Abzählbarkeit, Häufungspunkte < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mi 17.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
| Aufgabe | (a) Es sei A eine überabzählbare Menge und B eine abzählbare Untermenge.
Zeigen Sie, dass A [mm] \backslash [/mm] B überabzählbar ist.
Hinweis: Machen Sie einen Widerspruchsbeweis.
(b) Es sei A eine abzählbare Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die
Menge der Häufungspunkte von [mm] \IR\backslash [/mm] A ganz [mm] \IR [/mm] ist |
Könnte hier Hilfe gebrauchen:
zu a)
Angenommen: A [mm] \backslash [/mm] B wäre abzählbar dann existiert eine surjektive Abbildung f: [mm] \IN \to A\backslash [/mm] B.
Also ist A [mm] \backslash [/mm] B={f(1),f(2),...}
f(n) [mm] \in A\backslash [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] f(n) [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] f(n) [mm] \not\in [/mm] B
f bildet also nur auf A ab. A ist aber überabzählbar, es existiert also keine surjektive Abbildung die auf A abbildet.
Das wäre mein Ansatz zur a)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 17.11.2010 | | Autor: | abakus |
> (a) Es sei A eine überabzählbare Menge und B eine
> abzählbare Untermenge.
> Zeigen Sie, dass A [mm]\backslash[/mm] B überabzählbar ist.
> Hinweis: Machen Sie einen Widerspruchsbeweis.
Hallo,
es ist A= (A [mm]\backslash[/mm] B) [mm] \cap [/mm] B.
wäre A [mm]\backslash[/mm] B abzählbar, so müsste A als Vereinigung zweier abzählbarer Mengen abzählbar sein.
Gruß Abakus
>
> (b) Es sei A eine abzählbare Teilmenge von [mm]\IR.[/mm] Zeigen
> Sie, dass die
> Menge der Häufungspunkte von [mm]\IR\backslash[/mm] A ganz [mm]\IR[/mm]
> ist
> Könnte hier Hilfe gebrauchen:
> zu a)
> Angenommen: A [mm]\backslash[/mm] B wäre abzählbar dann existiert
> eine surjektive Abbildung f: [mm]\IN \to A\backslash[/mm] B.
> Also ist A [mm]\backslash[/mm] B={f(1),f(2),...}
>
> f(n) [mm]\in A\backslash[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] f(n) [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] f(n)
> [mm]\not\in[/mm] B
> f bildet also nur auf A ab. A ist aber überabzählbar, es
> existiert also keine surjektive Abbildung die auf A
> abbildet.
>
> Das wäre mein Ansatz zur a)
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