Affine und Konvexe Kombination < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 19.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo
ich habe diese frage in keinem anderen forum auf anderen internet seiten gestellt.
Ich wollte noch mal bestätigen, wie ich bis jetzt das mit konvexen/affinen kombinationen verstanden habe. Dazu ein paar skizzen :)
1) Affine Kombination
Definition: [mm] \alpha{}P+\beta{}Q=P+\beta{}(Q-P) [/mm] mit [mm] \alpha{}+\beta{}=1 [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Affine Kombination der Punkte P und Q [mm] :\alpha{}P+\beta{}Q [/mm] mit
[mm] \alpha=-1
[/mm]
[mm] \beta=2
[/mm]
also -1P+2Q = P+2(Q-P) also in diesem Fall der Punkt S.
D.h. alle affine kombinationen (also affine Hülle) der Punkte P und Q sind Punkte auf gerade durch P und Q... ist das richtig?
Speziallfall:
[img]2[img] (warum wird nicht angezeigt? siehe anhang 2)
[mm] \alpha=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \beta=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}P+\bruch{2}{3}S=P+\bruch{2}{3}(Q-P) [/mm] also in diesem Fall Punkt S.
So ein SpeziallFall heißt konvexe Kombination: [mm] \alpha{}P+\beta{}Q=P+\beta{}(Q-P) [/mm] mit [mm] \alpha{}+\beta{}=1 [/mm] und [mm] \alpha{},\beta{}\in[0,1]
[/mm]
d.h. alle konvexe kombinationen von P,Q (konvexe Hülle) sind puntke zwischen P und Q ?
Jetzt mit 3 Punkten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Affine Kombination
[mm] \alpha{}P+\beta{}Q+\gamma{}R=P+\beta{}(Q-P)+\gamma{}(R-P) [/mm] mit [mm] \alpha{}+\beta{}+\gamma{}=1 [/mm]
Mit ein bisschen Vorstellungskraft sei [mm] \overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PQ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{MS}=2\overrightarrow{PR}
[/mm]
Also Affine Kombination:
Affine Kombination der Punkte P,Q,R [mm] :\alpha{}P+\beta{}Q+\gamma{}R [/mm] mit
[mm] \alpha=-3
[/mm]
[mm] \beta=2
[/mm]
[mm] \gamma=2
[/mm]
also -3P+2Q+2R = P+2(Q-P)+2(R-P) also in diesem Fall der Punkt S.
Also affine Hülle von 3 punkten ist die menge aller Punkte, die auf der Ebene liegen oder?
Spezialfall:
Konvexe Kombination
[mm] \alpha{}P+\beta{}Q+\gamma{}R=P+\beta{}(Q-P)+\gamma{}(R-P) [/mm] mit [mm] \alpha{}+\beta{}+\gamma{}=1,\alpha{},\beta{},\gamma{}\in[0,1]
[/mm]
mit
[mm] \alpha=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \beta=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \gamma=\bruch{1}{3}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
also [mm] \bruch{2}{3}P+\bruch{1}{3}Q+\bruch{1}{3}R [/mm] = [mm] P+\bruch{1}{3}(Q-P)+\bruch{1}{3}(R-P) [/mm] also in diesem Fall der Punkt S.
(wieder mit ein bisschen vorstellungskraft sei
[mm] \overrightarrow{PM}=\bruch{1}{3}\overrightarrow{PQ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{MS}=\bruch{1}{3}\overrightarrow{PR}
[/mm]
Dann ist die konvexe Hülle von P,Q,R alle Puntke, die "drin" im Dreieck liegen? Und was ist mit dem Rand?
Ich hoff ich hab endlich diese begriffe endlich verstanden
Danke im Voraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> 1) Affine Kombination
von zwei Punkten P und Q.
> Definition: [mm]\alpha{}P+\beta{}Q=P+\beta{}(Q-P)[/mm] mit
> [mm]\alpha{}+\beta{}=1[/mm]
Ja.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Affine Kombination der Punkte P und Q [mm]:\alpha{}P+\beta{}Q[/mm]
> mit
> [mm]\alpha=-1[/mm]
> [mm]\beta=2[/mm]
> also -1P+2Q = P+2(Q-P)
[mm] (=\overrightarrow{0P}+2\overrightarrow{PQ}
[/mm]
> also in diesem Fall der Punkt S.
Ja.
> D.h. alle affine kombinationen (also affine Hülle) der
> Punkte P und Q sind Punkte auf gerade durch P und Q... ist
> das richtig?
Ja.
>
> Speziallfall:
> [img]2[img] (warum wird nicht angezeigt? siehe anhang 2)
> [mm]\alpha=\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]\beta=\bruch{2}{3}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{3}P+\bruch{2}{3}S=P+\bruch{2}{3}(Q-P)[/mm] also in diesem Fall Punkt S.
>
> So ein SpeziallFall heißt konvexe Kombination: [mm]\alpha{}P+\beta{}Q=P+\beta{}(Q-P)[/mm] mit [mm]\alpha{}+\beta{}=1[/mm] und [mm]\alpha{},\beta{}\in[0,1][/mm]
> d.h. alle konvexe kombinationen von P,Q (konvexe Hülle) sind puntke zwischen P und Q ?
ja.
>
> Jetzt mit 3 Punkten:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Affine Kombination
> [mm]\alpha{}P+\beta{}Q+\gamma{}R=P+\beta{}(Q-P)+\gamma{}(R-P)[/mm] mit [mm]\alpha{}+\beta{}+\gamma{}=1[/mm]
Ja.
>
> Mit ein bisschen Vorstellungskraft sei [mm]\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PQ}[/mm] und [mm]\overrightarrow{MS}=2\overrightarrow{PR}[/mm]
> Also Affine Kombination:
> Affine Kombination der Punkte P,Q,R [mm]:\alpha{}P+\beta{}Q+\gamma{}R[/mm] mit
> [mm]\alpha=-3[/mm]
> [mm]\beta=2[/mm]
> [mm]\gamma=2[/mm]
> also -3P+2Q+2R = P+2(Q-P)+2(R-P) also in diesem Fall der Punkt S.
Ja.
>
> Also affine Hülle von 3 punkten ist die menge aller Punkte, die auf der Ebene liegen oder?
Ja.
>
> Spezialfall:
> Konvexe Kombination
> [mm]\alpha{}P+\beta{}Q+\gamma{}R=P+\beta{}(Q-P)+\gamma{}(R-P)[/mm] mit [mm]\alpha{}+\beta{}+\gamma{}=1,\alpha{},\beta{},\gamma{}\in[0,1][/mm]
> mit
> [mm]\alpha=\bruch{2}{3}[/mm]
> [mm]\beta=\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]\gamma=\bruch{1}{3}[/mm]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> also [mm]\bruch{2}{3}P+\bruch{1}{3}Q+\bruch{1}{3}R[/mm] = [mm]P+\bruch{1}{3}(Q-P)+\bruch{1}{3}(R-P)[/mm] also in diesem Fall der Punkt S.
> (wieder mit ein bisschen vorstellungskraft sei
> [mm]\overrightarrow{PM}=\bruch{1}{3}\overrightarrow{PQ}[/mm] und [mm]\overrightarrow{MS}=\bruch{1}{3}\overrightarrow{PR}[/mm]
>
> Dann ist die konvexe Hülle von P,Q,R alle Puntke, die "drin" im Dreieck liegen?
Ja.
> Und was ist mit dem Rand?
Der ist auch in der konvexen Hülle, denn Du erreichst jeden Punkt auf dem Rand, und die Eckpunkte selbst sind auch dabei, denn die Vorfaktoren [mm] \lambda_i\in [/mm] [0,1].
>
> Ich hoff ich hab endlich diese begriffe endlich verstanden
Ich glaub's auch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Do 20.09.2007 | | Autor: | holwo |
vielen dank!
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