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| Aufgabe | i) Beweise, dass [mm] $(adj(A^t))^t=adj(A)$.
[/mm]
ii) Leite aus i) und [mm] $(adj(A))A=det(A)*I_n$ [/mm] her, dass auch [mm] $det(A)*I_n=A(adj(A))$. [/mm] [Hinweis: Wende [mm] $(adj(A))A=det(A)*I_n$ [/mm] auf [mm] $A^t$ [/mm] an] |
Hallo,
hier mal meine Lösungsansätze.
Teilaufgabe i)
Das Elemente in der $i$-ten Reihe und $j$-ten Spalte von $adj(A)$ ist
[mm] $(adj(A))_{ij}=(-1)^{i+j}*det(A_{(ij)})$,
[/mm]
wobei [mm] $A_{(ij)}$ [/mm] die Matrix A ohne die $i$-te Reihe und $j$-te Spalte ist. [mm] $(adj(A^t))_{ij}^t$ [/mm] auf der anderen Seite ist
[mm] $(adj(A^t))_{ij}^t [/mm] = [mm] (adj(A^t))_{ji} [/mm] = [mm] (-1)^{j+i}*det(A_{(ji)}^t) [/mm] = [mm] (-1)^{i+j}*det((A_{(ij)})^t) [/mm] = [mm] (-1)^{i+j}*det(A_{(ij)})$
[/mm]
Wir sehen also, dass [mm] $(adj(A^t))^t=adj(A)$.
[/mm]
Teilaufgabe ii)
Wir wenden den o.g. Satz also auf [mm] $A^t$ [/mm] an:
[mm] $adj(A^t)*A^t=(adj(A))^t*A^t=(A*adj(A))^t=(det(A)*I_n)^t=det(A)*I_n$
[/mm]
Den letzten Schritt mache ich, weil die Transponierte der Einheitsmatrix die Einheitsmatrix selber ist. Und wenn ich die Determinante von $A$ erst mit der Einheitsmatrix multipliziere, dann diese transponiere und danach wieder die Determinante von $A$ aus der Einheitsmatrix ziehe, erhalte ich das o.g. Ergebnis.
Ist das so in Ordnung? Und wenn nicht, wo liegen die Fehler?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 23.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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