Affin kongruent < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien A und A' zwei affine Teilräume mit dim(A) = dim(A') < [mm] \infty
[/mm]
=> [mm] \exists \alpha \in [/mm] Aff(v) : [mm] \alpha [/mm] (A) = A'
Zwei endlich dim. affine Teilräume sind genau dann affin kongruent, wenn sie gleiche dimension haben. |
Im Skript steht dazu:
dim (A) = dim(A') => [mm] dim(V_A [/mm] ) = dim [mm] (V_{A'})
[/mm]
=> [mm] \phi \in [/mm] GL (V) : [mm] \phi (V_A) [/mm] = [mm] V_{A'}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] (v):= [mm] \phi(v) [/mm] + a' - [mm] \phi [/mm] (a) wobei a' [mm] \in [/mm] A' und a [mm] \in [/mm] A beliebig
Warum wird [mm] \alpha [/mm] (v) so defeniert, warum ist die zuzeigende aussage so gezeigt=??
[mm] Edit:V_A [/mm] := [mm] \{ a_2 - a_1 | a_1 , a_2 \in A \} [/mm] ist ein linearer Teilraum von V und A = a + [mm] V_A [/mm] für jedes a [mm] \in [/mm] A
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> dim (A) = dim(A') => [mm]dim(V_A[/mm] ) = dim [mm](V_{A'})[/mm]
> => [mm]\phi \in[/mm] GL (V) : [mm]\phi (V_A)[/mm] = [mm]V_{A'}[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] (v):= [mm]\phi(v)[/mm] + a' - [mm]\phi[/mm] (a) wobei a' [mm]\in[/mm] A' und a
> [mm]\in[/mm] A beliebig
>
> Warum wird [mm]\alpha[/mm] (v) so defeniert,
Es gilt
[mm] $\alpha(\underbrace{v}_{\in A})=\underbrace{\phi(\underbrace{v-a}_{\in V_A})}_{\in V_{A'}}+a'\in [/mm] A'$.
Also liegt eine wohldefinierte Abbildung [mm] $\alpha\colon V_A\to V_{A'}$ [/mm] vor.
> warum ist die
> zuzeigende aussage so gezeigt=??
Versuche mal die Injektivität von [mm] $\alpha$ [/mm] selbst!
Zur Surjektivität:
Sei [mm] $w\in [/mm] A'$, also w=a'+w' für ein [mm] $w'\in V_{A'}$.
[/mm]
Gesucht ist ein [mm] $v\in [/mm] A$ mit [mm] $\alpha(v)=w$.
[/mm]
Betrachte mal [mm] $v:=\phi^{-1}(w')+a$.
[/mm]
Ich kann nicht ausschließen, dass man alles konzeptioneller einsehen kann statt es wie von mir vorgeschlagen direkt nachzurechnen. Ich habe selbst nie eine Vorlesung zu affinen Unterräumen gehört.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Naja die VO ist nur die Basis-Vo : Lineare Algebra & Geometrie
> Betrachte mal $ [mm] v:=\phi^{-1}(w')+a [/mm] $.
[mm] \alpha(v)= \alpha(\phi^{-1}(w')+a [/mm] )= [mm] \alpha(\phi^{-1}(w- [/mm] a')+a )= [mm] \phi(\phi^{-1} [/mm] (w-a') + a - a) + a' = w
Darf ich fragen wie du immer so schnell die v findest die man betrachten muss?
Injektiv
[mm] \alpha(v_1) [/mm] = [mm] \alpha (v_2)
[/mm]
<=>
[mm] \phi(v_1 [/mm] -a) = [mm] \phi (v_2 [/mm] - a)
Da [mm] \phi [/mm] invertierbar ist=> [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm]
Nun [mm] \alpha [/mm] ist affin fehlt ja noch.
Aber wenn ich das so aufschreibe
[mm] \alpha [/mm] (v) = [mm] \phi [/mm] (v) + a' - [mm] \phi [/mm] (a)
dann ist das ja eine affin-Kombination von [mm] \phi(v), [/mm] a' und [mm] \phi(a).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal
Unsere definition:
Aff(V) := [mm] \{ \alpha : V->V | \alpha affin und bijektiv \}
[/mm]
Also dass [mm] \alpha(A) [/mm] =A'
hast du ja in deinen letzten Post gezeigt. Das ist klar.
Das [mm] \alpha [/mm] bijektiv ist:
Der Beweis für die Injektivität ist gleich.
Aber des Beweis für die Surjektivität geht ja nun nicht so, da wir einen größeren Werte und defenitionsbereich haben oder?
Die Affinität ist nun klar, da ja diese Darstellung mit
$ [mm] \alpha(v)=g(v)+w_0 [/mm] $
immer affin ist.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aber des Beweis für die Surjektivität geht ja nun nicht
> so, da wir einen größeren Werte und defenitionsbereich
> haben oder?
Man muss in der Tat neu überlegen, dass die Surjektivität gilt; der Beweis kann jedoch recht ähnlich geführt werden. Möchtest du mal selber probieren?
> Die Affinität ist nun klar, da ja diese Darstellung mit
> [mm]\alpha(v)=g(v)+w_0[/mm]
> immer affin ist.
Aus reiner Neugier: Habt ihr affine Abbildungen durch die Existenz einer solchen Darstellung oder anders definiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 18.11.2012 | | Autor: | sissile |
> Aus reiner Neugier: Habt ihr affine Abbildungen durch die Existenz einer solchen Darstellung oder anders definiert?
Wir haben es anderes defeniert.
$ [mm] \alpha [/mm] $ heiißt affin falls glt
$ [mm] \forall \lambda_i \in \IK \forall v_i \in [/mm] $ V : $ [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i [/mm] $ =1
=> $ [mm] \alpha (\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) [/mm] $ = $ [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha (v_i) [/mm] $
Daraus haben wir dann aber geschlossen:
$ [mm] \alpha [/mm] $ ist affin $ [mm] \gdw [/mm] $ es gibt ein $ [mm] w_0 \in [/mm] $ W und eine lineare Abb. $ [mm] \beta [/mm] $ :V $ [mm] \to [/mm] $ W mit:
$ [mm] \alpha(v)=\beta(v)+w_0 [/mm] $
Anderseits ist bei mir leider noch immer der Surjektivitäts-Beweis ausständig
Sei v [mm] \in [/mm] V so ist zuzeigen dass es ein [mm] w\in [/mm] V gibt so dass [mm] \alpha(v)=w
[/mm]
[mm] \alpha(v) [/mm] = w <=> w= [mm] \phi [/mm] (v-a) + a' <=> w-a' = [mm] \phi(v-a)
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist doch [mm] \in [/mm] GL(v) also auch surjektiv. Und das zu Beweisend folgt dann.
Liebe Grüße,
sry dass ich mich jetzt erst wieder melde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> > Aus reiner Neugier: Habt ihr affine Abbildungen durch die
> Existenz einer solchen Darstellung oder anders definiert?
> Wir haben es anderes defeniert.
> [mm]\alpha[/mm] heiißt affin falls glt
> [mm]\forall \lambda_i \in \IK \forall v_i \in[/mm] V : [mm]\sum_{i=1}^n \lambda_i[/mm]
> =1
> => [mm]\alpha (\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i)[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha (v_i)[/mm]
>
> Daraus haben wir dann aber geschlossen:
> [mm]\alpha[/mm] ist affin [mm]\gdw[/mm] es gibt ein [mm]w_0 \in[/mm] W und eine
> lineare Abb. [mm]\beta[/mm] :V [mm]\to[/mm] W mit:
>
> [mm]\alpha(v)=\beta(v)+w_0[/mm]
Alles klar, danke!
> Anderseits ist bei mir leider noch immer der
> Surjektivitäts-Beweis ausständig
> Sei v [mm]\in[/mm] V so ist zuzeigen dass es ein [mm]w\in[/mm] V gibt so
> dass [mm]\alpha(v)=w[/mm]
Umgekehrt: Sei [mm] $w\in [/mm] V$, so ist zu zeigen, dass es ein [mm] $v\in [/mm] V$ gibt mit [mm] $\alpha(v)=w$.
[/mm]
> [mm]\alpha(v)[/mm] = w <=> w= [mm]\phi[/mm] (v-a) + a' <=> w-a' =
> [mm]\phi(v-a)[/mm]
> [mm]\phi[/mm] ist doch [mm]\in[/mm] GL(v) also auch surjektiv. Und das zu
> Beweisend folgt dann.
Wie folgt die Existenz eines [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $\phi(v-a)=w-a'$?
[/mm]
Da [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist, existiert ein [mm] $v'\in [/mm] V$ mit [mm] $\phi(v')=w-a'$. [/mm] Wie wählen wir nun $v$, so dass [mm] $\phi(v-a)=w-a'$ [/mm] gilt?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 18.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ich habe gedacht, dass es reicht wenn wir wissen das es so eins gibt. Dann brauchen wir es doch nicht explizit angeben?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe gedacht, dass es reicht wenn wir wissen das es so
> eins gibt.
Ja, das reicht.
> Dann brauchen wir es doch nicht explizit
> angeben?
Der Nachweis, dass es so eines gibt, geht am einfachsten, indem man so ein Element explizit angibt und zeigt, dass es das Gewünschte leistet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 So 18.11.2012 | | Autor: | sissile |
Okay vielen Dank. Das bekomme ich selbst noch hin ;
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
! Wie habt ihr Aff(V) definiert?
