Additionstheorem beweisen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
tan [mm] \alpha [/mm] + tan [mm] \beta [/mm] + tan [mm] \gamma [/mm] = tan [mm] \alpha \cdot{} [/mm] tan [mm] \beta \cdot{} [/mm] tan [mm] \gamma
[/mm]
Warum gilt dies nur für nicht rechtwinklige Dreiecke? |
Hallo Zusammen,
ich bin bisher nur auf die Eigenschaft [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 180° = [mm] \pi [/mm] gekommen. Wie wäre denn ein erster Ansatz, um dies zu zeigen?
Gruß
itse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kennst du die Additionstheoreme für den Sinus bzw Cosinus? Falls ja, würde ich versuchen, [mm] $tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$ [/mm] darzustellen, und dann weiter zu gucken. In der Darstellung steckt auch schon ein Hinweis, warum das nicht für rechtwinklige Dreiecke gilt...
Achso: Falls ihr keine Additionstheoreme für den [mm] $\sin$ [/mm] bzw [mm] $\cos$ [/mm] hattet, würde ich es versuchen, anhand eines Dreiecks plausibel zu machen, warum das so sein könnte, aber ob das zum Ziel führt, weiß ich momentan auch nicht.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
auf diesem Wege habe ich es schon versucht:
[mm] \bruch{sin x}{cos x} [/mm] + [mm] \bruch{sin y}{cos y} [/mm] + [mm] \bruch{sin z}{cos z} [/mm] = [mm] \bruch{sin x cos y + sin y cos x}{cos x cos y} [/mm] + [mm] \bruch{sin z}{cos z} [/mm] = [mm] \bruch{sin(x+y)}{cos x cos y} [/mm] + [mm] \bruch{sin z}{cos z} [/mm] = [mm] \bruch{sin(x+y) cos z + sin z cos x cos y}{cos x cos y cos z}
[/mm]
Jedoch komme ich dann nie auf: [mm] \bruch{sin x}{cos x} \cdot{} \bruch{sin y}{xos y} \cdot{} \bruch{sin z}{cos z}
[/mm]
Forme ich falsch um?
Danke im Voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielleicht hilft es dir noch, wenn du bei deiner Anfangsgleichung [mm] \gamma=180°-\alpha-\beta=180°-(\alpha+\beta) [/mm] schreibst und dann Additionstheoreme a7uf den Tangens anwendest. Dann musst du dich nur noch mit 2 Winkeln rumplagen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
Okay, dann habe ich folgendes:
[mm] \bruch{sin \alpha}{cos \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{sin \beta}{cos \beta} [/mm] + [mm] \bruch{sin(180-(\alpha + \beta))}{cos(180 -(\alpha + \beta))}
[/mm]
wenn ich nun diesen Term:
[mm] \bruch{sin(180-(\alpha + \beta))}{cos(180 -(\alpha + \beta))} [/mm] einzeln betrachte erhalte ich:
[mm] \bruch{sin(180) \cdot{} cos(\alpha + \beta) - cos(180) \cdot{} sin(\alpha + \beta)}{cos(180) \cdot{} sin(\alpha + \beta) - sin(180) \cdot{} cos(\alpha + \beta)} [/mm] = [mm] \bruch{sin(\alpha + \beta)}{-sin(\alpha + \beta)}
[/mm]
dies eingesetzt ergibt:
[mm] \bruch{sin \alpha}{cos \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{sin \beta}{cos \beta} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)} [/mm] = [mm] \bruch{sin \alpha}{cos \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{sin \beta}{cos \beta} [/mm] - 1
Nun habe ich noch den Ausdruck:
tan $ [mm] \alpha [/mm] $ + tan $ [mm] \beta [/mm] $ + tan $ [mm] \gamma [/mm] $ = tan $ [mm] \alpha \cdot{} [/mm] $ tan $ [mm] \beta \cdot{} [/mm] $ tan $ [mm] \gamma [/mm] $
-> tan $ [mm] \alpha [/mm] $ + tan $ [mm] \beta [/mm] $ + tan $ [mm] \gamma [/mm] $ - tan $ [mm] \alpha \cdot{} [/mm] $ tan $ [mm] \beta \cdot{} [/mm] $ tan $ [mm] \gamma [/mm] = 0$
Somit muss dieser Ausdruck:
[mm] \bruch{sin \alpha}{cos \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{sin \beta}{cos \beta} [/mm] = 1 sein, damit am Ende Null herauskommt, desweiteren ist dieser betragsgleich mit dem anderen
wenn ich dies umforme erhalte ich:
[mm] \bruch{sin(\alpha + \beta)}{cos \alpha \cdot{} cos \beta} [/mm] = 1
und dies entspricht wiederum:
[mm] \bruch{sin(\alpha + \beta)}{cos \alpha \cdot{} cos \beta} [/mm] = tan [mm] \alpha [/mm] + tan [mm] \beta
[/mm]
[mm] \bruch{sin(\alpha + \beta)}{cos \alpha \cdot{} cos \beta} [/mm] = tan [mm] \alpha [/mm] + tan [mm] \beta [/mm] = 1
-> [mm] \bruch{sin \alpha}{cos \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{sin \beta}{cos \beta} [/mm] - 1 = 0 und dies ist gleich tan [mm] \alpha \cdot{} [/mm] tan [mm] \beta \cdot{} [/mm] tan [mm] \gamma
[/mm]
Würde dies so stimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
> Okay, dann habe ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{sin \alpha}{cos \alpha}[/mm] + [mm]\bruch{sin \beta}{cos \beta}[/mm]
> + [mm]\bruch{sin(180-(\alpha + \beta))}{cos(180 -(\alpha + \beta))}[/mm]
>
> wenn ich nun diesen Term:
>
> [mm]\bruch{sin(180-(\alpha + \beta))}{cos(180 -(\alpha + \beta))}[/mm]
> einzeln betrachte erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{sin(180) \cdot{} cos(\alpha + \beta) - cos(180) \cdot{} sin(\alpha + \beta)}{cos(180) \cdot{} sin(\alpha + \beta) - sin(180) \cdot{} cos(\alpha + \beta)}[/mm]
> = [mm]\bruch{sin(\alpha + \beta)}{-sin(\alpha + \beta)}[/mm]
Hi,
das ist leider falsch. Das ergibt [mm] $-\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$
[/mm]
Das [mm] $\cos$-Additionstheorem [/mm] ist [mm] $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
[/mm]
Deshalb passt alles weiter auch nicht mehr.
Guck aber mal hier, da ist ein alternativer Weg, wie es auch geht. Das [mm] $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$ [/mm] kann man sicher auch auf ein zweimal angewandtes [mm] $\sin(\alpha+\beta)$ [/mm] zurückführen.
LG
Kroni
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es gibt da ein Additionstheorem, was dir super helfen kann:
Wenn du erstmal deine linke Seite auf den Hauptnenner, der [mm] $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$ [/mm] ist, gebracht hast, dann kannst du, um zu zeigen, dass beide Seiten gleich sind, durch den gemeinsamen Nenner teilen. D.h. es bleibt noch zu zeigen, dass [mm] $\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ [/mm] gilt.
Dafür gibt es jetzt ein nettes Additionstheorem, das folgendermaßen lautet:
[mm] $\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
[/mm]
Jetzt scharf hingucken, das hinschreiben, und die linke Seite umschreiben. Dann steht da schon fast das selbe. Dann noch überlegen, wann es wirklich das selbe ist, und damit auch rausfinden, warum [mm] $\alpha+\beta+\gamma=n\pi$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten muss.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort.
Somit steht zum Schluss: [mm] sin(\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] = 0
und dies gilt nur für die Nullstellen des Sinus und diese sind [mm] \pi-periodisch. [/mm] Und deswegen gilt dieses Additionstheorem:
tan $ [mm] \alpha [/mm] $ + tan $ [mm] \beta [/mm] $ + tan $ [mm] \gamma [/mm] $ = tan $ [mm] \alpha \cdot{} [/mm] $ tan $ [mm] \beta \cdot{} [/mm] $ tan $ [mm] \gamma [/mm] $
nur für $ [mm] \alpha+\beta+\gamma=n\pi [/mm] $ mit $ [mm] n\in\IN [/mm] $.
Wäre dies der vollständige Beweis?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du dem Additionstheorem glauben schenkst, und annimmst, dass das schon bewiesen worden ist, dann kommt man ja zu dem Punkt, wo gilt:
[mm] $\sin(\alpha+\beta+\gamma)+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\overset{!}{=}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
[/mm]
Und damit das gilt, muss man eben die Bedingung an die Summe der drei Winkel stellen. Nimm zB mal drei Winkel, die in der Winkelsumme nicht genau [mm] $\pi$ [/mm] ergeben. Da ist die Behauptung dann im Allgemeinen falsch.
Von daher wäre das dann ein guter Beweis. Alternativ, wenn ihr in der Schule nur die Additionstheoreme für [mm] $\sin(\alpha+\beta)$ [/mm] bzw [mm] $\cos(\alpha+\beta)$ [/mm] "kennt", kannst du aus denen das Theorem für [mm] $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$ [/mm] herleiten.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
Meine letzte Frage:
Wie kann ich aus den beiden bekannten Additionstheoremen [mm] sin(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] und [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta), [/mm] dieses Additionstheorem [mm] sin(\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] herleiten?
Gruß
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn da so etwas steht wie [mm] $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$ [/mm] kann man sich das ja auch umschreiben in [mm] $\sin(\alpha+(\beta+\gamma))$ [/mm] und sich dann denken, dass man [mm] $\beta+\gamma=\delta$ [/mm] schreibt, dass dort also ein effektives [mm] $\sin(\alpha+\delta)$ [/mm] steht. Dann das bekannte Theorem anwenden. Dann steht da hinterher in zwei Ausdrücken ein [mm] $\delta$, [/mm] welches du dann wieder als [mm] $\delta=\beta+\gamma$ [/mm] "ausschreiben" kannst, und darauf dann nochmal ein Additionstheorem loslassen kannst. So ist man dann in der Lage, jede Beliebige Summe, die im [mm] $\sin$ [/mm] oder [mm] $\cos$ [/mm] steht mit Hilfe der Additionstheoreme für zwei Winkel zu erschlagen.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
wenn ich dies so mache, damit ich die Additionstheoreme für zwei Winkel anwenden kann, dann erhalte ich:
$ [mm] \beta+\gamma=\delta [/mm] $
[mm] sin(\alpha [/mm] + [mm] \delta) [/mm] = [mm] sin(\alpha) \cdot{} cos(\delta) [/mm] + [mm] cos(\alpha) \cdot{} sin(\delta) [/mm] ; für [mm] \delta [/mm] = [mm] \beta+\gamma [/mm] einsetzen:
[mm] sin(\alpha) \cdot{} cos(\beta+\gamma) [/mm] + [mm] cos(\alpha) \cdot{} sin(\beta+\gamma) [/mm] =
[mm] sin(\alpha) \cdot{} [cos(\beta) \cdot{} cos(\gamma) [/mm] + [mm] sin(\beta) \cdot{} sin(\gamma)] [/mm] + [mm] cos(\alpha) \cdot{} [sin(\beta) \cdot{} cos(\gamma) [/mm] + [mm] cos(\beta) \cdot{} sin(\gamma)] [/mm] =
[mm] sin(\alpha) \cdot{} cos(\beta) \cdot{} cos(\gamma) [/mm] + [mm] sin(\alpha) \cdot{} sin(\beta) \cdot{} sin(\gamma) [/mm] + [mm] cos(\alpha) \cdot{} sin(\beta) \cdot{} cos(\gamma) [/mm] + [mm] cos(\alpha) \cdot{} cos(\beta) \cdot{} sin(\gamma)
[/mm]
Somit wäre doch
[mm] sin(\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] = [mm] sin(\alpha) \cdot{} cos(\beta) \cdot{} cos(\gamma) [/mm] + [mm] cos(\alpha) \cdot{} sin(\beta) \cdot{} cos(\gamma) [/mm] + [mm] cos(\alpha) \cdot{} cos(\beta) \cdot{} sin(\gamma) [/mm] + [mm] sin(\alpha) \cdot{} sin(\beta) \cdot{} sin(\gamma)
[/mm]
und nicht
$ [mm] \sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma [/mm] - [mm] \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma [/mm] $
Habe ich einen Fehler gemacht? Ansonsten könnte ich dieses Additionstheorem doch nicht anwenden?
Grüße
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
> Hallo,
>
Hi,
>
> [mm]sin(\alpha) \cdot{} cos(\beta+\gamma)[/mm] + [mm]cos(\alpha) \cdot{} sin(\beta+\gamma)[/mm]
> =
>
> [mm]sin(\alpha) \cdot{} [cos(\beta) \cdot{} cos(\gamma)[/mm] +
> [mm]sin(\beta) \cdot{} sin(\gamma)][/mm]
Hier ist dein Fehler. Es gilt [mm] $\cos(\beta+\gamma)=\cos\beta\cos\gamma [/mm] - [mm] \sin\beta\sin\gamma$ [/mm] , da muss ein Minus hin. Wenn du das beachtest, kommst du zum richtigen Additionstheorem, und kannst das minus erklären.
Ansonsten alles richtig.
LG
Kroni
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> Warum gilt dies nur für nicht rechtwinklige Dreiecke?
Was ergibt denn [mm] $\tan [/mm] 90°$ ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Sa 04.04.2009 | | Autor: | itse |
Der Tangens ist bei 90° nicht definiert, da der Cosinus bei 90° Null wird und die Division durch Null nicht definiert ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
genau so ist es.
LG
Kroni
|
|
|
|
