Additionssätze für Wahrs. < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey.
Wir befassen uns derzeit mit Stochastik im Unterricht. Wir befinden uns noch ganz am Anfang bei den Additionssätzen für Wahrscheinlichkeiten.
Aber irgendwie hat das in meinen Augen nicht viel mit Mathe zu tun, ich war eigentlich nie schlecht in Mathe, nur versteh ich im Augenblick nur Bahnhof.
Aufgabenbeispiel:
"Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis E:="Entweder A oder B" durch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A, B und A n B aus."
Wie würdet ihr das lösen? Unser Lehrer löste die Aufgaben über mehrere Zeilen mit Formulierungen die ich nicht verstehe.
Noch eine zusätzliche Frage, was ist der Unterschied zwischen "Entweder A oder B" und "A oder B"?
Hat jemand zufällig noch die ein oder andere Seite auf welcher das angesprochene Kapital gut erklärt wird?
Danke für Hilfe.
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Hallo,
Edit: Nicht richtig gelesen, falsche Antwort.
lg
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Bei uns im Schulheft erhalten wir das Ergebnis
(P(A n B') u (B n A')) = P(A) + P(B) - 2 P(AnB)
(A' bzw B' = Gegenereignis zu A bzw B)
Ist das jetzt das gleiche wie dein Ergebnis?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mi 24.03.2010 | | Autor: | blinktpts |
Kann mir keiner Helfen?
Ich blick durch das ganze Schema einfach nicht durch.. noch dazu schreiben wir morgen eine Ex..
Bitte helft mir :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blinktpts!
Nun habe mal etwas Geduld! Nach weniger als 1 Stunde bereits zu drängeln, finde ich schon etwas dreist. Zumal doch bereits an einer Antwort geschrieben wird.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mi 24.03.2010 | | Autor: | blinktpts |
Tut mir leid, wollte hier keinen hetzen.
:)
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Hallo,
> Bei uns im Schulheft erhalten wir das Ergebnis
> (P(A n B') u (B n A')) = P(A) + P(B) - 2 P(AnB)
>
> (A' bzw B' = Gegenereignis zu A bzw B)
>
> Ist das jetzt das gleiche wie dein Ergebnis?
>
Ich habe nicht richtig gelesen.
Vergiss was ich oben schrieb (zumindest halb).
Also nochmal von vorne:
Du suchst P(A [mm] \cap B')\cup P(A'\cap [/mm] B):
[mm] P(A\cup [/mm] B)=P(A' [mm] \cap [/mm] B)+P(A [mm] \cap [/mm] B)+P(A [mm] \cap [/mm] B')
P(A' [mm] \cap [/mm] B)+P(A [mm] \cap B')=P(A\cup [/mm] B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)
Jetzt wendest du an, was ich vorhin schrieb, also:
P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)
substituiere das und du erhältst dein ergebnis.
Der Punkt ist, dass wenn du dir die Kreise aufgemalt hast, dann siehst du, dass alle Elemente in "A oder B" sich zusammensetzen aus allen Elementen die in "A und nicht B" , "A und B" sowie "B und nicht A" sind. Dann kannst du weiterhin zeigen, dass eben (wie ich vorhin schrieb) "A oder B" bedeutet, dass du die Elemente in "A und B" eben nicht doppelt zählen willst und daher
P(A \ cup B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)
Lg
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ah verstehe.
P(A $ [mm] \cap B')\cup P(A'\cap [/mm] $ B) heißt dann ich suche entweder P(A $ [mm] \cap [/mm] B') ODER [mm] P(A'\cap [/mm] $ B) , oder?
Allmählich versteh ichs.
Aber wieso erhält mein Lehrer
P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B)=P(A)+P(B)-2P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) wenn P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B)=P(A)+P(B)-P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) korrekt ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
EDIT: Mehr Klarheit.
> ah verstehe.
> P(A [mm]\cap B')\cup P(A'\cap[/mm] B) heißt dann ich suche
Es hätte $P(A [mm] \cap [/mm] B')+ [mm] P(A'\cap [/mm] B)$ heißen sollen, [mm] $P(A\cap [/mm] B')$ und [mm] $P(A'\cap [/mm] B)$ sind beides Zahlen (z.B. [mm] $P(A\cap B')=\frac12$) [/mm] *nicht* Mengen. Also kannst Du sie auch nicht vereinigen.
$P((A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A'))=P(A [mm] \cap [/mm] B')+ [mm] P(A'\cap [/mm] B),$
weil $(A [mm] \cap [/mm] B')$ und $(B [mm] \cap [/mm] A')$ disjunkt sind (ist x in der ersten Menge, muß es in A sein, es soll ja in A *und* nicht-B sein. Aber dann kann es nicht in der zweiten Menge sein, weil es dazu in nicht-A sein müßte)
Sind C und D disjunkt, dann gilt [mm] $P(C\cup [/mm] D)=P(C)+P(D)$. Das hattet Ihr sicher.
Ich sehe aber nicht, warum Du $P((A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A'))=P(A [mm] \cap [/mm] B')+ [mm] P(A'\cap [/mm] B)$ überhaupt verwenden solltest:
Teilen wir A vereinigt B mal auf:
[mm] $(A\cup [/mm] B) = [mm] \underbrace{(A \cap B') \cup (B \cap A')}_{=C} \cup \underbrace{(A\cap B)}_{=D}=C\cup [/mm] D$
(A vereinigt B ist alles, was nur in A liegt, nur in B liegt, oder in beidem liegt. Die drei rechts sind disjunkt)
Jetzt mit [mm] $P(C\cup [/mm] D)=P(C)+P(D)$:
[mm] $\underbrace{P(A\cup B)}_{P(C\cup D)} [/mm] = [mm] \underbrace{P((A \cap B') \cup (B \cap A'))}_{=P(C)} [/mm] + [mm] \underbrace{P(A\cap B)}_{P(D)}$
[/mm]
Die Gleichung kann man Umformen (wie gesagt, P(irgendwas) sind alles nur Zahlen):
$P((A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A')) = [mm] P(A\cup [/mm] B) - [mm] P(A\cap [/mm] B)$
[mm] $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$, also
$P((A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A')) = [mm] P(A)+P(B)-2P(A\cap [/mm] B)$
> Aber wieso erhält mein Lehrer
> P(A [mm]\cup[/mm] B)=P(A)+P(B)-2P(A [mm]\cap[/mm] B) wenn P(A [mm]\cup[/mm]
> B)=P(A)+P(B)-P(A [mm]\cap[/mm] B) korrekt ist?
Tut er ja nicht.
Oben hast Du selbst noch (richtig) geschrieben, daß er sagt
$P((A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap A'))=P(A)+P(B)-2P(A\cap [/mm] B)$
Im Prinzip hab ich's oben jetzt schonmal gemacht. Wahrscheinlich Eurer Version näher, aber hier meine urspr. nochmal. Viele Wege führen nach Rom:
1. $(A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A')= [mm] (A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B)$
mal Dir ein Venn Diagramm, beides ist "entweder A oder B", siehe meine Antwort unten. Ich kann's Dir auch formal hinschreiben, wenn Du willst. =)
2. [mm] P((A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B))= [mm] P(A\cup [/mm] B) - [mm] P(A\cap [/mm] B)$
denn
[mm] $C=((A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B))$,
[mm] $D=(A\cap [/mm] B)$,
dann sind C und D disjunkt, also kann man die beiden Wahrscheinlichkeiten einfach addieren:
[mm] $P(C)+P(D)=P(C\cup [/mm] D)$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] P(C) = [mm] P(C\cup [/mm] D) - P(D)$
und das haben wir hier, einfach C und D einsetzen.
3. $P(A [mm] \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$, das war oben.
4. Jetzt führen wir alle 3 zusammen:
Siehe 1.:
$P((A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A')) = [mm] P((A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B))$
Siehe 2.:
[mm] $P((A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B))= [mm] P(A\cup [/mm] B) - [mm] P(A\cap [/mm] B)$
Siehe 3.:
[mm] $P(A\cup [/mm] B) - [mm] P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B) - [mm] P(A\cap B)=P(A)+P(B)-2P(A\cap [/mm] B)$
Also:
$P((A [mm] \cap [/mm] B') [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap A'))=P(A)+P(B)-2P(A\cap [/mm] B)$
Verwirrt? =)
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 24.03.2010 | | Autor: | blinktpts |
Ja total verwirrt :D
Ich werd mir dass jetzt in Ruhe nochmal durchlesen.
Danke für die ausführlichen Antworten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Aufgabenbeispiel:
> "Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis
> E:="Entweder A oder B" durch die Wahrscheinlichkeiten der
> Ereignisse A, B und A n B aus."
>
> Wie würdet ihr das lösen? Unser Lehrer löste die
> Aufgaben über mehrere Zeilen mit Formulierungen die ich
> nicht verstehe.
>
> Noch eine zusätzliche Frage, was ist der Unterschied
> zwischen "Entweder A oder B" und "A oder B"?
Nochmal in Worten:
x ist in "A oder B", wenn es in A, B oder "A und B" ist.
x ist "entweder in A oder B", wenn es in "A aber nicht in B", oder in "B aber nicht in A" ist.
Also ist "Entweder A oder B" das gleiche wie "A oder B" ohne "A und B".
Wie Du wahrscheinlich weißt, gilt
[mm] $P(A\cup [/mm] B)= [mm] P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$
"Entweder A oder B" ist davon halt nochmal die Wkeit von "A und B" abgezogen.
ciao
Stefan
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