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Additionstheoreme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Mi 30.11.2005
Autor: wenbockts

Die in der Uni habens mit der Additionstheoreme. Diese Aufgabe ist mir mal wieder ein vollkommenes Rätsel. Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp oder Ansatz geben.
Zeigen sie unter Verwendung der komplexen Exponentialfkt. und der Euler'schen Formel die Gültigkeit der Additionstheoreme für sin(3x) und cos(3x)
LG wenbockts

        
Bezug
Additionstheoreme: irgendwie unklar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Mi 30.11.2005
Autor: kunzm

Aufgabe
  

Hallo,

die Additionstheoreme sind ja klar, oder?

[mm] \sin(a\pm b)=\sin(a)\cos(b)\pm \cos(a)\sin(b)[/mm]
[mm]\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)[/mm]
bzw
[mm]\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)[/mm]

Die Eulerformel sagt im Prinzip, dass:

[mm]\exp(\pm ia)=\cos(a)\pm i\sin(a)[/mm]

Allerdings verstehe ich jetzt nicht ganz, wie du ein Additionstheorem auf [mm] \sin(3x) [/mm] anwenden willst, oder ist das anders gemeint?

Gruß, Martin

Bezug
        
Bezug
Additionstheoreme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Do 01.12.2005
Autor: zwerg

Tach wenbockts!

Werd dir das für cos(3x) mal aufschreiben für sin(3x) musste dann selbst tüfteln:

es gilt:

[mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x) [/mm]
[mm] e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x) [/mm]

[mm] e^{i3x}=e^{ix}*e^{ix}*e^{ix}=(cos(x)+i*sin(x))^{3} [/mm]

[mm] \to [/mm]

[mm] e^{i3x}+e^{-i3x}=2*cos(3x) \to [/mm]

[mm] cos(3x)=\bruch{1}{2}(e^{i3x}+e^{-i3x})=\bruch{1}{2}[(cos(x)+i*sin(x))^{3}+(cos(x)-i*sin(x))^{3}] [/mm]

von nun an sei a=cos(x) und b=sin(x)   [mm] \to [/mm]

[mm] cos(3x)=\bruch{1}{2}[(a+ib)^{3}+(a-ib)^{3}] [/mm]

nun unter Beachtung von [mm] i^{2}=(-1) [/mm] und [mm] i^{3}=(-i) [/mm] Potenzen "lösen" (Pascalsches Dreieck)  [mm] \to [/mm]

[mm] cos(3x)=\bruch{1}{2}(2a^{3}-6ab^{2})=[cos(x)]^{3}-3[cos(x)(sin(x))^{2}] [/mm]

mit [mm] sin^{2}(x)=1-cos^{2}(x) [/mm] folgt:

[mm] cos(3x)=cos^{3}(x)-3[cos(x)(1-cos^{2}(x))]=4*cos^{3}(x)-3*cos(x) [/mm]

also [mm] cos(3x)=4*cos^{3}(x)-3*cos(x) [/mm]

hoffe daraus wirst du schlauer

MfG
saxneat

Bezug
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