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Hallo zusammen,
Wenn die Vektoren [mm] x_1,...,x_m [/mm] alle linear unabhängig sind bedeutet das, dass man keinen der einzelnen Vektoren durch die anderen darstellen kann. Gilt etwas ähnliches auch für affine Unabhängigkeit? Könnte man also den Satz "Wenn die Vektoren [mm] y_1,...,y_m [/mm] alle affin unabhängig sind bedeutet das, dass..." ähnlich vervollständigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Do 17.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> Wenn die Vektoren [mm]x_1,...,x_m[/mm] alle linear unabhängig sind
> bedeutet das, dass man keinen der einzelnen Vektoren durch
> die anderen darstellen kann. Gilt etwas ähnliches auch
> für affine Unabhängigkeit? Könnte man also den Satz
> "Wenn die Vektoren [mm]y_1,...,y_m[/mm] alle affin unabhängig sind
> bedeutet das, dass..." ähnlich vervollständigen?
Ja: Wenn die Vektoren [mm]y_1,...,y_m[/mm] alle affin unabhängig sind bedeutet das, dass sich nach Wahl zweier Indices $i, j [mm] \in \{ 1, \dots, m \}$ [/mm] mit $i [mm] \neq [/mm] j$ die Differenz [mm] $y_j [/mm] - [mm] y_i$ [/mm] nicht als Linearkombination der Differenzen [mm] $y_k [/mm] - [mm] y_i$, [/mm] $k [mm] \in \{ 1, \dots, m \} \steminus \{ i, j \}$ [/mm] darstellen kann.
Dies bedeutet ja nichts anders, als dass [mm] $y_1 [/mm] - [mm] y_i, \dots, y_{i-1} [/mm] - [mm] y_i, y_{i+1} [/mm] - [mm] y_i, \dots, y_m [/mm] - [mm] y_i$ [/mm] linear unabhaengig sind.
LG Felix
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Und was für eine Auswirkung hat das für die affin unabhängigen Vektoren selbst? Was sagt es über ihr Verhältnis zueinander aus?
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> Und was für eine Auswirkung hat das für die affin
> unabhängigen Vektoren selbst? Was sagt es über ihr
> Verhältnis zueinander aus?
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, was Du jetzt wissen möchtest.
Daß $ [mm] y_1 [/mm] - [mm] y_i, \dots, y_{i-1} [/mm] - [mm] y_i, y_{i+1} [/mm] - [mm] y_i, \dots, y_m [/mm] - [mm] y_i [/mm] $ linear unabhängig sind, wenn [mm] y_1,...,y_m [/mm] affin unabhängig sind, hat Dir Felix schon gesagt.
Vielleicht dies:
[mm] (y_1,...,y_m) [/mm] ist eine affine Basis des affinen Unterraumes [mm] y_i+
Gruß v. Angela
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Nach dem Rechnen einiger Aufgaben bin ich zu folgendem Gedanken gekommen:
1. eine Menge Linear unabhängiger Vektoren ist immer auch affin Unabhängig
2. Wenn man zu einer Menge linar unabhängiger Vektoren einen hinzufügt, der von ihnen linear abhängig ist, ist die Menge immer noch affin unabhängig.
Stimmen die Sätze. Wenn einer der Sätze nicht stimmt bitte ich um ein Gegenbeispiel. Das wäre dann sehr hilfreich.
Vielen Dank!
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> Nach dem Rechnen einiger Aufgaben bin ich zu folgendem
> Gedanken gekommen:
> 1. eine Menge Linear unabhängiger Vektoren ist immer auch
> affin Unabhängig
Hallo,
ja, und das solltest Du auch beweisen können.
> 2. Wenn man zu einer Menge linar unabhängiger Vektoren
> einen hinzufügt, der von ihnen linear abhängig ist, ist
> die Menge immer noch affin unabhängig.
Nein.
Gegenbeispiel:
[mm] v_1, v_2 [/mm] linear unabhängig.
[mm] \bruch{1}{2}(v_1+v_2), v_1, v_2 [/mm] sind nicht affin unabhängig.
Gruß v. Angela
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Dann verstehe ich immer noch nicht genau, was affine Unabhängigkeit bedeutet.
Ist es ein Spezialfall der linearen Unabhängigkeit?
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> Dann verstehe ich immer noch nicht genau, was affine
> Unabhängigkeit bedeutet.
> Ist es ein Spezialfall der linearen Unabhängigkeit?
Hallo,
eher umgekehrt.
Mal anschaulich: kannst Du sagen, welches die affinen Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] sind?
Bleiben wir mal im [mm] \IR^3:
[/mm]
3 Punkte des [mm] \IR^3 [/mm] sind affin unabhängig, wenn sie eine Ebene aufspannen.
Gruß v. Angela
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> Mal anschaulich: kannst Du sagen, welches die affinen
> Unterräume des [mm]\IR^3[/mm] sind?
z.B. a + t (b - a)?
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> > Mal anschaulich: kannst Du sagen, welches die affinen
> > Unterräume des [mm]\IR^3[/mm] sind?
>
> z.B. a + t (b - a)?
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Hallo,
ja, das ist jetzt nicht so perfekt aufgeschrieben, aber Du meinst es schon richtig: affine URe der Dimension 2 sind alle Ebenen, die der Dimension 1 alle Geraden.
Gruß v. Angela
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