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| Aufgabe 1 | Es sei [mm] cos(z):=\bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) [/mm] und [mm] sin(z)=\bruch{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}) [/mm] für z [mm] \in \IC.
[/mm]
a) Beweisen Sie:
cos(z+w)=cos(z)cos(w)-sin(z)sin(w)
sin(z+w)=sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w) |
| Aufgabe 2 | | b) Beweisen Sie: ex existiert ein Polynom [mm] P_{n}(a_{1},a_{2}), [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] so dass gilt: [mm] cos(nz)=P_{n}(cos(z),sin(z)) [/mm] |
Hallo zusammen,
Aufgabenteil a habe ich mit Ausrechnen gelöst.
Ich weiß aber noch nicht, wie ich Aufgabenteil b lösen soll:
Nach den Additionstheoreme müsste doch [mm] cos(2z)=cos^{2}(z)-sin^{2}(z) [/mm] sein.
cos(3z) wäre dann = [mm] cos(2z+z)=cos^{2}(z)cos(z)-sin^{2}(z) *sin(z)=cos^{3}(z)-sin^{3}(z).
[/mm]
Ist das soweit richtig?
D.h. ich müsste jetzt mit Hilfe von Induktion zeigen:
[mm] cos(nz)=cos(z)^{n}-sin(z)^{n} [/mm] ?
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Hallo Rubstudent88,
> Es sei [mm]cos(z):=\bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})[/mm] und
> [mm]sin(z)=\bruch{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})[/mm] für z [mm]\in \IC.[/mm]
> a)
> Beweisen Sie:
> cos(z+w)=cos(z)cos(w)-sin(z)sin(w)
> sin(z+w)=sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w)
> b) Beweisen Sie: ex existiert ein Polynom
> [mm]P_{n}(a_{1},a_{2}),[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] so dass gilt:
> [mm]cos(nz)=P_{n}(cos(z),sin(z))[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Aufgabenteil a habe ich mit Ausrechnen gelöst.
> Ich weiß aber noch nicht, wie ich Aufgabenteil b lösen
> soll:
>
> Nach den Additionstheoreme müsste doch
> [mm]cos(2z)=cos^{2}(z)-sin^{2}(z)[/mm] sein.
> cos(3z) wäre dann = [mm]cos(2z+z)=cos^{2}(z)cos(z)-sin^{2}(z) *sin(z)=cos^{3}(z)-sin^{3}(z).[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Nein, das ist nicht richtig:
[mm]cos(2z+z)=cos({\red{2}z)cos(z)-sin(\red{2}z) *sin(z)[/mm]
>
> D.h. ich müsste jetzt mit Hilfe von Induktion zeigen:
> [mm]cos(nz)=cos(z)^{n}-sin(z)^{n}[/mm] ?
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke für deine Antwort!
Was muss ich dann jetzt bei b zeigen?
cos(nz)=cos((n-1)z+z)=cos((n-1)z)cos(z)-sin((n-1)z)sin(z)?
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> Hallo Mathepower,
>
> danke für deine Antwort!
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> Was muss ich dann jetzt bei b zeigen?
>
> cos(nz)=cos((n-1)z+z)=cos((n-1)z)cos(z)-sin((n-1)z)sin(z)?
Beachte, dass gar nicht verlangt ist, eine konkrete Formel
für $\ cos(n*z)$ aufzustellen.
Setzen wir als Abkürzung mal c:=cos(z) und s:=sin(z) .
Dann ist also
$\ cos(z)\ =\ c$ (Polynom vom Grad 1 in c allein)
$\ cos(2z)\ =\ [mm] c^2-s^2$ [/mm] (Polynom vom Grad 2 in c und s)
$\ cos(3z)\ =\ cos(2z+z)\ =\ ......$
Darin steckt schon mal eine Verankerung für einen Induk-
tionsbeweis. Zu zeigen ist also noch: falls [mm] cos(n*z)\in \mathbb{P}_n(c,s),
[/mm]
dann ist [mm] cos((n+1)*z)\in \mathbb{P}_{n+1}(c,s) [/mm] .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
$cos(nz)= [mm] \bruch{1}{2}(e^{inz}+e^{-inz})= \bruch{1}{2}((cos(z)+isin(z))^n+(cos(z)-isin(z))^n)$
[/mm]
FRED
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