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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 11.12.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist folgende Matrix A invertierbar? Berechnen Sie die Adjunkte und wenn möglich auch die Inverse von A.
A= [mm] \begin{pmatrix}
\alpha^2 & \alpha & 1 \\
3 & 1 & 0 \\
-4 & 2 & 5
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo mal wieder,
Die adjunkte habe ich bereits berechnet, das müsste so korrekt sein?
adj(A)= [mm] \begin{pmatrix}
5 & 2-5\alpha & 1 \\
-15 & 5\alpha^2+4 & 3 \\
10 & -2\alpha^2-4\alpha & \alpha^2-3\alpha
\end{pmatrix}
[/mm]
Was muss ich nun tun um die Inverse zu bilden, bzw. herauszufinden für welche [mm] \alpha [/mm] das möglich ist?
Der einzige Ansatz der mir dazu einfällt ist:
[mm] \bruch{1}{det(A)}*adj(A)=A^{-1}
[/mm]
Allerdings komme ich damit irgendwie nicht weiter.
Vielen Dank und mfG
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Hallo,
> Was muss ich nun tun um die Inverse zu bilden, bzw.
> herauszufinden für welche [mm]\alpha[/mm] das möglich ist?
Einfach die Determinante in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] ausrechen. Diese muss ja ungleich 0 sein.
Da ich auf die anderen Punkte nicht eingegangen bin, stelle ich deine Frage mal auf 'teilweise beantwortet'.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 11.12.2013 | | Autor: | jayw |
Achja... Danke!
det(A)= [mm] 5\alpha^2-15\alpha+10
[/mm]
[mm] \alpha_1 [/mm] = 1
[mm] \alpha_2 [/mm] = 2
Also für alle [mm] \alpha \not= [/mm] 1,2.
Muss ich jetzt für die Inverse noch rechnen:
[mm] \bruch{1}{5\alpha^2-15\alpha+10}*\begin{pmatrix}
5 & 2-5\alpha & 1 \\
-15 & 5\alpha^2+4 & 3 \\
10 & -2\alpha^2-4\alpha & \alpha^2-3\alpha
\end{pmatrix}
[/mm]
?
Oder reicht es wenn ich das so stehen lasse? Das gibt ja ein fürchterliches Gebilde sonst..
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Hallo,
ich habe deine Adjunkte nicht nachgerechnet, sie wurde ja aber in der anderen Antwort bestätigt.
> det(A)= [mm]5\alpha^2-15\alpha+10[/mm]
Das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\alpha_1[/mm] = 1
> [mm]\alpha_2[/mm] = 2
>
> Also für alle [mm]\alpha \not=[/mm] 1,2.
Kann man noch etwas 'professioneller' aufschreiben. 
>
> Muss ich jetzt für die Inverse noch rechnen:
> [mm]\bruch{1}{5\alpha^2-15\alpha+10}*\begin{pmatrix}
5 & 2-5\alpha & 1 \\
-15 & 5\alpha^2+4 & 3 \\
10 & -2\alpha^2-4\alpha & \alpha^2-3\alpha
\end{pmatrix}[/mm]
>
> ?
> Oder reicht es wenn ich das so stehen lasse? Das gibt ja
> ein fürchterliches Gebilde sonst..
Ja nun, das muss der jeweilige Dozent beantorten. Die Inverse steht definitiv da und das hereinmultiplizieren des Determinantenkehrwerts wäre so eine Art BEschäftigungstherapie. Es ist dennoch möglich, dass das hier vorgesehen war, sonst macht die Anweisung, die Inverse zu berechnen irgendwie keinen rechten Sinn.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist folgende Matrix A
> invertierbar? Berechnen Sie die Adjunkte und wenn möglich
> auch die Inverse von A.
> A= [mm]\begin{pmatrix}
\alpha^2 & \alpha & 1 \\
3 & 1 & 0 \\
-4 & 2 & 5
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo mal wieder,
> Die adjunkte habe ich bereits berechnet, das müsste so
> korrekt sein?
> adj(A)= [mm]\begin{pmatrix}
5 & 2-5\alpha & 1 \\
-15 & 5\alpha^2+4 & 3 \\
10 & -2\alpha^2-4\alpha & \alpha^2-3\alpha
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Was muss ich nun tun um die Inverse zu bilden, bzw.
> herauszufinden für welche [mm]\alpha[/mm] das möglich ist?
> Der einzige Ansatz der mir dazu einfällt ist:
> [mm]\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=A^{-1}[/mm]
> Allerdings komme ich damit irgendwie nicht weiter.
Siehe Diophant!
[mm] \det(A)\not=0
[/mm]
> Vielen Dank und mfG
DieAcht
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