Affine Kurve irreduzibel < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] C:=\{f(X,Y)=0\}\subset \mathbb A_{\IC}^2.
[/mm]
Zeigen Sie, dass C irreduzibel ist genau dann , wenn [mm] f=p^n (n\in \IN) [/mm] mit einem irreduziblen Polynom [mm] p\in \IC[X,Y]. [/mm] |
Tag Leute,
ich bin bei der Aufgabe etwas aufgeschmissen. In der Vorlesung haben wir lediglich definiert, was es heißt, wenn eine algebraische Teilmenge eines topologischen Raumes irreduzibel ist. Da mir das nich viel weiterhilft, wollt ich mir stattdessen hier Rat holen. Hat also jemand an Tipp parat, wie ich das angehn soll? Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Sa 07.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]C:=\{f(X,Y)=0\}\subset \mathbb A_{\IC}^2.[/mm]
>
> Zeigen Sie,
> dass C irreduzibel ist genau dann , wenn [mm]f=p^n (n\in \IN)[/mm]
> mit einem irreduziblen Polynom [mm]p\in \IC[X,Y].[/mm]
>
> Tag Leute,
>
> ich bin bei der Aufgabe etwas aufgeschmissen. In der
> Vorlesung haben wir lediglich definiert, was es heißt,
> wenn eine algebraische Teilmenge eines topologischen Raumes
> irreduzibel ist. Da mir das nich viel weiterhilft, wollt
> ich mir stattdessen hier Rat holen. Hat also jemand an Tipp
> parat, wie ich das angehn soll? Besten Dank.
Zeige, dass das Radikalideal zu $(f)$ (das ist das Verschwindungsideal der Kurve -- hattet ihr den Hilbertschen Nullstellensatz?) ein Primideal ist.
Daraus kannst du folgern, dass $f$ die angegebene Form hat.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja richtig den Hilbertschen Nullstellensatz haben wir bewiesen. Dann schau ich mir den Beweis nochmal etwas genauer an. Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich seh grad wir haben lediglich den Hilbertschen Basissatz bewiesen. Kann ich damit trotzdem was anfangen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja richtig den Hilbertschen Nullstellensatz haben wir
> bewiesen. Dann schau ich mir den Beweis nochmal etwas
> genauer an. Vielen Dank.
Du brauchst den Beweis nicht, nur die Aussage. Hattet ihr die denn?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ne leider nicht. Wir hatten nur den Basissatz von Hilbert. Kann allerdings sein, dass der Nullstellensatz nich mehr lange auf sich warten lässt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ne leider nicht. Wir hatten nur den Basissatz von Hilbert.
> Kann allerdings sein, dass der Nullstellensatz nich mehr
> lange auf sich warten lässt.
Ok. Was weisst du denn ueber Verschwindungsideale von Kurven? Eventuell habt ihr die wichtige Aussage schon in anderer Form gehabt und nicht unter dem allgemeinen Mantel des Nullstellensatzes.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Der Begriff "Verschwindungsideal" kam bisher noch nicht vor und sagt mir desegen auch nichts. Aber ist es vielleicht möglich, die Aufgabe auch anders zu lösen also ohne, dass man das Verschwindungsideal verwenden muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Begriff "Verschwindungsideal" kam bisher noch nicht vor
> und sagt mir desegen auch nichts. Aber ist es vielleicht
> möglich, die Aufgabe auch anders zu lösen also ohne, dass
> man das Verschwindungsideal verwenden muss?
Nun, es geht sicher auch ohne, aber wenn ich nicht weiss was ihr schon habt und was nicht kann ich da auch nur raten.
Irreduzibel heisst ja, dass aus $C = [mm] C_1 \cup C_2$ [/mm] mit abgeschlossenen Mengen [mm] $C_1, C_2$ [/mm] folgt $C = [mm] C_1$ [/mm] oder $C = [mm] C_2$.
[/mm]
Jetzt gibt es ja Polynome [mm] $f_{1,1}, \dots, f_{1,n_1}, f_{2,1}, \dots, f_{2,n_2}$ [/mm] mit [mm] $C_i [/mm] = [mm] \{ f_{i,1}(X, Y) = \dots = f_{i,n_i}(X, Y) = 0 \}$. [/mm] Nun ist [mm] $C_1 \cup C_2 [/mm] = [mm] \{ f_{1,i}(X, Y) f_{2,j}(X, Y) = 0 \}$. [/mm] Jetzt gilt [mm] $C_1 \cup C_2 [/mm] = [mm] \{ f(X, Y) = 0 \}$, [/mm] womit es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f^n \in (f_{1,i} f_{2,j} \mid [/mm] i, j)$, und umgekehrt zu jedem $(i, j)$ ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $(f_{1,i} f_{2,j})^m \in [/mm] (f)$.
Kommt dir das bekannter vor?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Naja ich steig da ehrlich gesagt nicht so ganz durch und in meinen Unterlagen hab ich nichts vergleichbares gefunden. Aber ich würd jetz einfach sagen ich wart bis Dienstag ab, da ist die nächste Vorlesung. Und spätestens da sollt ich dann ne Idee für die Aufgabe haben. Ansonsten meld ich mich dann nochmal. Bis hierher aber schon mal recht herzlichen Dank und schönes Wochenende noch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Wir haben inzwischen zwar immer noch nicht das Verschwindungsideal definiert, allerdings einen etwas umfangreicheren Tipp zur Lösung der Aufgabe erhalten. Dieser sieht wie folgt aus:
"Hinrichtung":
Angenommen [mm] f=f_1^{n_1}*...*f_r^{n_r} [/mm] mit irreduziblen, paarweise verschiedenen Polynomen [mm] f_i
[/mm]
zu zeigen: [mm] C=Z_1\cup Z_2 [/mm] mit [mm] Z_1=V(f_1^{n_1}), Z_2=V(f_2^{n_2}*...*f_r^{n_r}) [/mm] sowie [mm] Z_1, Z_2\subsetneqq [/mm] C
Angenommen [mm] Z_i=C \Rightarrow |Z_1\cap Z_2| [/mm] endlich
Das ist aber ein Widerspruch(hierzu soll man die Resultante verwenden).
"Rückrichtung":
Angenommen [mm] C=Z_1\cup Z_2 [/mm] mit [mm] Z_1=V(f_1,...,f_r), Z_2=V(g_1,...,g_s) [/mm] sowie [mm] Z_1, Z_2\subsetneqq [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] o.B.d.A. [mm] \exists x,y\in [/mm] C sodass [mm] f_1(x)\not=0, g_1(y)\not=0
[/mm]
Das ergibt einen einen Widerspruch(a´wiederum mithilfe der Resultanten).
Weiterhin wurde uns gesagt, dass trotz des Tipps der Beweis wohl nicht gerade einfach wäre. Und das scheint wohl zu stimmen, denn ich blick da nicht durch. Könnt sich vielleicht jemand den Tipp mal anschaun und mir sagen wie ich den verwenden kann? Oftmals ist ein Blick von außen ja schon recht hilfreich. Hab ich damit überhaupt eine Chance den Beweis zu führen? Wäre echt für Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben inzwischen zwar immer noch nicht das
> Verschwindungsideal definiert, allerdings einen etwas
> umfangreicheren Tipp zur Lösung der Aufgabe erhalten.
> Dieser sieht wie folgt aus:
>
> [...]
>
> Weiterhin wurde uns gesagt, dass trotz des Tipps der Beweis
> wohl nicht gerade einfach wäre. Und das scheint wohl zu
> stimmen, denn ich blick da nicht durch. Könnt sich
> vielleicht jemand den Tipp mal anschaun und mir sagen wie
> ich den verwenden kann? Oftmals ist ein Blick von außen ja
> schon recht hilfreich. Hab ich damit überhaupt eine Chance
> den Beweis zu führen?
Dieser "Tipp" ist eine Anleitung, wie du den Beweis fuehren kannst. Versuche die einzelnden Schritte doch mal abzuarbeiten:
> "Hinrichtung":
> Angenommen [mm]f=f_1^{n_1}*...*f_r^{n_r}[/mm] mit irreduziblen,
> paarweise verschiedenen Polynomen [mm]f_i[/mm]
> zu zeigen: [mm]C=Z_1\cup Z_2[/mm] mit [mm]Z_1=V(f_1^{n_1}), Z_2=V(f_2^{n_2}*...*f_r^{n_r})[/mm]
> sowie [mm]Z_1, Z_2\subsetneqq[/mm] C
> Angenommen [mm]Z_i=C \Rightarrow |Z_1\cap Z_2|[/mm] endlich
> Das ist aber ein Widerspruch(hierzu soll man die
> Resultante verwenden).
Hier sollst du zeigen: aus der Annahme [mm] $Z_i [/mm] = C$ folgt [mm] $|Z_1 \cap Z_2| [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] und du sollst zeigen, dass daraus ein Widerspruch folgt. Und man soll hier Resultanten verwenden.
Dann leg doch mal los. Am einfachsten ist der Widerspruch: gilt etwa [mm] $Z_1 [/mm] = C$, so ist [mm] $Z_2 \subseteq [/mm] C = [mm] Z_1$ [/mm] und somit [mm] $|Z_1 \cap Z_2| [/mm] = [mm] |Z_2|$. [/mm] Kann dies endlich sein?
Nun bleibt zu zeigen, dass [mm] $|Z_1 \cap Z_2| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist. (Hier brauchst du nicht die Voraussetzung [mm] $Z_i [/mm] = C$ sondern nur, dass [mm] $f_1^{n_1}$ [/mm] und [mm] $f_1^{n_2} \cdots f_r^{n_r}$ [/mm] teilerfremd sind.) Versuche die gemeinsamen Loesungen von [mm] $f_1^{n_1} [/mm] = 0$ und [mm] $f_1^{n_2} \cdots f_r^{n_r} [/mm] = 0$ doch mal mit der Resultante zu beschreiben, bzw. damit einzugrenzen.
> "Rückrichtung":
> Angenommen [mm]C=Z_1\cup Z_2[/mm] mit [mm]Z_1=V(f_1,...,f_r), Z_2=V(g_1,...,g_s)[/mm]
> sowie [mm]Z_1, Z_2\subsetneqq[/mm] C
> [mm]\Rightarrow[/mm] o.B.d.A. [mm]\exists x,y\in[/mm] C sodass [mm]f_1(x)\not=0, g_1(y)\not=0[/mm]
Soweit sollte das doch alles sehr klar sein. Oder etwa nicht?
> Das ergibt einen einen Widerspruch(a´wiederum mithilfe der
> Resultanten).
Den musst du jetzt finden.
LG Felix
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