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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
| Aufgabe | Man zeige das gilt:
A multiset [mm] $\{v_1, ..., v_k\}$, [/mm] the members of which are in $V(m, F)$, is affinely dependent if [mm] $k\geq [/mm] 1$ and there are elements [mm] $a_1, a_2, \ldots, a_k$ [/mm] of $F$, not all zero, such that [mm] $\sum_{i=1}^{k}{a_iv_i}=0$ [/mm] and [mm] $\sum_{i=1}^{k}{a_i}=0$. [/mm] Equivalently, [mm] $\{v_1, ..., v_k\}$ [/mm] is affinely dependent if the multiset [mm] $\{ (1; v_1), \ldots , (1; v_k) \}$ [/mm] is linear dependent in $V(m+1, F)$. |
Hallo,
es ist $V(m, F)$ der $m$-dimensionale Vektorraum über dem Körper $F$. Obige Aussage möchte ich ausgehend von folgender Definition beweisen:
Eine Menge von Punkten [mm] $p_0, p_1, \ldots, p_k$ [/mm] heißt affin unabhängig, wenn die Menge an Vektoren [mm] $(p_1- p_0), \ldots, (p_k-p_0)$ [/mm] linear unabhängig ist. Entsprechend soll die affine abhängigkeit definiert sein.
Offensichtlich verstehe ich noch nicht einmal die Aussage, denn was ist z.B. mit den Vektoren (1,0,0) und (3,0,0) aus [mm] $A(\IR^3)$ [/mm] mit dem Koordinatenursprung (0,0,0). Diese Vektoren sind doch auf jeden Fall linear abhängig und entsprechend sind sie auch affin abhängig, doch ich konnte keine Koordinaten finden, welche die Bedingung erfüllt.
Besten Dank und Gruß,
Alex
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> Offensichtlich verstehe ich noch nicht einmal die Aussage,
> denn was ist z.B. mit den Vektoren (1,0,0) und (3,0,0) aus
> [mm]A(\IR^3)[/mm] mit dem Koordinatenursprung (0,0,0). Diese
> Vektoren sind doch auf jeden Fall linear abhängig und
> entsprechend sind sie auch affin abhängig, doch ich konnte
> keine Koordinaten finden, welche die Bedingung erfüllt.
Hallo,
nur kurz, denn ich bin gerade auf dem Sprung:
Du möchtest jetzt also [mm] \{(0,0,0), (1,0,0) ,(3,0,0)\} [/mm] auf affine Abhängigkeit untersuchen, und zwar, indem Du prüfst, ob diese Menge die Definition Deines Textes erfüllt.
Sie tut's:
2*(0,0,0)+ (-3)*(1,0,0)+1*(3,0,0)=(0,0,0), und es ist 2-3+1=0.
"Deiner" anderen Definition genügen sie auch, denn (1,0,0)-(0,0,0) ,(3,0,0)-(0,0,0) sind linear abhängig, also sind die drei Punkte affin abhängig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Do 07.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Angela,
besten Dank für Deine Antwort, das war genau der Hinweis, den ich gebraucht habe. Hatte glatt überlesen, dass man den "Ortsvektor" mit in die LK packen darf.
Mal sehen, ob ich nun den Beweis hinbekomme... natürlich ist auch weiterhin jede Hilfe willkommen.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Do 07.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Ich glaube, so sollte es funktionieren:
Seien also [mm] $p_0, p_1 \ldots, p_n \in [/mm] A$ affin abhängige Punkte des affinen Raumes $A$ mit zugehörigem Vektorraum $V$, d.h. die Verbindungsvektoren [mm] $v_1:=(p_0p_1), \ldots, v_n:=(p_0p_n) \in [/mm] V$ sind linear abhängig. Dann gibt es mind ein [mm] $i\in \{1,2, \ldots, n\}$ [/mm] mit [mm] $\lambda_i \neq [/mm] 0$, so dass
[mm]\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i (p_0 p_i)} = 0[/mm]
gilt. Für jeden Punkt [mm] $x\in [/mm] A$ gilt dann
[mm]\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i (p_0 p_i)} = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i (xp_i - xp_0)} = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i \cdot xp_i}- (\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i})\cdot xp_0 = 0.
[/mm]
Setzt man also [mm] $\lambda_0 [/mm] := - [mm] (\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i})$, [/mm] dann gilt [mm] $\sum_{i=0}^{n}{\lambda_i xp_i}=0$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=0}^{n}{\lambda_i}=0$.
[/mm]
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