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Forum "Uni-Stochastik" - Abzählbarkeit Indexmenge
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Abzählbarkeit Indexmenge: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mo 14.05.2012
Autor: JigoroKano

Hey Leute,

ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{F}, \IP). [/mm] Hier sei I eine Indexmenge und [mm] (A_{n})_{n\in I} \subset \mathcal{F} [/mm] Ereignisse mit [mm] A_{i}\cap A_{j}= \emptyset [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] und [mm] \IP(A_{n})>0 [/mm] für alle [mm] n\inI. [/mm]

Meine Frage: warum ist I hier höchstens abzählbar? Der Prof hatte das in Vorlesung angeschrieben, aber nicht gezeigt warum das gilt und ich komme da einfach nicht hinter. Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen :-)


Meine Idee war: Da die [mm] \summe \IP(A_{n})=1, [/mm] muss I abzählbar sein. Aber keine Ahnung ob das richitg ist, und wenn ja wie man das zeigt....

        
Bezug
Abzählbarkeit Indexmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Mo 14.05.2012
Autor: fred97


> Hey Leute,
>  
> ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{F}, \IP).[/mm]
> Hier sei I eine Indexmenge und [mm](A_{n})_{n\in I} \subset \mathcal{F}[/mm]
> Ereignisse mit [mm]A_{i}\cap A_{j}= \emptyset[/mm] für [mm]i\not=j[/mm] und
> [mm]\IP(A_{n})>0[/mm] für alle [mm]n\inI.[/mm]
>
> Meine Frage: warum ist I hier höchstens abzählbar?

Wenn Du das aus einem größeren Zusammenhang herausreißt, kann Dir die Frage niemand beantworten.

Sind noch weitere Eigenschaften von  [mm] (A_{n})_{n\in I} [/mm] bekannt ?

FRED

> Der
> Prof hatte das in Vorlesung angeschrieben, aber nicht
> gezeigt warum das gilt und ich komme da einfach nicht
> hinter. Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen
> :-)
>  
> Meine Idee war: Da die [mm]\summe \IP(A_{n})=1,[/mm] muss I
> abzählbar sein. Aber keine Ahnung ob das richitg ist, und
> wenn ja wie man das zeigt....


Bezug
                
Bezug
Abzählbarkeit Indexmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 Mo 14.05.2012
Autor: JigoroKano

Hallo,

leider haben wir keine weiteren Informationen....

Bezug
        
Bezug
Abzählbarkeit Indexmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:49 Di 15.05.2012
Autor: tobit09

Hallo JigoroKano,


> Meine Idee war: Da die [mm]\summe \IP(A_{n})=1,[/mm]

Du meintest wohl [mm] $\le$ [/mm] statt $=$. Ich wäre etwas vorsichtig mit der Summenschreibweise, solange nicht klar ist, dass $I$ abzählbar ist.


> Meine Frage: warum ist I hier höchstens abzählbar?

Wegen [mm] $P(A_i)>0$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$ gilt:

     [mm] $I=\bigcup_{m\in\IN_{>0}}I_m$ [/mm]

mit

     [mm] $I_m:=\{i\in I\;|\;P(A_i)\ge\bruch1m\}$. [/mm]

Daher genügt es zu zeigen, dass die Mengen [mm] $I_m$ [/mm] endlich (und somit höchstens abzählbar sind).


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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