Abzählbarkeit von R-Zahlen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 So 13.01.2013 | | Autor: | Unvolt |
| Aufgabe | | Zeige das die reelen Zahlen überabzählbar sind. |
Hallo alle zusammen,
ich sitze gerade an dem Thema der Abzählbarkeit reeler Zahlen und an dem Cantorschen Verfahren bzw. Beweis das die reelen Zahlen nicht abzählbar seien, sondern überabzählbar.
Cantors Beweis sagt ja aus, dass es immer eine Zahl zwischen 0 und 1 gibt, die nicht Bestandteil einer beliebigen Liste an Zahlen zwischen 0 und 1 ist.
Weil ich nicht ganz nachvollziehen kann warum die reelen Zahlen überabzählbar sein sollen lautet meine Frage:
Cantor muss in seinem Beweis doch sicher von einer endlichen Liste ausgehen. Eine Liste mit Zahlen muss doch aber keineswegs endlich sein???
Vergleicht man beispielsweise mit den rationalen Zahlen gibt es doch auch hier immer eine Zahl in einer endlichen Liste, die nicht in dieser Liste enthalten ist.
Angenommen wir haben eine unendliche Liste von Zahlen zwischen 0 und 1.(Was bei den reelen Zahlen durchaus Tatsache ist) und man wendet das Conatorsche Verfahren an, so erhält man theorethisch eine Zahl, die sich in der n-ten Nachkommastelle der n-ten Zahl von allen Zahlen dieser Liste unterscheidet. Weil diese Liste aber nicht endlich ist, bekommen wir auch nie eine Zahl die sich in mindestens einer Stelle von allen anderen Zahlen unterscheidet.
Kann mir jemand meinen Knackdenkfehler nennen (falls es denn einen gibt :P)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige das die reelen Zahlen überabzählbar sind.
es tut echt weh, das zu lesen: Die Dinger heißen reelle Zahlen,
mit [mm] Doppel-$\ell$ [/mm] geschrieben! Das schreibst Du hier durchweg falsch -
bitte achte in Zukunft darauf (ebenso, wie man drauf achten soll, dass
man Widerspruch NICHT (!!!) mit ie schreibt!)
> Hallo alle zusammen,
>
> ich sitze gerade an dem Thema der Abzählbarkeit reeler
> Zahlen und an dem Cantorschen Verfahren bzw. Beweis das die
> reelen Zahlen nicht abzählbar seien, sondern
> überabzählbar.
>
> Cantors Beweis sagt ja aus, dass es immer eine Zahl
> zwischen 0 und 1 gibt, die nicht Bestandteil einer
> beliebigen Liste an Zahlen zwischen 0 und 1 ist.
>
> Weil ich nicht ganz nachvollziehen kann warum die reelen
> Zahlen überabzählbar sein sollen lautet meine Frage:
>
> Cantor muss in seinem Beweis doch sicher von einer
> endlichen Liste ausgehen. Eine Liste mit Zahlen muss doch
> aber keineswegs endlich sein???
> Vergleicht man beispielsweise mit den rationalen Zahlen
> gibt es doch auch hier immer eine Zahl in einer endlichen
> Liste, die nicht in dieser Liste enthalten ist.
>
> Angenommen wir haben eine unendliche Liste von Zahlen
> zwischen 0 und 1.(Was bei den reelen Zahlen durchaus
> Tatsache ist) und man wendet das Conatorsche Verfahren an,
> so erhält man theorethisch eine Zahl, die sich in der
> n-ten Nachkommastelle der n-ten Zahl von allen Zahlen
> dieser Liste unterscheidet. Weil diese Liste aber nicht
> endlich ist, bekommen wir auch nie eine Zahl die sich in
> mindestens einer Stelle von allen anderen Zahlen
> unterscheidet.
>
> Kann mir jemand meinen Knackdenkfehler nennen (falls es
> denn einen gibt :P)?
Bei Cantor geht man weder davon aus, dass es eine endliche Liste gibt,
noch, dass man endlich viele Listen hat. Man geht davon aus, dass man
ABZHÄHLBAR viele Listen hat, wobei die "Listeninhalte" auch ABZÄHLBAR
sind. Abzählbar bedeutet dabei aber "abzählbar endlich ODER abzählbar
unendlich".
So nebenbei:
![[]](/images/popup.gif) das Video hier (klick!) kannst Du Dir ja
mal angucken - ansonsten such' (mit google) nach dem
"zweiten Cantorschen Diagonalverfahren", "zweites Cantorsches
Diagonalargument" oder schau' auch hier (klick!) mal rein!
Gruß,
Marcel
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