Addition Betrag-Winkel-Darst. < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Mi 30.03.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Addiere die komplexen Zahlen in der Betrag-Winkel-Darstellung.
[mm] z_1 [/mm] = [mm] 3_{60°} [/mm] ----- [mm] z_2 [/mm] = [mm] 2_{170°} [/mm] |
Moin, moin,
[mm] z_1 [/mm] = [mm] 3_{60°} [/mm] ----- [mm] z_2 [/mm] = [mm] 2_{170°} [/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] r*(cos(\alpha) +i*sin(\alpha)) [/mm] ----- [mm] z_2 [/mm] = [mm] s*(cos(\beta) [/mm] + [mm] i*sin(\beta))
[/mm]
[mm] z_3 [/mm] = [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm]
[mm] z_3 [/mm] = [mm] t*(cos(\gamma) [/mm] + [mm] i*sin(\gamma))
[/mm]
Hier würde ich die Winkel addieren und durch zwei teilen... also
[mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\alpha + \beta}{2}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{60° + 170°}{2} [/mm] = 135°
und dann die Länge von [mm] z_3 [/mm] berechnen...
t = [mm] \bruch{r*cos(\alpha) + s*cos(\beta)}{cos(\gamma)}
[/mm]
t = [mm] \bruch{1,5 + (-1,97)}{-0,707} [/mm] = 0,664
[mm] z_3 [/mm] = [mm] 0,664_{135°}
[/mm]
Stimmt das so?
Ist die Formel korrekt?
Würde man auf diese Weise also alle komplexen Zahlen addieren können?
Was würde passieren, wenn [mm] cos(\gamma) [/mm] = 0 ist? Dann müsste ich ja durch null teilen, also wäre da die Summe dieser beiden komplexen Zahlen nicht definiert?
Danke & Gruß!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo hase-hh,
> Addiere die komplexen Zahlen in der
> Betrag-Winkel-Darstellung.
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]3_{60°}[/mm] ----- [mm]z_2[/mm] = [mm]2_{170°}[/mm]
> Moin, moin,
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]3_{60°}[/mm] ----- [mm]z_2[/mm] = [mm]2_{170°}[/mm]
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]r*(cos(\alpha) +i*sin(\alpha))[/mm] ----- [mm]z_2[/mm] =
> [mm]s*(cos(\beta)[/mm] + [mm]i*sin(\beta))[/mm]
>
> [mm]z_3[/mm] = [mm]z_1[/mm] + [mm]z_2[/mm]
>
> [mm]z_3[/mm] = [mm]t*(cos(\gamma)[/mm] + [mm]i*sin(\gamma))[/mm]
>
> Hier würde ich die Winkel addieren und durch zwei
> teilen... also
>
> [mm]\gamma[/mm] = [mm]\bruch{\alpha + \beta}{2}[/mm]
>
> [mm]\gamma[/mm] = [mm]\bruch{60° + 170°}{2}[/mm] = 135°
So einfach geht das leider nicht!
> und dann die Länge von [mm]z_3[/mm] berechnen...
>
> t = [mm]\bruch{r*cos(\alpha) + s*cos(\beta)}{cos(\gamma)}[/mm]
>
> t = [mm]\bruch{1,5 + (-1,97)}{-0,707}[/mm] = 0,664
>
> [mm]z_3[/mm] = [mm]0,664_{135°}[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Ist die Formel korrekt?
Nein.
> Würde man auf diese Weise also alle komplexen Zahlen
> addieren können?
> Was würde passieren, wenn [mm]cos(\gamma)[/mm] = 0 ist? Dann
> müsste ich ja durch null teilen, also wäre da die Summe
> dieser beiden komplexen Zahlen nicht definiert?
Schön, dass du dir darüber Gedanken machst! Daran siehst du, dass ein Fehler in deinen Überlegungen steckt.
> Danke & Gruß!!
Die Polarform ist zur Addition komplexer Zahlen schlecht geeignet. Bringe [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] in die Form [mm]a+ib[/mm] und addiere. Danach kannst wieder in die Polarform wechseln (wenn es die Aufgabe verlangt, aber es ist nicht unbedingt nötig). Du wirst sehen, dass dein Ergebnis falsch ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mi 30.03.2011 | | Autor: | hase-hh |
Moin Fulla,
vielen Dank für deine Antwort!
Mir ist schon klar, dass man komplexe Zahlen über die Summendarstellung leicht addieren kann. Aber wie geht das in der Betrag-Winkel-Darstellung?
Geht das dann nur für bestimmte Zahlen?
Oder gibt es eine Formel bzw. eine Gesetzmäßigkeit, die - bis auf Ausnahmen - funktioniert?
Danke & Gruß
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Hallo hase-hh!
Komplexe Zahlen können nur in kartesischer Form addiert/subtrahiert werden (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier).
Gruß vom
Roadrunner
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