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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Adjungierte Abbildung bestimme
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Adjungierte Abbildung bestimme: Dringende Hilfe zur Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:12 Fr 22.07.2016
Autor: Funtak

Aufgabe
Sei V die Menge {f ∈ ℝ[X] | grad f ≤ 2}. Diese wird durch das Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := [mm] \summe_{i=-1}^{1} [/mm] f(i)g(i)

zu einem euklidischen Vektorraum. Selbiges gilt für ℝ mit dem Skalarprodukt ⟨r,s⟩ := rs.

a) Bestimmen Sie zu der Einbettung j: ℝ → V, r ↦ rX, die adjungierte Abbildung j* .

b) Sei Φ: V → ℝ die lineare Abbildung [mm] \summe_{i=0}^{2} [/mm] ai Xi  ↦ [mm] \summe_{i=0}^{2} [/mm]  ai . Berechnen Sie die adjungierte Abbildung Φ* .

Habe als kleiner Ansatz für die a)  

⟨f, j(s)⟩ = ⟨j*(f), s⟩

= ⟨f, aX2 + bX + c⟩ = ⟨rX, s⟩
aber eigentlich keinen blassen schimmer

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.mathelounge.de/367812/adjungierte-abbildung-bestimmen

        
Bezug
Adjungierte Abbildung bestimme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Fr 22.07.2016
Autor: fred97

Du musst nur rechnen ! Für [mm] j^{\star} [/mm] schreib ich $k$, also

  $j: [mm] \IR \to [/mm] V$   und $k:V [mm] \to \IR$. [/mm]

Die Abbildung $k$ muss also leisten:

(*)   $<j(r),f>=<r,k(f)>$   für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $f [mm] \in [/mm] V$

Die linke Seite in (*) lautet:

   $ [mm] \summe_{i=-1}^{1} [/mm] (rX)(i)f(i)=-rf(-1)+rf(1)$

und die rechte Seite lautet:

   $rk(f)$.

Damit muss $k$ erfüllen:

   $-rf(-1)+rf(1)=rk(f)$  für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $f [mm] \in [/mm] V$.

Wähle nun r=1. Dann sollte Dir ins Auge springen, wie $k$ def. ist.

FRED


  

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