Additivität Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mi 01.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ganz allgemeine Frage:
Warum verhät sich die Wahrcheinlichkeit additiv beim Zerlegen eines Ereignisses in endlich viele disjunkte Teile?
Also P(A [mm] \cup [/mm] B)= [mm] P(A\setminus [/mm] B) + P(B [mm] \setminus [/mm] A) + P(A [mm] \cap [/mm] B)
P Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Ereignisraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] Und beliebige Ereignisse A,B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] |
Hei
Aussage steht in einem Buch, und ich finde nicht woher sie kommt. (Aus der [mm] \sigma-Additivitaet?)
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:10 Do 02.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Warum verhät sich die Wahrcheinlichkeit additiv beim
> Zerlegen eines Ereignisses in endlich viele disjunkte
> Teile?
> Also P(A [mm]\cup[/mm] B)= [mm]P(A\setminus[/mm] B) + P(B [mm]\setminus[/mm] A) + P(A
> [mm]\cap[/mm] B)
> P Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Ereignisraum [mm](\Omega, \mathcal{A})[/mm]
> Und beliebige Ereignisse A,B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> Aussage steht in einem Buch, und ich finde nicht woher sie
> kommt. (Aus der [mm]\sigma-Additivitaet?)[/mm]
In der Tat!
Seien [mm] $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{A}$ [/mm] paarweise disjunkt. Wir behaupten [mm] $P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)$.
[/mm]
Für meine Antwort sei die $0$ keine natürliche Zahl.
Wir wählen dazu [mm] $A_i:=\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $i\in\IN$ [/mm] mit $i>n$. Dann sind alle [mm] $A_i,i\in\IN$ [/mm] paarweise disjunkt, es gilt [mm] $\bigcup_{i=1}^nA_i=\bigcup_{i\in\IN}A_i$ [/mm] und somit
[mm] $P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=P(\bigcup_{i\in\IN}A_i)=\sum_{i\in\IN}P(A_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)+\sum_{i=n+1}^\infty \underbrace{P(A_i)}_{=0}=\sum_{i=1}^nP(A_i)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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