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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Fr 14.08.2009 | | Autor: | pittster |
Sei W ein Vektorraum und X := v + W ein affiner Raum.
$X-X := [mm] \{u-u': u,u' \in X\}$
[/mm]
Ich habe gerade gelesen, dass X-X = W sein muss. Jetzt suche ich den Beweis dafür mit der Absicht, mir das besser vorstellen zu können.
[mm] $W\subset [/mm] X-X$: Weil W ein Vektorraum ist, ist [mm] $0\in [/mm] W$ und [mm] $0+v=v\in [/mm] X$. Bei X-X ist also für jedes [mm] $w\in [/mm] X: [mm] w-v\in [/mm] X-X [mm] \Rightarrow w-v\in [/mm] W$
$X-X [mm] \subset [/mm] W$: Weil mit jedem [mm] $u,w\in [/mm] W$ [mm] $u+v,w+v\in [/mm] X$ ist, gilt [mm] $(u+v)-(w+v)=u+v-w-v\in [/mm] X-X [mm] \gdw u+v-w-v=u-v\in [/mm] W$
Kann man das so durchgehen lassen?
lg, Dennis
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> Sei W ein Vektorraum und X := v + W ein affiner Raum.
>
> [mm]X-X := \{u-u': u,u' \in X\}[/mm]
>
Hallo,
zu zeigen ist, wie du auch sagst, [mm] W\subset [/mm] X-X und X-X [mm] \subset [/mm] W.
1. Zu zeigen: [mm] W\subset [/mm] X-X.
Hierzu ist zu zeigen, daß jedes [mm] w\in [/mm] W auch in X-X liegt.
Was heißt das? Du mußt vorrechnen, daß es u, u' in X gibt mit w=u-u', denn wenn Dir das gelungen ist, weißt Du, daß W in X-X ist.
Zum Beweis: sei [mm] w\in [/mm] W.
Setze u:=... und u':=..., und rechne vor, daß u-u' gerade w ergibt.
> [mm]W\subset X-X[/mm]: Weil W ein Vektorraum ist, ist [mm]0\in W[/mm]
Das stimmt.
> und
> [mm]0+v=v\in X[/mm].
Ja.
> Bei X-X ist also für jedes [mm]w\in X:
Jetzt wird's wirr. Du willst ja zeigen, das etwas für jedes w\in W gilt.
> w-v\in X-X \Rightarrow w-v\in W[/mm]
2. Zu zeigen: X-X [mm] \subset [/mm] W
Hierzu ist zu zeigen, daß jedes Element aus X-X in W liegt.
Zum Beweis: sei [mm] x\in [/mm] X-X. Dann gibt es [mm] y,y''\in [/mm] X mit x=y-y'
Jetzt verwende die Def. von X, um auf [mm] x\in [/mm] W zuzusteuern.
Ah, ich sehe: das ist Dir gar nicht schlecht gelungen!
>
> [mm]X-X \subset W[/mm]:
Da y,y' in X sind, gibt es [mm] u,w\in [/mm] X mit y=v+u und y'=v+W
>Weil mit jedem [mm]u,w\in W[/mm] [mm]u+v,w+v\in X[/mm] ist,
Es
> gilt [mm](u+v)-(w+v)=u+v-w-v
> =u-v\in W[/mm]
denn W ist ein Vektorraum.
Gruß v. Angela
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