Additionstheorem < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Zeigen Sie die folgenden trigonometrischen Identitäten:
(a) Für z,w [mm] \in \IZ [/mm] ist sin w [mm] \pm [/mm] sin z = 2*cos [mm] \bruch{w \mp z }{2} [/mm] * sin [mm] \bruch{w \pm z }{2}. [/mm] |
Hi,
also ich habe mir jetzt zunächst mal die rechte Seite vorgenommen und mithilfe der Additionstheoreme und sin [mm] \bruch{w \pm z }{2} [/mm] = [mm] \bruch{w}{2} \pm \bruch{z}{2} [/mm] umgeformt zu
2*(sin [mm] \bruch{w}{2}*cos^2\bruch{z}{2}*cos \bruch{w}{2} \mp [/mm] sin [mm] \bruch{z}{2}*cos \bruch{z}{2}*cos^2 \bruch{w}{2} \pm [/mm] sin [mm] \bruch{z}{2}*sin^2 \bruch{w}{2}*cos \bruch{z}{2} \mp [/mm] sin [mm] \bruch{w}{2}*sin^2 \bruch{z}{2}*cos \bruch{w}{2})
[/mm]
Ja und jetzt komme ich nicht mehr weiter, ich hatte zwar die Idee, die Identität [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x =1 zu nutzen, aber wie ich darauf jetzt kommen soll weiß ich nicht.
Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben...
Vielen Dank
Gruß Smex
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Smex!
> Zeigen Sie die folgenden trigonometrischen Identitäten:
>
> (a) Für z,w [mm]\in \IZ[/mm] ist sin w [mm]\pm[/mm] sin z = 2*cos [mm]\bruch{w \mp z }{2}[/mm]
> * sin [mm]\bruch{w \pm z }{2}.[/mm]
> Hi,
>
> also ich habe mir jetzt zunächst mal die rechte Seite
> vorgenommen und mithilfe der Additionstheoreme und sin
> [mm]\bruch{w \pm z }{2}[/mm] = [mm]\bruch{w}{2} \pm \bruch{z}{2}[/mm]
> umgeformt zu
>
> 2*(sin [mm]\bruch{w}{2}*cos^2\bruch{z}{2}*cos \bruch{w}{2} \mp[/mm]
> sin [mm]\bruch{z}{2}*cos \bruch{z}{2}*cos^2 \bruch{w}{2} \pm[/mm]
> sin [mm]\bruch{z}{2}*sin^2 \bruch{w}{2}*cos \bruch{z}{2} \mp[/mm]
> sin [mm]\bruch{w}{2}*sin^2 \bruch{z}{2}*cos \bruch{w}{2})[/mm]
>
> Ja und jetzt komme ich nicht mehr weiter, ich hatte zwar
> die Idee, die Identität [mm]sin^2[/mm] x + [mm]cos^2[/mm] x =1 zu nutzen,
> aber wie ich darauf jetzt kommen soll weiß ich nicht.
> Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben...
Bin mir nicht sicher, aber vllt geht's mit dieser Formel: [mm] sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} [/mm] und [mm] \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
> Zeigen Sie die folgenden trigonometrischen Identitäten:
>
> (a) Für z,w [mm]\in \IZ[/mm] ist sin w [mm]\pm[/mm] sin z = 2*cos [mm]\bruch{w \mp z }{2}[/mm]
> * sin [mm]\bruch{w \pm z }{2}.[/mm]
Hallo,
mir ist das, was Du schreibst, etwas zu unübersichtlich um es zurechtzufrickeln.
Wenn Du bereits die Theoreme für sin(a+b) und sin(a-b) zur Vefügung stehen hast, kannst Du es so machen:
Zu zeigen
sin w +sin z = [mm] 2*cos\bruch{w - z }{2}* sin\bruch{w + z }{2}.
[/mm]
Mit [mm] a:=\bruch{w - z }{2} [/mm] und [mm] b:=\bruch{w + z }{2} [/mm] ist also zu zeigen
sin (b+a) +sin (b-a) = 2*cos(a)* sin(b)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
