Adjungierte Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Sa 08.04.2006 | | Autor: | reneP |
Hallo allerseits,
wir haben einen Dozenten der gerne mal im Vordiplom fragt, wie man die Adjungierte [mm] $A^{+}$ [/mm] einer Abbildunge $A: [mm] V\longrightarrow [/mm] V$ als Polynom der Abbildung darstellen kann.
Ich habe mich jetzt mal hingesetzt und das eine Zeit lang probiert und noch keine Lösung gefunden. Vielleicht hat einer von euch das schon mal gesehen?
ps ich vermute es hat irgendetwas mit dem Charakteristischen Polynom zu tun
lg René
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 08.04.2006 | | Autor: | reneP |
Ich habe übrigens gerade noch rausgefunden wie man die Inverse einer Matrix als Polynom der Matrix darstellen kann (unter der Voraussetzung dass die Matrix invertierbar ist.
Betrachte [mm] $f_A$ [/mm] das charakteristische Polynom der Matrix wir wissen nun dass [mm] $f_A(A)=0$ [/mm] also fangen wir mal an umzuformen:
[mm] $f_A(A)=\sum_{i=0}^na_iA^i [/mm] = 0 $
[mm] $\Leftrightarrow a_0E=-\sum_{i=1}^na_iA^i$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow a_0E=-A\sum_{i=1}^na_iA^{i-1}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow A^{-1}=-\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{a_0}A^{i-1}$
[/mm]
Hierbei wurde verwendet dass für das charakteristische Polynom [mm] $a_o=det(A)$ [/mm] gilt und [mm] $det(A)\neq [/mm] 0$ da $A$ invertierbar ist.
Ich vermute dass so oder so ähnlich auch die sache mit der Adjungierten laufen muss...
lg René
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ist $V = [mm] K^n$, [/mm] wobei $K = [mm] \IC$ [/mm] oder [mm] $\IR$ [/mm] ist (mit Standardskalarprodukt)? Und $f : V [mm] \to [/mm] V$ $K$-linear?
Wenn $f$ durch eine Matrix $M$ dargestellt wird (bzgl. Standardbasen), ist die Matrix der adjungierten $f^+$ dann zufaellig [mm] $\overline{M}^T$ [/mm] (falls $K = [mm] \IC$; [/mm] oder [mm] $M^T$ [/mm] falls $K = [mm] \IR$)?
[/mm]
Wenn ja, dann kann man die adjungierte im Allgemeinen doch gar nicht durch einen polynomiellen Ausdruck in $M$ darstellen; sei etwa $M = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$; [/mm] die Matrix der Adjungierten ist dann [mm] $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. [/mm] Nun ist jedoch [mm] $M^2 [/mm] = 0$, womit jeder polynomielle Ausdruck in $M$ eine obere Dreiecksmatrix liefert (jeder solche Ausdruck ist von der Form [mm] $\lambda [/mm] E + [mm] \mu [/mm] M$, wobei $E$ die Einheitsmatrix ist und [mm] $\lambda,\mu \in [/mm] K$), die offensichtlich nicht gleich der Matrix der Adjungierten sein kann.
> Ich habe übrigens gerade noch rausgefunden wie man die
> Inverse einer Matrix als Polynom der Matrix darstellen kann
> (unter der Voraussetzung dass die Matrix invertierbar ist.
> Betrachte [mm]f_A[/mm] das charakteristische Polynom der Matrix wir
> wissen nun dass [mm]f_A(A)=0[/mm] also fangen wir mal an
> umzuformen:
> [mm]f_A(A)=\sum_{i=0}^na_iA^i = 0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow a_0E=-\sum_{i=1}^na_iA^i[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow a_0E=-A\sum_{i=1}^na_iA^{i-1}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow A^{-1}=-\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{a_0}A^{i-1}[/mm]
>
> Hierbei wurde verwendet dass für das charakteristische
> Polynom [mm]a_o=det(A)[/mm] gilt und [mm]det(A)\neq 0[/mm] da [mm]A[/mm] invertierbar
> ist.
Genau, das geht so.
> Ich vermute dass so oder so ähnlich auch die sache mit der
> Adjungierten laufen muss...
Vielleicht klappt es, wenn man Adjungierte anders meint als ich oben, oder wenn man noch spezielleres von der Abbildung fordert...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mo 10.04.2006 | | Autor: | reneP |
Hallo Allerseits, ich habe mich mal schlau gemacht und es kommt noch die Bedingung normal hinzu. Die matrix aus dem Beispiel ist übrigens nicht normal.
Für den normalen Fall kenne ich jetzt auch eine Lösung und kann sie später techen, wenn Interesse besteht.
lg René
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo René!
> Hallo Allerseits, ich habe mich mal schlau gemacht und es
> kommt noch die Bedingung normal hinzu. Die matrix aus dem
> Beispiel ist übrigens nicht normal.
Ok 
> Für den normalen Fall kenne ich jetzt auch eine Lösung und
> kann sie später techen, wenn Interesse besteht.
Das waer sehr nett, mich wuerd das auf jeden Fall interessieren!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Mi 12.04.2006 | | Autor: | reneP |
OK ich habe wenig Zeit also fasse ich mich einfach mal kurz, ich gebe die Idee und ich denke dann ists klar wies läuft.
Du gehst hin und schaust dir an welche eigenwerte es gibt. und zwar guckst du dir nur die paarweise verschiedenen Eigenwerte an also wenn einer doppelt vorkommt nimmst du ihn trotzdem nur einmal. Zu den Eigenwerten nimmst du die normierten eigenvektoren und diese bilden ein linear unabhängiges System.
[mm] $v_1,\dots,v_l$ [/mm] seien [mm] $e_1,\dots,e_l$ [/mm] die Eigenwerte
jetzt kannst du wie folgt vorgehen (ich lasse die indizes über den summen weg ...)
[mm] $A^+=\sum c_jA^j$ [/mm] ist dein ansatz für die adjungierte als Polynom der eigentlichen abbildung. Was du machen musst ist die koeffizienten bestimmen. In deinem ansatz geht die summe bis $l$.
nun also
[mm] $e_i=e_i===$ [/mm] Jetzt setzt du für die Adjungierte dien Polynom ein:
[mm] $=<\sum c_jA^jv_i,v_i>=<\sum c_je_j^iv_i,v_i>$
[/mm]
Hierrüber erhälst du ein gleichungssystem für die koeffizienten [mm] c_j [/mm] in abhängigkeit der potenzen der komplexkonjugierten eigenwerte, wenn du das noch aus dem skalarprodukt ziehst. Wenn du dir das aufschreibst erkennst du die Vermond'sch Matrix von der du weißt dass sie Invertierbar ist also die Koeffizienten [mm] c_j [/mm] eindeutig bestimmt sind. Voilá du bist rdy....
lg René
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