Additionstheorem Komplexe Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welches Bild zeigt alle komplexen Lösungen der Gleichung
[mm] z^6=1
[/mm]
Man hat mehre Bilder gegeben und soll zeigen, für welches die Gleichung alle Lösungen zeigt. |
Hallo.
Wir haben an der Uni gelernt, dass [mm] z^n=r^n(cos(n\delta)+i [/mm] sin [mm] (n\delta)) [/mm] ist.
Und ebenso, dass [mm] z^{\bruch{1}{n}}= r^{\bruch{1}{n}}*(cos(\bruch{\delta}{n})+i [/mm] sin [mm] (\bruch{\delta}{n}) [/mm] ist.
Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass man alle z bestimmen soll für die gilt, dass [mm] z^6=1 [/mm] ist.
Habe ich die Aufgabe richtig verstanden?
Mein Lösungsvorschlag bisher:
Es soll gelten [mm] z^6=1.
[/mm]
Das heißt, dass [mm] z^6 [/mm] nur einen Realteil hat und zwar 1 und der Imaginärteil 0 ist.
Das heißt [mm] z^6=r [/mm] (cos 0+ sin 0) wenn ich mich nicht irre, denn cos 0 =1 und sin 0= 0.
[mm] r=|z|=\wurzel{1}=1
[/mm]
Also würde die Gleichung folgendermaßen aussehen:
[mm] z^6= [/mm] 1 * (cos 0 + sin 0)
Wenn meine Vermutung stimmt, soll man rausfinden, für welche z die Gleichung gilt.
Da [mm] z^6=1 [/mm] gegeben ist, muss man die 6te Wurzel aus [mm] z^6 [/mm] ziehen.
Ich würde damit auf eine Lösung kommen, aber scehinbar hat die Gleichung mehrere Lösungen und deshalb weiß ich nicht so richtig weiter.
Ich hoffe ihr könnt mir einen Tip, Anstoß geben oder eine Seite verlinken, die mir zu dem Thema Hilfe geben kann.
Grüße und danke :)
|
|
| |
|
Hallo, setze z=a+bi, löse [mm] (a+bi)^{6} [/mm] über das Pascalsche Dreieck, dann kannst du einen Koeffizientenvergleich machen, um a und b zu bestimmen, Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für die Antwort.
Hab das mit dem pascalschen Dreieck gemacht und komme auf folgendes:
6.Reihe 1 6 15 20 15 6 1
[mm] a^6+6a^5i^1b^1+15a^4i^2b^2+20a^3i^3b^3+15a^2i^4b^4+6ai^5b^5+b^6 [/mm]
Durch Umformung:
[mm] a^6+6a^5ib-15a^4b^2-20ia^3b^3+15a^2b^4+6iab^5-b^6= [/mm] P(x)
Leider haben wir in der Vorlesung und auch in der Schule keinen Koeffizientenvergleich gemacht, weshalb ich aus dem Wikipediaartikel auch nicht allzu schlau werde.
Ich habe ja nur eine Funktion. Diese Funktion ist 6. Grades und weißt eben
Soll ich nun P(x) in verschiedene Polynome aufteilen?
Also [mm] P(x_{1})=a^6 P(x_{2})=6a^5ib P(x_{3})=-15a^4b^2 P(x_{4})=-20ia^3b^3 P(x_{5})=15a^2b^4 P(x_{6})=6iab^5 P(x_{7})=-b^6
[/mm]
[mm] P(x_{1}) [/mm] hat den Koeffiezinten 1 und [mm] P(x_{7}) [/mm] den Koeffiezienten -1.
[mm] P(x_{2}) [/mm] und [mm] P(x_{6}) [/mm] haben den Koeffiezienten 6.
usw.
Aber was sagt mir das und was kann ich daraus schlussfolgern?
Viele Grüße und danke.
|
|
|
| |
|
Hallo Masseltof!
> Hab das mit dem pascalschen Dreieck gemacht und komme auf
> folgendes:
>
> 6.Reihe 1 6 15 20 15 6 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]a^6+6a^5i^1b^1+15a^4i^2b^2+20a^3i^3b^3+15a^2i^4b^4+6ai^5b^5+b^6[/mm]
Ganz am Ende fehlt noch ein $* \ [mm] i^6$ [/mm] .
> Durch Umformung:
>
> [mm]a^6+6a^5ib-15a^4b^2-20ia^3b^3+15a^2b^4+6iab^5-b^6=[/mm] P(x)
Sortiere nun nach Realteil und Imaginärteil: [mm] $\blue{(...)}+i*\red{(...)}$ [/mm] .
Daraus kannst Du dann mit $1 \ = \ 1+0*i$ gleichsetzen und erhältst folgendes Gleichungssystem:
[mm] $$\blue{(...)} [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$\red{(...)} [/mm] \ = \ 0$$
Daraus dann die entsprechenden sechs Lösungen bestimmen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo Masseltof!
Du hast die Formel für die  Moivre-Formel bei Wurzeln von komplexen Zahlen nur unvollständig angegeben.
[mm] $$\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$$
Bei der korrekten Darstellung bzw. Anwendung kommst Du dann auch auf die gewünschten 6 Lösungen.
Dann brauchst Du auch nicht über das Pascal'sche Dreieck und Koeffizientenvergleich gehen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo.
Da schein ich wohl etwas vergessen zu haben.
Nunja folgendes habe ich jetzt raus bekommen:
[mm] z^6=(a+ib)^6=1 |z^6|=1 [/mm]
Kann ich dann einfach annehmen, dass a=1 ist und ib=0
[mm] tan\alpha=\bruch{a}{b} arctan{a}{b}=\alpha [/mm] -> 1Quadrant. [mm] \alpha=0
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{|z|}=\wurzel[6]{r}=r_{1}
[/mm]
denn, r=1
Nenne ich nun die Lösungen w, so habe ich raus
[mm] w_{1}=1
[/mm]
Jedoch haperts bei den anderen:
[mm] \wurzel[n]{z} [/mm] = [mm] \wurzel[6]{1}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{0+1\cdot{}2\pi}{6}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{0+1\cdot{}2\pi}{6}\right)\right]\quad [/mm]
=1.018109007 für [mm] w_{2}
[/mm]
[mm] w_{3}=1.035877924
[/mm]
[mm] w_{4}=1.053300815
[/mm]
usw.
Wo liegt denn mein Fehler?
Ich habe es genauso, wie oben beschrieben in die Formel eingegeben.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Masseltof!
> Da schein ich wohl etwas vergessen zu haben.
> Nunja folgendes habe ich jetzt raus bekommen:
>
> [mm]z^6=(a+ib)^6=1 |z^6|=1[/mm]
Das verstehe ich nicht.
> Kann ich dann einfach annehmen, dass a=1 ist und ib=0
> [mm]tan\alpha=\bruch{a}{b} arctan{a}{b}=\alpha[/mm] -> 1Quadrant.
Wofür soll das gelten? Für die Ausgangszahl [mm] $z^6 [/mm] \ = \ 1$ ?
Für die Lösungen jedenfalls nicht.
> [mm]\alpha=0[/mm]
>
> [mm]\wurzel[6]{|z|}=\wurzel[6]{r}=r_{1}[/mm]
> denn, r=1
>
> Nenne ich nun die Lösungen w, so habe ich raus
>
> [mm]w_{1}=1[/mm]
> Jedoch haperts bei den anderen:
> [mm]\wurzel[n]{z}[/mm] =
> [mm]\wurzel[6]{1}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{0+1\cdot{}2\pi}{6}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{0+1\cdot{}2\pi}{6}\right)\right]\quad[/mm]
> =1.018109007 für [mm]w_{2}[/mm]
> [mm]w_{3}=1.035877924[/mm]
> [mm]w_{4}=1.053300815[/mm]
Das kann aus mehreren Gründen nicht stimmen. Alle Lösungen müssen de Betrag = 1 haben.
Ich befürchte vielmehr, dass Du hier Realteil und Imaginärteil fröhlich addiert hast. Das geht natürlich nicht.
Bedenke, dort steht ein $i*..._$ dazwischen!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort.
Nicht nur, dass ich addiert habe (schon 1 blöder Fehler, nein ich habe noch vergessen, dass der Taschenrechner auf Winkel programmiert ist und wir ja hier das Bogenmaß vorliegen haben.
Kein Wunder, dass die Ergebnisse sehr komisch waren.
Nunja jetzt habe ich ein Sechseck raus, in dem Werte wie [mm] 0.5+0.5\wurzel{3}i [/mm] vorhanden sind.
Viele Grüße und danke
|
|
|
|
