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Forum "Integrationstheorie" - Adjungierter linearer Diff.Op.

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Adjungierter linearer Diff.Op.: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:00 Mo 12.11.2007
Autor:	DaPhil

Aufgabe

 Seien [mm] U\subset\IR [/mm] offen, [mm] a_{ij}, b_{i}, c\in C^{\infty}(U). [/mm] Sei L = [mm] \summe_{i,j} a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} [/mm] + [mm] \summe_{i} b_i \bruch{\partial}{\partial x_i} [/mm] + c

Bestimme L*, den adjungierten Differentialoperator.

Also, ich habe da folgendermaßen angefangen:
L* = [mm] (\summe_{i,j} a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}) [/mm] * + [mm] (\summe_{i} b_i \bruch{\partial}{\partial x_i}) [/mm] * + (c) * = [mm] (\summe_{i,j} a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}) [/mm] * + (- [mm] \summe_{i} b_i \bruch{\partial}{\partial x_i} [/mm] - [mm] \summe_{i} \bruch{\partial b_i}{\partial x_i}) [/mm] + c

Hierbei habe ich die letzten beiden Terme der ursprünglichen Gleichung aus meiner Vorlesung übernommen, da hatten wir diese bereits berechnet.

Bleibt noch der erste Term, den ich nach langer Rechnung hierzu zusammenfassen konnte:
[mm] (\summe_{i,j} a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}) [/mm] * = - [mm] \summe_{i,j} \bruch{\partial a_{ij}}{\partial x_j} \bruch{\partial}{\partial x_i} [/mm]

Könnte mir da jemand sagen ob das richtig ist? Danke für jegwede Hilfe!

Bezug

Adjungierter linearer Diff.Op.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:50 Di 13.11.2007
Autor:	rainerS

Hallo!

> Seien [mm]U\subset\IR[/mm] offen, [mm]a_{ij}, b_{i}, c\in C^{\infty}(U).[/mm]
> Sei L = [mm]\summe_{i,j} a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}[/mm]
> + [mm]\summe_{i} b_i \bruch{\partial}{\partial x_i}[/mm] + c
>
> Bestimme L*, den adjungierten Differentialoperator.
>  Also, ich habe da folgendermaßen angefangen:
>  L* = [mm](\summe_{i,j} a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j})[/mm]
> * + [mm](\summe_{i} b_i \bruch{\partial}{\partial x_i})[/mm] * + (c)
> * = [mm](\summe_{i,j} a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j})[/mm]
> * + (- [mm]\summe_{i} b_i \bruch{\partial}{\partial x_i}[/mm] -
> [mm]\summe_{i} \bruch{\partial b_i}{\partial x_i})[/mm] + c
>
> Hierbei habe ich die letzten beiden Terme der
> ursprünglichen Gleichung aus meiner Vorlesung übernommen,
> da hatten wir diese bereits berechnet.

Das habt ihr doch mit partieller Integration gemacht:

[mm]\left = \summe_{i} \integral u* b_i \bruch{\partial}{\partial x_i} v \,dx= - \summe_{i} \integral \bruch{\partial}{\partial x_i}(u* b_i ) *v \,dx = -\summe_{i} \integral b_i\bruch{\partial u}{\partial x_i} v\,dx - \summe_{i} \integral u \bruch{\partial b_i}{\partial x_i} v\,dx [/mm],

woraus die Darstellung des adjungierten Operators folgt.

Bei der zweifachen partiellen Ableitung musst du zweimal partiell integrieren:

[mm]\left = \summe_{i,j} \integral u* a_{ij} \bruch{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} v\,dx = -\summe_{i,j} \integral \bruch{\partial}{\partial x_i } (u* a_{ij}) \bruch{\partial}{\partial x_j} v\,dx = \summe_{i,j} \integral \bruch{\partial^2(u* a_{ij}) }{\partial x_i \partial x_j} *v \,dx[/mm].