Addition von zwei Vektorräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Di 07.06.2005 | | Autor: | mariposa |
Hi,
zu beweisen sind verschiedene Gleichungen zum orthogonalen Komplement, unter anderem [mm] (U_{1}+U_{2})^{\perp}= U_{1}^{\perp}\cap U_{2}^{\perp}.
[/mm]
Aber ich habe keine Ahnung, wie man zwei Vektorräume addiert. Ich wusste auch bisher nicht, dass so etwas überhaupt geht.
Vielen Dank
Maike
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Maike!
Es gilt:
[mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] \{u=u_1+u_2\, : \, u_1 \in U_1,\, u_2 \in U_2\}$.
[/mm]
Sei jetzt $v [mm] \in (U_1 [/mm] + [mm] U_2)^{\perp}$ [/mm] beliebig gewählt. dann gilt
[mm] $\langle [/mm] v, [mm] u_1+u_2 \rangle [/mm] =0$ für alle [mm] $u_1 \in U_1, u_2 \in U_2$.
[/mm]
Hast du eine Idee, wie man daraus auf $v [mm] \in U_1^{\perp}$ [/mm] und $v [mm] \in U_2^{\perp}$, [/mm] also auf $v [mm] \in U_1^{\perp} \cap U_2^{\perp}$, [/mm] schließen könnte?
Die Umkehrung ist ja klar: Ist $ [mm] \in U_1^{\perp} \cap U_2^{\perp}$, [/mm] so gilt
[mm] $\langle v,u_1 \rangle [/mm] =0$ für alle [mm] $u_1 \in U_1$ [/mm]
und
[mm] $\langle v,u_2 \rangle [/mm] =0$ für alle [mm] $u_2 \in U_1$.
[/mm]
Dann gilt für beliebiges [mm] $u=u_1+u_2 \in U_1 [/mm] + [mm] U_2$:
[/mm]
[mm] $\langle [/mm] v,u [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle v,u_1+u_2 \rangle= \langle v,u_1 \rangle [/mm] + [mm] \langle v,u_2 \rangle [/mm] = 0+0=0$,
also: $v [mm] \in (U_1+U_2)^{\perp}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
