Addition auf rationalen Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 06.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \IQ [/mm] die Menge der rationalen Zahlen. Definieren sie eine Addition auf [mm] \IQ, [/mm] indem sie eine Vorschrift angeben, wie man Repräsentanten zweier Äquivalenzklassen addiert. Zeigen Sie Wohldefiniertheit, d.h. zeigen Sie, dass ihre Vorschrift unabhängig von den gewählten Repräsentanten der zwei Äquivalenzklassen ist. |
Definition
r,s [mm] \in \IQ [/mm] mit r(a,b) und (c,d)
Die Addition r + s ist definiert durch
r+s = (ad + bc, bd)
Beweis (Wohldefiniertheit)
Betrachte: q=(ad+bc, bd)
Seien (a', b') und (c',d') weitere Vertreter q'=(a'd'+b'c', b'd')
Zu zeigen : q~q'
Wissen: a' * b = a * b'
c * d' = c' *d
Also auch : a' * d = a * d'
b' * c = b * c'
b * d' = b' * d
Jetzt komme ich nicht weiter. In der Vorlesung wurde bezüglich der Multiplikation gezeigt das:
acb'd'=a'c'bd ist.
Muss ich hier das selbe zeigen ?
Oder sowas ad+b'c'=a'd'+bc
und bd'=b'd ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 07.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Hab mir das ganze jetzt noch mal an einem Beispiel versucht klar zu machen. Also ich muss zeigen (a * d + c * b) * b'd' = (a' * d' + c' *b') * bd.
Allerdings weiss ich jetzt nicht weiter wie.
Mein Ansatz wäre vielleicht dieser :
(a * d + c * b) * b'd' = (a' * d' + c' *b') * bd
[mm] \gdw [/mm] adb'd' + cbb'd' = a'd'bd + c'b'bd
und dann zeigen das: adb'd' = a'd'bd
und cbb'd'=c'b'bd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Mi 07.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> und dann zeigen das: adb'd' = a'd'bd
> und cbb'd'=c'b'bd
Setzt mal dein "Wissen" aus dem anderen Post ein, dann steht es shon genau da. Bedenke Kommutativität ([m]f*g=g*f[/m])
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Mi 07.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Ahh, also :
adb'd' = a'd'bd
Aus ad'=a'd und b'd = bd' [mm] \Rightarrow [/mm] adb'd' = a'd'bd
Für cbb'd'=c'b'bd dann analog
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 07.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Also auch : a' * d = a * d'
b' * c = b * c'
b * d' = b' * d
Mir fällt grad auf das das hier überhaupt nicht stimmt !
Aus der Vorlesung weiss ich nur
das
a * b'=a' * b
c * d' = c' * d
[mm] \Rightarrow [/mm] acb'd' = a'c'bd
Jetzt steh ich wieder am Anfang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 07.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> Mir fällt grad auf das das hier überhaupt nicht stimmt !
Ja, aber das brauchst du gar nicht.
> Aus der Vorlesung weiss ich nur
> das
>
> a * b'=a' * b
> c * d' = c' * d
Das reicht.
> Jetzt steh ich wieder am Anfang
Nein, warum denn? Mach das mal ausführlicher - du musst die beiden GLeichungen jeweils einmal benutzen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mi 07.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Ja am Ende war es dann ganz einfach :)
Hab es jetzt so gelöst:
(ad+bc)b'd' = (a'd'+b'c')bd
[mm] \gdw [/mm] adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd
dd' = d'd [mm] \wedge [/mm] ab' = a'b
[mm] \Rightarrow [/mm] adb'd' = a'd'bd (*)
bb' = b'b [mm] \wedge [/mm] cd' = c'd
[mm] \Rightarrow [/mm] bcb'd'=b'c'bd (**)
(*)&(**) [mm] \Rightarrow [/mm] adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd
Nochmal danke :)
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