihre Berechtigung hat, die Du hier übst!
>
> Diese Kritik trifft ja nicht nur Amann/Escher. Sie haben
> nur das gemacht, "was alle machen."
Heißt ja nicht, dass alle es richtig machen!
> (Na ja, bis auf
> Dedekind) Und andere Programmierer, besonders Dijkstra,
> haben von sehr viel einflußreicheren Positionen als meiner
> versucht, Mathematiker an unseren Programmiererfahrungen zu
> beteiligen.
Ich würde mich sehr gerne dran beteiligen, aber ich glaube, ich bin nicht
einflussreich genug. Ich denke aber schon, dass der ein oder andere Prof.
in der Analysis, oder auch ein Dozent, da ein offenes Ohr hat. Vielleicht
muss man einfach ein wenig penetranter sein.
> Ich kam auf diese ganzen Geschichten übrigens
> just beim Programmieren. Dabei tauchte die Frage auf: warum
> gilt eigentlich:
>
> [mm]m
Ja, sowas würde jeder Analysis-Prof. direkt verwenden. Ich denke, dass
sich das auch zeigen läßt - alleine mit den Mitteln von meinem Prof., der
die natürlichen Zahlen, wie er einst sagte, als "gottgegeben" voraussetzt,
ebenso, dass wir sie "vergleichen" können, wäre das natürlich "schwer".
Dazu sei aber gesagt: Er macht das meist so, dass er dann doch
irgendwann bei einer Übungsaufgabe wirklich die natürlichen Zahlen mit
den Peano-Axiomen einführt.
Bei einem anderen Dozenten habe ich mal folgendes "gelernt":
[mm] $$0:=\emptyset\,,$$
[/mm]
[mm] $$1:=\{\emptyset\}$$
[/mm]
[mm] $$2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$
[/mm]
[mm] $$3:=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$$
[/mm]
.
.
.
Das heißt, man definiert eigentlich
[mm] $$0:=\emptyset,\,$$
[/mm]
[mm] $$1:=\{0\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$2:=\{0,1\}$$
[/mm]
[mm] $$3:=\{0,1,2\}$$
[/mm]
etc. pp.
Dann kann man sicher mit einer Teilmengenbeziehung diese Zalen
"vergleichen" - so ist etwa $1 [mm] \le [/mm] 3$ wegen [mm] $\{0\} \subseteq \{0,1,2\}\,.$
[/mm]
Das habe ich jetzt aber nicht mehr so ganz im Kopf, ich fand's nur, ehrlich
gesagt, interessant, so die natürlichen Zahlen in irgendwie doch
naheliegender Weise zu definieren. Aber natürlich: Da haben wir sie schon
wieder, die Rekursion!
> Mir dämmerte zwar, daß das mit Peano zu tun hat, aber
> habe in meinen alten Mathebüchern nichts dazu gefunden.
> Und dann hatte ich mir Amann/Escher zugelegt, verleitet
> durch Kundenbewertungen bei einem großen
> Internetbuchhändler. Aber das war es auch nicht.
Ja, wie gesagt: Deine Kritik ist da absolut gerechtfertigt, soweit ich das
sehe. Mal nebenher: Ich kann mir den Dedekind nun nicht wirklich komplett
durchlesen, außerdem tun mir bei der Schrift schnell die Augen weh.
Wie hat er denn das Rekursionsprinzip formuliert und bewiesen?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> ich kürze mal der Übersicht wegen ein wenig weg:
ich auch :
> > > > Noch dazu wird seine Definition von [mm]X^n[/mm] für jede Menge [mm]X[/mm]
> > > > gar nicht durch das Rekursionsprinzip gedeckt, denn die
> > > > Zielmenge der zu definierenden Funktion wäre die "Menge
> > > > aller Mengen".
> > >
> > > Das verstehe ich aber gerade nicht: In der Tat gibt's das
Ich auch nicht. Siehe unten...
>
> > Um [mm]f\colon \IN\to \cal X[/mm], rekursiv zu definieren, brauchen
> > wir drei Dinge: Eine Menge [mm]\cal X[/mm], ein [mm]a\in \cal X[/mm] und ein
> > [mm]\cal G\colon \cal X\to \cal X[/mm].
>
> Das hier ist klar. Aber hier setzt Du doch voraus, dass Du
> eine Menge
> [mm]\cal X[/mm] gegeben hast, deswegen...
>
> > Laut Rekursionsprinzip gibt
> > es dann genau eine Funktion [mm]f\colon\IN\to \cal X[/mm] mit
> >
> > (i) [mm]f(0)=a[/mm]
> > (ii) [mm]f(n+1)={\cal G} \bigl(f(n)\bigr)[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm].
> >
> > Welche Menge ist jetzt [mm]\cal X[/mm]?
>
> ... verstehe ich gerade diese Frage nicht!
Ich wollte nur die Schwierigkeiten beschreiben, [mm] $X^n$ [/mm] nach dem Rekursionsprinzip zu definieren, wobei $X$ eine beliebige Menge ist.
Die Zielmenge [mm]\cal X[/mm] der zu definierenden Funktion muß dann mindestens [mm] $X^n$ [/mm] für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] enthalten. Eine Menge, die das sicher tut, wäre die Menge aller Mengen, wenn es sie denn geben würde. Man kann für [mm]\cal X[/mm] natürlich nicht einfach [mm] $\left\{ X^n\mid n\in \IN\right\} [/mm] nehmen, schon weil das wieder eine Zirkeldefinition wäre.
Und nebenbei ist diese Definition nicht von der axiomatischen Mengenlehre gedeckt. Aber darüber möchte ich jetzt eigentlich nicht diskutieren.
> >
> > Diese Kritik trifft ja nicht nur Amann/Escher. Sie haben
> > nur das gemacht, "was alle machen."
>
> Heißt ja nicht, dass alle es richtig machen!
Na ja, aber keiner leidet darunter. Oder sieht da ein Problem.
> Dazu sei aber gesagt: Er macht das meist so, dass er dann
> doch
> irgendwann bei einer Übungsaufgabe wirklich die
> natürlichen Zahlen mit
> den Peano-Axiomen einführt.
Natürlich fragt man sich dann als Student, warum das jetzt. War alles, was wir bisher gemacht haben, unbegründet, oder Gott gegeben? Hätten wir das alles gar nicht nachvollziehen können dürfen?
>
> Bei einem anderen Dozenten habe ich mal folgendes
> "gelernt":
> [mm]0:=\emptyset\,,[/mm]
> [mm]1:=\{\emptyset\}[/mm]
> [mm]2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}[/mm]
> [mm]3:=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}[/mm]
>
Ich glaube, das stammt von John v. Neumann.
Er konstruiert ein Modell für die Peano-Axiome auf Basis seiner axiomatischen Mengenlehre. Da ist mir der Weg direkt zu den Peano-Axiomen, die doch viel einsichtiger sind als die Axiome der Mengenlehre, schon lieber. Zumindest, wenn es um Analysis geht. Sowas irritiert doch nur.
> Ja, wie gesagt: Deine Kritik ist da absolut gerechtfertigt,
> soweit ich das
> sehe. Mal nebenher: Ich kann mir den Dedekind nun nicht
> wirklich komplett
> durchlesen, außerdem tun mir bei der Schrift schnell die
> Augen weh.
>
> Wie hat er denn das Rekursionsprinzip formuliert und
> bewiesen?
So wie Amman/Escher. Allerdings beweist Dedekind eine etwas bescheidenere Version: Die rechte Seite im "Induktionsschritt" hängt bei Dedekind nur von $f(n)$ ab und nicht von $f(0), f(1), [mm] \ldots [/mm] , f(n)$. Ich ahne auch warum. Bei der rekursiven Definition von endlichen Summen und Produkten braucht man eine etwas erweiterte Version, in der die rechte Seite von $f(n)$ und $n$ abhängt. Diese erweiterte Version benutzt Amman/Escher -- ohne sie vorher zu erwähnen oder gar zu beweisen.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
eigentlich habe ich gerade nur noch eine kurze Frage:
> > Das hier ist klar. Aber hier setzt Du doch voraus, dass Du
> > eine Menge
> > [mm]\cal X[/mm] gegeben hast, deswegen...
> >
> > > Laut Rekursionsprinzip gibt
> > > es dann genau eine Funktion [mm]f\colon\IN\to \cal X[/mm] mit
> > >
> > > (i) [mm]f(0)=a[/mm]
> > > (ii) [mm]f(n+1)={\cal G} \bigl(f(n)\bigr)[/mm] für alle
> > [mm]n\in\IN[/mm].
> > >
> > > Welche Menge ist jetzt [mm]\cal X[/mm]?
> >
> > ... verstehe ich gerade diese Frage nicht!
>
> Ich wollte nur die Schwierigkeiten beschreiben, [mm]X^n[/mm] nach
> dem Rekursionsprinzip zu definieren, wobei [mm]X[/mm] eine beliebige
> Menge ist.
Du meinst hier aber die Definition, wo man mit einem [mm] $n\,$-Tupel [/mm] ein
Element aus [mm] $X^n$ [/mm] identifiziert, und auch ein [mm] $n\,$-Tupel [/mm] noch nicht
als "endliche (bzw. abbrechende)" Folge auffasst, oder?
Denn bei
[mm] $$X^n:=\{f: \{1,...,n\} \to X: f \text{ ist Abbildung}\}$$
[/mm]
gibt's doch nirgendwo den Bedarf einer Menge aller Mengen?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
>
> eigentlich habe ich gerade nur noch eine kurze Frage:
> > > Das hier ist klar. Aber hier setzt Du doch voraus,
> dass Du
> > > eine Menge
> > > [mm]\cal X[/mm] gegeben hast, deswegen...
> > >
> > > > Laut Rekursionsprinzip gibt
> > > > es dann genau eine Funktion [mm]f\colon\IN\to \cal X[/mm] mit
> > > >
> > > > (i) [mm]f(0)=a[/mm]
> > > > (ii) [mm]f(n+1)={\cal G} \bigl(f(n)\bigr)[/mm] für alle
> > > [mm]n\in\IN[/mm].
> > > >
> > > > Welche Menge ist jetzt [mm]\cal X[/mm]?
> > >
> > > ... verstehe ich gerade diese Frage nicht!
> >
> > Ich wollte nur die Schwierigkeiten beschreiben, [mm]X^n[/mm] nach
> > dem Rekursionsprinzip zu definieren, wobei [mm]X[/mm] eine beliebige
> > Menge ist.
>
> Du meinst hier aber die Definition, wo man mit einem
> [mm]n\,[/mm]-Tupel ein
> Element aus [mm]X^n[/mm] identifiziert, und auch ein [mm]n\,[/mm]-Tupel noch
> nicht
> als "endliche (bzw. abbrechende)" Folge auffasst, oder?
>
> Denn bei
> [mm]X^n:=\{f: \{1,...,n\} \to X: f \text{ ist Abbildung}\}[/mm]
>
> gibt's doch nirgendwo den Bedarf einer Menge aller Mengen?
Dies ist eine Definition von [mm] $X^n$, [/mm] die auch sehr vernünftig ist. Aber wir können doch keine Definition von [mm] $X^n$ [/mm] benutzen, um [mm] $X^n$ [/mm] zu definieren. Wir müssen für die rekursive Definition eine Menge [mm] $\cal [/mm] X$ angeben, die $ [mm] \{ X^n \mid n\in \IN\}$ [/mm] enthält -- ohne Rückgriff auf die Definition von [mm] $X^n$. [/mm] Und das scheint mir schwierig, vielleicht sogar unmöglich.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > > ...
> > Du meinst hier aber die Definition, wo man mit einem
> > [mm]n\,[/mm]-Tupel ein
> > Element aus [mm]X^n[/mm] identifiziert, und auch ein [mm]n\,[/mm]-Tupel noch
> > nicht
> > als "endliche (bzw. abbrechende)" Folge auffasst,
> oder?
> >
> > Denn bei
> > [mm]X^n:=\{f: \{1,...,n\} \to X: f \text{ ist Abbildung}\}[/mm]
>
> >
> > gibt's doch nirgendwo den Bedarf einer Menge aller Mengen?
>
> Dies ist eine Definition von [mm]X^n[/mm], die auch sehr vernünftig
> ist. Aber wir können doch keine Definition von [mm]X^n[/mm]
> benutzen, um [mm]X^n[/mm] zu definieren. Wir müssen für die
> rekursive Definition eine Menge [mm]\cal X[/mm] angeben, die [mm]\{ X^n \mid n\in \IN\}[/mm]
> enthält -- ohne Rückgriff auf die Definition von [mm]X^n[/mm].
> Und das scheint mir schwierig, vielleicht sogar
> unmöglich.
ja, ich versuch' nur gerade, mir irgendwie "das Dilemma" ein wenig klarer
zu machen. Man will ja sowas haben:
[mm] $$X^{n+1}:=X^n \times X\,,$$
[/mm]
wobei man da wegen einer gewissen "Assoziativität" das auch anders
definieren könnte. (Eigentlich ist in der obigen Definition ja um [mm] $X^n$ [/mm] eine
Klammer zu denken, wenn man das als $X [mm] \times [/mm] ... [mm] \times [/mm] X$ ausschreibt!)
Die Menge [mm] $X^n$ [/mm] gibt's dann gemäß der "Induktionsvoraussetzung",
nennen wir sie mal [mm] $A\,,$ [/mm] und eine Menge $A [mm] \times [/mm] X$ kann man auch
bilden, wenn man das kartesische Produkt für zwei Mengen bilden kann.
Ich kapiere aber irgendwie immer noch nicht, wo wir mit der Menge aller
Mengen arbeiten müssen. Übersehe ich etwas? Man muss doch prinzipiell
nur das kartesische Produkt zweier Mengen irgendwie bilden können...
Denn ich denke, dass man die Existenz von [mm] $X^n$ [/mm] so dann doch "induktiv"
erhält. Aber irgendwie ist das dann doch rekursiv. Ich frage mich aber
gerade sowieso: Eigentlich ist das Rekursionsprinzip doch nur eine
abgewandelte Form einer vollständigen Induktion? Aber klar: Wenn man
in den Beweis von Amann/Escher guckt, benutzen die da ja auch die
vollständige Induktion!
Das ist schon manchmal komisch: Total komplexes Zeug, damit kann man
mit ein wenig Erfahrung (meist irgendwann mal) locker umgehen und auch
komplexe Fragen diesbezüglich beantworten, aber wenn man über manche
Grundlagen, die ja nun doch nicht allzu schwer sind, sich mehr Gedanken
macht, kommt man zu dem Ergebnis, dass man sich besser doch noch mal
mehr Gedanken dazu machen sollte - bzw. es nicht schadet, sich nochmal
genauer damit zu befassen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
Für die rekursive Definition müssen wir eine Menge angeben, in der alle die [mm] $X^n$ [/mm] als Elemente enthalten sind. Laß uns diese gesuchte Menge mit [mm]\cal X[/mm] bezeichnet, weil traditionell Mengen von Mengen mit solchen komischen Buchstaben bezeichnet werden.
Um mein Problem zu verstehen, vergleiche die Definition von [mm] $X^n$ [/mm] für eine Menge $X$ mit der rekursiven Definition von [mm] $x^n$ [/mm] für eine reelle Zahl $x$. Da geben wir eine Funktion [mm] $G\colon \IR \to \IR, y\mapsto [/mm] y*x$ an und ein Element aus [mm] $\IR$, [/mm] nämlich 1, und definieren die Potenzfunktion [mm] $p\colon \IN\to \IR, n\mapsto x^n$ [/mm] durch
(i) $p(0)=1$
(ii) $p(n+1) = [mm] G\bigl(p(n)\bigr)$ [/mm] (also $p(n+1) = p(n)*x$)
Und jetzt übertrage das auf die rekursive Definition von [mm] $X^n$. [/mm] Welche Menge soll da die Rolle von [mm] $\IR$ [/mm] übernehmen, d. h. der Zielmenge der zu definierenden Funktion [mm]\cal P[/mm], so daß [mm]{\cal P}(n)=X^n\;?[/mm]
Bzw. der Definitions- und Zielmenge von [mm]\cal G[/mm]? Ich weiß schon, daß [mm]{\cal G}(Y)=Y\times X[/mm] für jedes [mm] $Y\in\cal [/mm] X$ sein muß. Aber was ist [mm] ${\cal X}?$
[/mm]
Ich weiß es nicht. Und ich glaube kaum, daß Ammann oder Escher das wissen.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
okay, so langsam komme ich dahinter, was Du meinst (hat zwar echt lange
gedauert...):
> Hallo Marcel,
>
> Für die rekursive Definition müssen wir eine Menge
> angeben, in der alle die [mm]X^n[/mm] als Elemente enthalten sind.
> Laß uns diese gesuchte Menge mit [mm]\cal X[/mm] bezeichnet, weil
> traditionell Mengen von Mengen mit solchen komischen
> Buchstaben bezeichnet werden.
Ja, man spricht dann auch von Mengenfamilien oder einem Mengensystem.
Ist ja auch wurscht. Du meinst, um [mm] $X^n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] durch
eine rekursive Definition erfassen zu können, bedarf es einer
Mengenfamilie [mm] $\mathcal{X}$ [/mm] mit wenigstens
[mm] $$(\*)\;\;\;\{X^1,\;X^2,\;X^3,...\} \subseteq \mathcal [/mm] X$$
Ist doch korrekt so, oder?
> Um mein Problem zu verstehen, vergleiche die Definition von
> [mm]X^n[/mm] für eine Menge [mm]X[/mm] mit der rekursiven Definition von [mm]x^n[/mm]
> für eine reelle Zahl [mm]x[/mm]. Da geben wir eine Funktion [mm]G\colon \IR \to \IR, y\mapsto y*x[/mm]
> an und ein Element aus [mm]\IR[/mm], nämlich 1, und definieren die
> Potenzfunktion [mm]p\colon \IN\to \IR, n\mapsto x^n[/mm] durch
>
> (i) [mm]p(0)=1[/mm]
> (ii) [mm]p(n+1) = G\bigl(p(n)\bigr)[/mm] (also [mm]p(n+1) = p(n)*x[/mm])
Okay, da wird nun rechterhand $G [mm] \circ [/mm] p: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] verwendet - musste
ich mir nur gerade selbst klarmachen und schreibe es hier, damit ich mich
ggf. wieder mal dran erinnere!
> Und jetzt übertrage das auf die rekursive Definition von
> [mm]X^n[/mm]. Welche Menge soll da die Rolle von [mm]\IR[/mm] übernehmen, d.
> h. der Zielmenge der zu definierenden Funktion [mm]\cal P[/mm], so
> daß [mm]{\cal P}(n)=X^n\;?[/mm]
> Bzw. der Definitions- und
> Zielmenge von [mm]\cal G[/mm]? Ich weiß schon, daß [mm]{\cal G}(Y)=Y\times X[/mm]
> für jedes [mm]Y\in\cal X[/mm] sein muß.
Das erklärt nun, wieso Du oben [mm] $\mathcal{X} \supseteq \{X^1,\;X^2,\;X^3,\;...\}$ [/mm] (siehe [mm] $(\*)$) [/mm] verlangst.
> Aber was ist [mm]{\cal X}?[/mm]
Ja, so ist das echt schwer. Dann wäre [mm] $\mathcal [/mm] X$ wenigstens die Menge
linkerhand in [mm] $(\*)\,,$ [/mm] und die wäre ja quasi rekursiv definiert. Wenn man
[mm] $\mathcal{X}$ [/mm] als Menge aller Mengen zuließe, wäre die Existenz einer
solchen Menge [mm] $\mathcal [/mm] X$ gesichtert, aber genau das darf man ja eben
nicht machen. Ich verstehe nun Dein Problem sicher besser, aber ich frage
mich gerade dennoch, ob sich das Problem mit der Existenz alleine eines
kartesischen Produkts zweier Mengen nun nicht doch irgendwo beheben
läßt, wenn man induktiv argumentiert. Aber vermutlich wird man sich dabei
dann eben im Kreise drehen, wenn man das so angehen will.
> Ich weiß es nicht. Und ich glaube kaum, daß Ammann oder
> Escher das wissen.
Gute Frage - vielleicht frage ich irgendwann mal bei Ihnen nach. ^^
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
>
> okay, so langsam komme ich dahinter, was Du meinst (hat
> zwar echt lange
> gedauert...):
> > Hallo Marcel,
> >
> > Für die rekursive Definition müssen wir eine Menge
> > angeben, in der alle die [mm]X^n[/mm] als Elemente enthalten sind.
> > Laß uns diese gesuchte Menge mit [mm]\cal X[/mm] bezeichnet, weil
> > traditionell Mengen von Mengen mit solchen komischen
> > Buchstaben bezeichnet werden.
>
> Ja, man spricht dann auch von Mengenfamilien oder einem
> Mengensystem.
> Ist ja auch wurscht. Du meinst, um [mm]X^n[/mm] für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> durch
> eine rekursive Definition erfassen zu können, bedarf es
> einer
> Mengenfamilie [mm]\mathcal{X}[/mm] mit wenigstens
> [mm](\*)\;\;\;\{X^1,\;X^2,\;X^3,...\} \subseteq \mathcal X[/mm]
> Ist doch korrekt so, oder?
Bingo! Ich sehe schon, wir verstehen uns.
>
> > Um mein Problem zu verstehen, vergleiche die Definition von
> > [mm]X^n[/mm] für eine Menge [mm]X[/mm] mit der rekursiven Definition von [mm]x^n[/mm]
> > für eine reelle Zahl [mm]x[/mm]. Da geben wir eine Funktion [mm]G\colon \IR \to \IR, y\mapsto y*x[/mm]
> > an und ein Element aus [mm]\IR[/mm], nämlich 1, und definieren die
> > Potenzfunktion [mm]p\colon \IN\to \IR, n\mapsto x^n[/mm] durch
> >
> > (i) [mm]p(0)=1[/mm]
> > (ii) [mm]p(n+1) = G\bigl(p(n)\bigr)[/mm] (also [mm]p(n+1) = p(n)*x[/mm])
>
> Okay, da wird nun rechterhand [mm]G \circ p: \IN \to \IR[/mm]
> verwendet - musste
> ich mir nur gerade selbst klarmachen und schreibe es hier,
> damit ich mich
> ggf. wieder mal dran erinnere!
Achtung! Wir haben $p$ und damit [mm] $G\circ [/mm] p$ ja noch gar nicht definiert. Die rechte Seite hängt nur von $p(n)$ ab. Und es ist gerade die Aussage des Rekursionssatzes, daß wir $p(n)$ benutzen dürfen, obwohl $p$ (noch) gar nicht definiert ist.
>
> > Und jetzt übertrage das auf die rekursive Definition von
> > [mm]X^n[/mm]. Welche Menge soll da die Rolle von [mm]\IR[/mm] übernehmen, d.
> > h. der Zielmenge der zu definierenden Funktion [mm]\cal P[/mm], so
> > daß [mm]{\cal P}(n)=X^n\;?[/mm]
>
>
>
> > Bzw. der Definitions- und
> > Zielmenge von [mm]\cal G[/mm]? Ich weiß schon, daß [mm]{\cal G}(Y)=Y\times X[/mm]
> > für jedes [mm]Y\in\cal X[/mm] sein muß.
Ja. Das muß verlangt werden, um die Voraussetzungen des Rekursionsprinzips zu erfüllen, so wie ich es verwende.
>
> Das erklärt nun, wieso Du oben [mm]\mathcal{X} \supseteq \{X^1,\;X^2,\;X^3,\;...\}[/mm]
> (siehe [mm](\*)[/mm]) verlangst.
>
> > Aber was ist [mm]{\cal X}?[/mm]
>
> Ja, so ist das echt schwer. Dann wäre [mm]\mathcal X[/mm]
> wenigstens die Menge
> linkerhand in [mm](\*)\,,[/mm] und die wäre ja quasi rekursiv
> definiert. Wenn man
> [mm]\mathcal{X}[/mm] als Menge aller Mengen zuließe, wäre die
> Existenz einer
> solchen Menge [mm]\mathcal X[/mm] gesichtert, aber genau das darf
> man ja eben
> nicht machen. Ich verstehe nun Dein Problem sicher besser,
> aber ich frage
> mich gerade dennoch, ob sich das Problem mit der Existenz
> alleine eines
> kartesischen Produkts zweier Mengen nun nicht doch
> irgendwo beheben
> läßt, wenn man induktiv argumentiert. Aber vermutlich
> wird man sich dabei
> dann eben im Kreise drehen, wenn man das so angehen will.
Genau so ist. Wir definieren ja auch nicht das kartesische Produkt als eine Verknüpfung auf der Menge aller Mengen! Oder wir sagen nicht, die Gleichmächtigkeit sei eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen.
Daher mein Vorschlag, $n$-Tupel als Funktion auf Anfangsstücken von [mm] $\IN$ [/mm] zu definieren -- nachdem [mm] $\IN$ [/mm] axiomatisch eingeführt wurde. Oder es so zu machen wie Königsberger, der seine Analysis I so beginnt:
"Wir setzen das System [mm] $\IN$ [/mm] der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... als bekannt voraus."
> > Ich weiß es nicht. Und ich glaube kaum, daß Amann oder
> > Escher das wissen.
>
> Gute Frage - vielleicht frage ich irgendwann mal bei Ihnen
> nach. ^^
Mach das! Viel Erfolg!
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
> >
> > okay, so langsam komme ich dahinter, was Du meinst (hat
> > zwar echt lange
> > gedauert...):
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > Für die rekursive Definition müssen wir eine Menge
> > > angeben, in der alle die [mm]X^n[/mm] als Elemente enthalten sind.
> > > Laß uns diese gesuchte Menge mit [mm]\cal X[/mm] bezeichnet, weil
> > > traditionell Mengen von Mengen mit solchen komischen
> > > Buchstaben bezeichnet werden.
> >
> > Ja, man spricht dann auch von Mengenfamilien oder einem
> > Mengensystem.
> > Ist ja auch wurscht. Du meinst, um [mm]X^n[/mm] für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> > durch
> > eine rekursive Definition erfassen zu können, bedarf
> es
> > einer
> > Mengenfamilie [mm]\mathcal{X}[/mm] mit wenigstens
> > [mm](\*)\;\;\;\{X^1,\;X^2,\;X^3,...\} \subseteq \mathcal X[/mm]
> > Ist doch korrekt so, oder?
>
> Bingo! Ich sehe schon, wir verstehen uns.
>
> >
> > > Um mein Problem zu verstehen, vergleiche die Definition von
> > > [mm]X^n[/mm] für eine Menge [mm]X[/mm] mit der rekursiven Definition von [mm]x^n[/mm]
> > > für eine reelle Zahl [mm]x[/mm]. Da geben wir eine Funktion [mm]G\colon \IR \to \IR, y\mapsto y*x[/mm]
> > > an und ein Element aus [mm]\IR[/mm], nämlich 1, und definieren die
> > > Potenzfunktion [mm]p\colon \IN\to \IR, n\mapsto x^n[/mm] durch
> > >
> > > (i) [mm]p(0)=1[/mm]
> > > (ii) [mm]p(n+1) = G\bigl(p(n)\bigr)[/mm] (also [mm]p(n+1) = p(n)*x[/mm])
>
> >
> > Okay, da wird nun rechterhand [mm]G \circ p: \IN \to \IR[/mm]
> > verwendet - musste
> > ich mir nur gerade selbst klarmachen und schreibe es hier,
> > damit ich mich
> > ggf. wieder mal dran erinnere!
>
> Achtung! Wir haben [mm]p[/mm] und damit [mm]G\circ p[/mm] ja noch gar nicht
> definiert. Die rechte Seite hängt nur von [mm]p(n)[/mm] ab. Und es
> ist gerade die Aussage des Rekursionssatzes, daß wir [mm]p(n)[/mm]
> benutzen dürfen, obwohl [mm]p[/mm] (noch) gar nicht definiert ist.
ja, da hast Du recht. So streng meinte ich das gar nicht: Ich musste mir
nur bewußt machen, warum man nun nur noch $n [mm] \in \IN$ [/mm] rechterhand
einsetzt. Es ist mehr als Eselsbrücke gemeint gewesen - formal streng
hast Du aber vollkommen recht. Ich habe mich da falsch ausgedrückt.
Trotzdem gut, dass Du das auch so nochmal erwähnst: Denn drüber
nachgedacht hatte ich in der Art und Weise noch nicht drüber - ich
denke und hoffe aber, dass es mir bewußt geworden wäre, wenn ich
mehr drüber nachgedacht hätte.
P.S.
So langsam entwickelt sich das ganze zu einer (interessanten, wie ich
finde!) Nebendiskussion!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
(hoffentlich zum letzten Mal zu dieser Frage - oben warten ja noch zwei weitere)
> Wir gehen von der eineindeutigen Abbildung [mm]G: X\to \IN[/mm] aus.
> Weil [mm]Y\subset X[/mm] ist, wird durch
>
> [mm]F: Y\to \IN, x\mapsto G(x)[/mm]
>
> eine Abbildung [mm]F[/mm] definiert. (Man nennt [mm]F[/mm] auch
> "Einschränkung von [mm]G[/mm] auf [mm]Y[/mm]". Diese Einschränkung ist nur
> möglich, weil [mm]Y\subset X[/mm] ist.)
>
> [mm]F[/mm] ist eineindeutig: Sei [mm]x, x'\in Y[/mm] und [mm]F(x)=F(y)[/mm]. Wegen
> [mm]F(x)=G(x)[/mm] und [mm]F(x')=G(x')[/mm] folgt [mm]G(x)=G(x')[/mm]. Und weil [mm]G[/mm]
> eineindeutig ist, folgt weiter [mm]x=x'[/mm].
>
> [mm]B(F)\subset \IN[/mm]: Dies ist klar, weil [mm]\IN[/mm] die Zielmenge von
> [mm]F[/mm] ist.
>
> Grüße,
> Wolfgang
Wenn ich jetzt als gegeben hinnehme, dass ich Folgen rekursiv definieren kann und dass [mm] B(F)\subset\IN\Rightarrow\exists\min(B(F)), [/mm] dann könnte ich doch diesen Beweis mit meiner Methode zuende führen, in dem ich zeige, dass B(F) gleichmächtig zu [mm] \IN [/mm] ist (bis jetzt ist ja nur gezeigt, dass Y gleichmächtig zu B(F) ist), dann wäre der Beweis aber vollständig, oder?
P.S.: Ich habe eben mal online bei meiner Bibliothek geguckt, da gibt es dein Buch nicht. Aber die Beschreibung bei Amazon klingt sehr verlockend, ich habe das jetzt auf jeden Fall im Hinterkopf.
Viele Grüße,
Axiom
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom,
> Wenn ich jetzt als gegeben hinnehme, dass ich Folgen
> rekursiv definieren kann und dass
> [mm]B(F)\subset\IN\Rightarrow\exists\min(B(F)),[/mm] dann könnte
> ich doch diesen Beweis mit meiner Methode zuende führen,
> in dem ich zeige, dass B(F) gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] ist (bis
> jetzt ist ja nur gezeigt, dass Y gleichmächtig zu B(F)
> ist), dann wäre der Beweis aber vollständig, oder?
Nein. Mit Deiner Folge konstruierst Du eine eineindeutige Abbildung [mm] $K\colon \IN\to [/mm] B(F)$. Aber das ist nur die halbe Miete. Um Gleichmächtigkeit von $B(F)$ und $B(K)$ zu zeigen, müßtest Du noch $B(K)=B(F)$ nachweisen, und da liegt der Hund begraben.
Ahh. Beim Versuch ein Gegegenbeispiel zu finden, ist mir vielleicht doch ein Beweis eingefallen. Er nutzt aus, daß $K$ monoton steigt. Ich glaube, damit kann man einen Widerspruchsbeweis führen. Versuch's mal.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom,
>
>
> > Wenn ich jetzt als gegeben hinnehme, dass ich Folgen
> > rekursiv definieren kann und dass
> > [mm]B(F)\subset\IN\Rightarrow\exists\min(B(F)),[/mm] dann könnte
> > ich doch diesen Beweis mit meiner Methode zuende führen,
> > in dem ich zeige, dass B(F) gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] ist (bis
> > jetzt ist ja nur gezeigt, dass Y gleichmächtig zu B(F)
> > ist), dann wäre der Beweis aber vollständig, oder?
>
> Nein. Mit Deiner Folge konstruierst Du eine eineindeutige
> Abbildung [mm]K\colon \IN\to B(F)[/mm]. Aber das ist nur die halbe
> Miete. Um Gleichmächtigkeit von [mm]B(F)[/mm] und [mm]B(K)[/mm] zu zeigen,
> müßtest Du noch [mm]B(K)=B(F)[/mm] nachweisen, und da liegt der
> Hund begraben.
Achso. Dann hab ich das jetzt zumindest verstanden.
> Ahh. Beim Versuch ein Gegegenbeispiel zu finden, ist mir
> vielleicht doch ein Beweis eingefallen. Er nutzt aus, daß
> [mm]K[/mm] monoton steigt. Ich glaube, damit kann man einen
> Widerspruchsbeweis führen. Versuch's mal.
Wird gemacht.
> Gruß,
> Wolfgang
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Okay, ich hab mich getäuscht. Ich verstehe es immer noch nicht. Ich habe jetzt eine ganze Weile über das Problem nachgedacht. Mir scheint es immer noch so: Wie haben gezeigt, dass Y gleichmächtig ist zu B(F). Dann haben wir eine Abzählung von B(F) konstruiert, es ist also B(F) gleichmächtig zu [mm] \IN. [/mm] Das bedeutet doch dann, dass B(F) und damit Y abzählbar sind, oder nicht?
Mir scheint es inzwischen nicht mehr so, als würde ich selbst auf den fertigen Beweis kommen, ich möchte deswegen darum bitten, dass vielleicht jemand einen auf diesen Ideen basierenden vollständigen Beweis formuliert.
Vielen vielen Dank für die bei diesem Thema wirklich sehr ausführliche Hilfe.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom,
> Mir scheint es immer noch so: Wie haben
> gezeigt, dass Y gleichmächtig ist zu B(F).
Richtig!
> Dann haben wir
> eine Abzählung von B(F) konstruiert, es ist also B(F)
> gleichmächtig zu [mm]\IN.[/mm]
Falsch! Genau das haben wir nicht. Und genau das brauchen wir. Zumindest haben wir nicht gezeigt, daß $BF$ und [mm] $\IN$ [/mm] gleichmächtig sind.
> Das bedeutet doch dann, dass B(F) und damit Y abzählbar sind, oder nicht?
Das ist wieder richtig.
Nun weiß ich leider nicht, was Du mit einer "Abzählung" meinst. Wenn eine Abzählung eine injektive Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] nach $BF$ ist, hast Du auch im zweiten Punkt recht, und der Beweis ist fertig.
Wenn aber "abzählbar" dasselbe wie "gleichmächtig zu [mm] $\IN$" [/mm] bedeutet, dann bliebe noch was zu tun: Und zwar müssen wir zeigen, daß es zu jedem $m$ in $BF$ ein $k$ in [mm] $\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $n_k=m$, [/mm] daß also bei der Abzählung kein Element übrig bleibt. Angenommen, es gäbe ein $m$ in $BF$, das von jedem [mm] $n_k$ [/mm] verschieden ist. Dann ist nach Konstruktion der Folge $m$ größer als alle [mm] $n_k$. ($n_k$ [/mm] ist das Minimum des Restes von $BF$ im k-ten Schritt). Aber die Folge [mm] $n_k$ [/mm] ist unbeschränkt. Widerspruch!
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Do 11.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Man zeige, dass eine Teilmenge einer abzählbaren Menge stets endlich oder abzählbar ist.
Definitionen:
Seien X, Y beiliebige Mengen.
1. Eine Vorschrift A, welche jedem x einer Teilmenge $ [mm] D(A)\subset{X} [/mm] $ eindeutig ein Element $ [mm] y=A(x)\in{Y} [/mm] $ zuordnet, heißt eine Abbildung aus X in Y.
2. D(A) heißt Definitionsmenge von A.
3. $ [mm] B(A):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{D(A)}\} [/mm] $ heißt Bildmenge von A.
4. Ist $ [mm] X\subset{D(A)}, [/mm] $ so heißt $ [mm] A(X):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{X}\} [/mm] $ Bild von X unter A.
5. Eine Abbildung $ [mm] A:X\to [/mm] $ Y heißt eineindeutig, wenn aus $ A(x)=A(x') $ stets folgt: $ x=x' $
6. Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig dann, wenn es eine eineindeutige Abbildung [mm] A:X\to{Y} [/mm] exisitiert mit D(A)=X, B(A)=Y.
7. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig zu [mm] \IN [/mm] ist. |
Nun gut, dann ist also der folgende Beweis korrekt und vollständig:
Sei X eine abzählbare Menge und Y eine beliebige unendliche Teilmenge von X.
X ist abzählbar, daher existiert eine eineindeutige Abbildung [mm] G:X\to\IN, x\mapsto{}G(x) [/mm] mit D(G)=X, [mm] B(G)=\IN.
[/mm]
Wegen [mm] Y\subsetq{}X [/mm] existiert ferner eine Abbildung [mm] F:Y\to\IN, y\mapsto{}G(y). [/mm] Nun wird die Eineindeutigkeit von F nachgewiesen. Seien y, [mm] y'\in{}Y [/mm] beliebig und F(y)=F(y'). Dann gilt F(y)=G(y)=G(y')=F(y'). Somit ist F eineindeutig.
Es ist ferner [mm] B(F)\subseteq\IN. [/mm] Es ist Y gleichmächtig zu B(F), ist also B(F) gleichmächtig zu [mm] \IN, [/mm] so ist Y gleichmächtig zu [mm] \IN. [/mm] Es bleibt daher die Gleichmächtigkeit von B(F) zu [mm] \IN [/mm] nachzuweisen.
Es wird dazu eine Folge [mm] \{n_k\} [/mm] rekursiv definiert durch [mm] n_1=min(B(F)), n_{k+1}=min(B(F)\setminus\{n_i,i\le{k}\})
[/mm]
Dann wird eine Abbildung [mm] K:B(F)\to\IN, n_k\mapsto{}k [/mm] konstruiert. Auch hier ist nachzuweisen, dass [mm] B(K)=\IN. [/mm] Dies ist trivial, denn [mm] \{n_k\}:\IN\to{}B(F) [/mm] stellt eine Abbildung mit [mm] k\mapsto{n_k} [/mm] dar. Es ist also [mm] \{n_k\}\circ{}K=id_\IN. [/mm] Existierte ein [mm] x\in\IN\setminus{}B(K), [/mm] so wäre [mm] id_\IN(x)\not=x.
[/mm]
Außerdem ist zu zu zeigen, daß es zu jedem $ m $ in $ B(F) $ ein $ k $ in $ [mm] \IN [/mm] $ gibt mit $ [mm] n_k=m [/mm] $. Angenommen, es gäbe ein $ m $ in $ BF $, das von jedem $ [mm] n_k [/mm] $ verschieden ist. Dann ist nach Konstruktion der Folge $ m $ größer als alle $ [mm] n_k [/mm] $. Aber die Folge $ [mm] n_k [/mm] $ ist unbeschränkt. Daher ist dies nicht möglich.
Zuletzt bleibt nachzuweisen, dass K eineindeutig ist, dass also aus [mm] K(n_k)=K(n_{k'}) [/mm] stets k=k' folgt.
1. Wie geht das?
2. Habe ich mich jetzt schon wieder irgendwo vergalloppiert?
Mir gefällt das irgendwie nicht.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Man zeige, dass eine Teilmenge einer abzählbaren Menge
> stets endlich oder abzählbar ist.
>
> Definitionen:
> Seien X, Y beiliebige Mengen.
> 1. Eine Vorschrift A, welche jedem x einer Teilmenge
> [mm]D(A)\subset{X}[/mm] eindeutig ein Element [mm]y=A(x)\in{Y}[/mm] zuordnet,
> heißt eine Abbildung aus X in Y.
> 2. D(A) heißt Definitionsmenge von A.
> 3. [mm]B(A):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{D(A)}\}[/mm] heißt
> Bildmenge von A.
> 4. Ist [mm]X\subset{D(A)},[/mm] so heißt [mm]A(X):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{X}\}[/mm]
> Bild von X unter A.
> 5. Eine Abbildung [mm]A:X\to[/mm] Y heißt eineindeutig, wenn aus
> [mm]A(x)=A(x')[/mm] stets folgt: [mm]x=x'[/mm]
> 6. Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig dann, wenn
> es eine eineindeutige Abbildung [mm]A:X\to{Y}[/mm] exisitiert mit
> D(A)=X, B(A)=Y.
> 7. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig
> zu [mm]\IN[/mm] ist.
> Nun gut, dann ist also der folgende Beweis korrekt und
> vollständig:
>
> Sei X eine abzählbare Menge und Y eine beliebige
> unendliche Teilmenge von X.
>
> X ist abzählbar, daher existiert eine eineindeutige
> Abbildung [mm]G:X\to\IN, x\mapsto{}G(x)[/mm] mit D(G)=X, [mm]B(G)=\IN.[/mm]
> Wegen [mm]Y\subsetq{}X[/mm] existiert ferner eine Abbildung
> [mm]F:Y\to\IN, y\mapsto{}G(y).[/mm] Nun wird die Eineindeutigkeit
> von F nachgewiesen. Seien y, [mm]y'\in{}Y[/mm] beliebig und
> F(y)=F(y'). Dann gilt F(y)=G(y)=G(y')=F(y'). Somit ist F
> eineindeutig.
> Es ist ferner [mm]B(F)\subseteq\IN.[/mm] Es ist Y gleichmächtig zu
> B(F), ist also B(F) gleichmächtig zu [mm]\IN,[/mm] so ist Y
> gleichmächtig zu [mm]\IN.[/mm] Es bleibt daher die
> Gleichmächtigkeit von B(F) zu [mm]\IN[/mm] nachzuweisen.
> Es wird dazu eine Folge [mm]\{n_k\}[/mm] rekursiv definiert durch
> [mm]n_1=min(B(F)), n_{k+1}=min(B(F)\setminus\{n_i,i\le{k}\})[/mm]
Bis hierher alles richtig!
>
> Dann wird eine Abbildung [mm]K:B(F)\to\IN, n_k\mapsto{}k[/mm]
> konstruiert. Auch hier ist nachzuweisen, dass [mm]B(K)=\IN.[/mm]
> Dies ist trivial, denn [mm]\{n_k\}:\IN\to{}B(F)[/mm] stellt eine
> Abbildung mit [mm]k\mapsto{n_k}[/mm] dar. Es ist also
> [mm]\{n_k\}\circ{}K=id_\IN.[/mm] Existierte ein
> [mm]x\in\IN\setminus{}B(K),[/mm] so wäre [mm]id_\IN(x)\not=x.[/mm]
Dies ist auch alles richtig, aber hilft uns nicht weiter.
Diese Abbildung $K$ brauchen wir gar nicht! Wir wissen, daß [mm] $\{n_k\}$ [/mm] eineindeutig ist.
Ich nenne die Abbildung [mm] $\{n_k\}$ [/mm] jetzt mal $J$. Es ist also
[mm] $J:\IN\to [/mm] B(F), [mm] k\mapsto n_k\;.$
[/mm]
> Außerdem ist zu zu zeigen, daß es zu jedem [mm]m[/mm] in [mm]B(F)[/mm] ein
> [mm]k[/mm] in [mm]\IN[/mm] gibt mit [mm]n_k=m [/mm]. Angenommen, es gäbe ein [mm]m[/mm] in [mm]BF [/mm],
> das von jedem [mm]n_k[/mm] verschieden ist. Dann ist nach
> Konstruktion der Folge [mm]m[/mm] größer als alle [mm]n_k [/mm]. Aber die
> Folge [mm]n_k[/mm] ist unbeschränkt. Daher ist dies nicht
> möglich.
So, und jetzt sind wir fertig! $J$ ist eineindeutig und $B(J)=B(F)$. Damit ist [mm] $\IN$, [/mm] die Definitionsmenge von $J$, gleichmächtig zu $B(F)$.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 11.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Dann kann ich ja jetzt endlich wieder einigermaßen ruhig schlafen
Vielen Dank für die Hilfe
|
|
|
|
![[]](http://www.rs-lichte.de/Assets/images/Robert.jpg){kind=small}
KLICK