Affine Geometrie < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Sa 21.01.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Bestimme dein Schnitt der affinen Räume A1 und A2, sowie deren Verbindungsraum! Zeige weiters [mm] A1\parallel [/mm] A2
A1 ist gegeben durch die affine hülle von (a, b, c)
A2 ist gegeben durch die affine hülle von (d, e ,f)
[mm] a=\vektor{4\\4\\4\\ 4} [/mm] , [mm] b=\vektor{5\\4\\6\\5}, c=\vektor{7\\5\\4 \\5}
[/mm]
[mm] a=\vektor{1\\0\\0\\0}, a=\vektor{1\\-1\\6\\2} ,a=\vektor{1\\1\\-6\\-2} [/mm] |
hallo zusammen
könnte mir hier jemand weiterhelfen?
ich habe schon die dimensionen der affienen räume festgelegt, aber jetzt komm ich nicht mehr weiter.
ich kann weder den schnitt noch den verbindungsraum ausrechnen.
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[mm]A_1[/mm] ist zweidimensional, [mm]A_2[/mm] eindimensional (ich vermute, daß die zweite Gruppe [mm]d,e,f[/mm] sein sollen).
Die Elemente von [mm]A_1[/mm] sind also von der Gestalt
[mm]x = a + \lambda (b-a) + \mu (c-a) \ \ \text{mit} \ \ \lambda,\mu \in \mathbb{R}[/mm]
die Elemente von [mm]A_2[/mm] von der Gestalt
[mm]x = d + \sigma (e-d) \ \ \text{mit} \ \ \sigma \in \mathbb{R}[/mm]
Gleichsetzen liefert nach Übergang zu den Koordinaten ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen in den drei Unbekannten [mm]\lambda,\mu,\sigma[/mm]. Damit bekommst du den Schnittraum. Er wird sich als leer herausstellen.
Um zu zeigen, daß [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] parallel sind, mußt du zeigen, daß die Richtungsvektoren [mm]b-a, \, c-a, \, e-d[/mm] linear abhängig sind. Da der Schnitt leer ist, sind [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] damit echt-parallel. Der Verbindungsraum ist daher gerade die affine Hülle von [mm]a,b,c,d(,e)[/mm].
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