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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 So 17.05.2009 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Ist A eine nilpotente Matrix mit Minimalpolynom x^(k) so nennen wir k den Nilpotenzindex von A. Sei K ein Körper sowie [mm] A,B\in [/mm] Mat(n,n;K) nilpotente Matrizen mit Nilpotenzindesx k bzw. l.
a) Zeigen sie falls AB=BA so ist A+b wieder eine nilpotente Matrix. Geben sie zusätzlich eine obere Schranke (in Abhängigkeit von k und l) für den NIlpotenzindex von A+B an. Kann der Nilpotenzindex von A+B echt kleiner als min(k,l) sein? Kann auf die Bedingung AB=BA verzichtet werden?
(b) Zeigen Sie: die Matrix E+A ist invertierbar |
Hallo ich weiß nicht so recht welche Art von Beweis hier verlangt wird.
Eigentlich kann man sich die Aussage aus Aufgabe a ja durch die Summenformel klar machen, schließlich kann man das n ja so groß wählen, dass immer eine der Matrizen 0 ist, aber wie finde einen formalen Beweis dafür?
Und auch bei b weiß ich nicht so recht wie ich drangehn soll.
Für Tipps wär ich sehr dankbar
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man könnte das z.b. durch induktion zeigen: für den nilpotenzgrad 1
.....bis nilpot.grad n
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
zu a)
Da $AB = BA$ folgt
[mm] $(A+B)^m [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}A^k*B^{m-k}$
[/mm]
zu b) Sei x [mm] \in [/mm] Kern(E+A), also Ax = -x. Dann ist $(-1)^kx = A^kx = 0$, also x = 0.
FRED
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