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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:52 So 08.05.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich beschäftige mich gerade mich dem Wikipedia-Artikel über affine Koordinaten:
![[]](/images/popup.gif) Link
Aus den ersten beiden Unterabschnitten werd ich einfach nicht schlau. Man scheint ja einen n-dimensionalen affinen Raum A im Sinne eines affinen Unterraumesceines Vektorraumes V zu untersuchen.
Dabei wird von einer "affinen Basis" gesprochen (diesen Begriff konnte ich nirgends wo anders finden..). Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das ein (n+1)-Tupel aus Vektoren [mm] p_{i}, [/mm] die in diesem affinen Unterraum A liegen und für die [mm] ((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0})) [/mm] eine Basis von [mm] U\subset [/mm] V ist.
Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man anstelle von [mm] p_{0} [/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm] p_{i} [/mm] wählen kann, [mm] p_{0} [/mm] also keine besondere Rolle einnimmt. Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn [mm] ((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0})) [/mm] eine Basis von U ist, auch etwa [mm] ((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1})) [/mm] eine Basis von U ist?
Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?
"Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der Nullvektor des Vektorraums ist."
Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?
Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen. Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.
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> Hallo
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> Ich beschäftige mich gerade mich dem Wikipedia-Artikel
> über affine Koordinaten:
>
> Link
>
> Aus den ersten beiden Unterabschnitten werd ich einfach
> nicht schlau. Man scheint ja einen n-dimensionalen affinen
> Raum A im Sinne eines affinen Unterraumesceines
> Vektorraumes V zu untersuchen.
> Dabei wird von einer "affinen Basis" gesprochen (diesen
> Begriff konnte ich nirgends wo anders finden..).
Hallo,
das liegt dann eher an Deiner Suche als daran, daß es ihn nicht gibt.
> Wenn ich
> das richtig verstanden habe, ist das ein (n+1)-Tupel aus
> Vektoren [mm] $p_{i},$ [/mm] die in diesem affinen Unterraum A liegen
> und für die [mm] $((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))$ [/mm] eine Basis
> von [mm] $U\subset$ [/mm] V ist.
Ich habe im Moment wenig Zeit.
Ich würde mal folgendes machen an Deiner Stelle:
nimm den VR [mm] V=\IR^3 [/mm] und z.B. den affinen Unterraum [mm] A:=\vektor{1\\2\\3}+<\vektor{5\\1\\4}, \vektor{3\\0\\0}>.
[/mm]
Überleg Dir, daß [mm] B:=(p_0:=(1,2,3), p_1:=(6,3,7), p_2:=(4,2,3)) [/mm] eine affine Basis von A ist.
> Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> anstelle von [mm] $p_{0}$ [/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm] $p_{i}$
[/mm]
> wählen kann, [mm] $p_{0}$ [/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> [mm] $((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))$ [/mm] eine Basis von U ist,
> auch etwa [mm] $((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))$
[/mm]
> eine Basis von U ist?
Überzeuge Dich einfach mal exemplarisch davon, daß dies auf für A und die gegebene Basis gilt.
Als nächstes würde ich mir dann mal ein Element aus A nehmen, z.B.
[mm] a:=\vektor{13\\5\\15} [/mm] und würde mal versuchen, diesen in den verschiedenen Koordinaten darzustellen.
Ich finde solche Konkretisierungen meist recht erhellend, wenn ich nicht richtig durchblicke.
>
> Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> anstelle von [mm]p_{0}[/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm]p_{i}[/mm]
> wählen kann, [mm]p_{0}[/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] eine Basis von U ist,
> auch etwa [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> eine Basis von U ist?
Du mußt unter der Voraussetzung, daß [mm] $((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))$ [/mm] linear unabhängig ist, nachweisen, daß [mm] $((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))$ [/mm] linear unabhängig ist.
Wie zeigt man lineare Unabhängigkeit?
Gruß v. Angela
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> Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?
>
> "Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu
> den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche
> Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der
> Nullvektor des Vektorraums ist."
>
> Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?
>
> Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff
> "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen.
> Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mo 09.05.2011 | | Autor: | phychem |
Danke für die Antwort.
> > Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> > anstelle von [mm]p_{0}[/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm]p_{i}[/mm]
> > wählen kann, [mm]p_{0}[/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> > Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> > [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] eine Basis von U ist,
> > auch etwa [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> > eine Basis von U ist?
>
> Du mußt unter der Voraussetzung, daß
> [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] linear unabhängig ist,
> nachweisen, daß
> [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] linear
> unabhängig ist.
>
> Wie zeigt man lineare Unabhängigkeit?
>
> Gruß v. Angela
Es ist ja zu zeigen, dass wenn sich der Nullvektor nur trivial aus den Vektoren [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] kombinieren lässt, er auch nur auf triviale Weise aus den Vektoren [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] kombiniert werden kann.
Vlt. stell ich mich grad etwas sehr dumm an, aber mir gelingt ein solcher Nachweis einfach nicht...
Ausserdem muss ich ja auch zeigen, dass [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] ein Erzeugendensystem von U ist. Aber auch hier gelingt mir der Beweis nicht. Wenn sie der Vektor p linear aus den Vektoren [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] kombinieren lässt, wie kann ich dann zeigen, dass er sich auch als Linearkombination der Vektoren [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] schreiben lässt?
> > Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?
> >
> > "Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu
> > den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche
> > Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der
> > Nullvektor des Vektorraums ist."
> >
> > Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?
> >
> > Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff
> > "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen.
> > Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.
> >
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> Danke für die Antwort.
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> > > Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> > > anstelle von [mm]p_{0}[/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm]p_{i}[/mm]
> > > wählen kann, [mm]p_{0}[/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> > > Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> > > [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] eine Basis von U ist,
> > > auch etwa [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> > > eine Basis von U ist?
> >
> > Du mußt unter der Voraussetzung, daß
> > [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] linear unabhängig ist,
> > nachweisen, daß
> > [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] linear
> > unabhängig ist.
> >
> > Wie zeigt man lineare Unabhängigkeit?
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Es ist ja zu zeigen, dass wenn sich der Nullvektor nur
> trivial aus den Vektoren [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm]
> kombinieren lässt, er auch nur auf triviale Weise aus den
> Vektoren [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> kombiniert werden kann.
>
> Vlt. stell ich mich grad etwas sehr dumm an, aber mir
> gelingt ein solcher Nachweis einfach nicht...
Hallo,
wir können natürlich nur helfen, wenn wir sehen was Du machst.
Die Linearkombination der [mm] p_i-p_1, [/mm] welche 0 ergibt, s solltest Du schreiben als [mm] ...=...*(p_0-p_1)+...*(p_0-p_2)+...+...*(p_0-p_n).
[/mm]
Dann sollte es eigentlich klappen.
>
> Ausserdem muss ich ja auch zeigen, dass
> [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] ein
> Erzeugendensystem von U ist
Wenn die Menge linear unabhängig ist und genauso viele Elemente hat wie Deine Basis, dann ist sie ebenfalls eine Basis.
Gruß v. Angela
Aber auch hier gelingt mir der
> Beweis nicht. Wenn sie der Vektor p linear aus den Vektoren
> [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] kombinieren lässt, wie
> kann ich dann zeigen, dass er sich auch als
> Linearkombination der Vektoren
> [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] schreiben
> lässt?
>
> > > Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?
> > >
> > > "Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu
> > > den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche
> > > Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der
> > > Nullvektor des Vektorraums ist."
> > >
> > > Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?
> > >
> > > Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff
> > > "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen.
> > > Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.
> > >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mo 09.05.2011 | | Autor: | phychem |
Nun ist mir endlich der Beweis der linearen Unabhängigkeit gelungen.
Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 11.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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