Aitken-Neville Interpolation < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man approximiere den Wert [mm] \wurzel{2}
[/mm]
2 indem man das Polynom dritten Grades, dass durch die Punkte (k,2k),
-1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 2 verläuft, an der Stelle k = 0.5 auswertet. Man benutze dabei das Verfahren von Aitken-Neville. |
Guten Abend,
wie das Verfahren von Aitken-Neuville funktioniert habe ich verstanden.
Jedoch kriege ich keine Tabelle mit x und y-Werten hier gebildet :(
Es wird ja nur gesagt, dass k zwischen -1 und 2 liegt.
Ich dachte jetzt, ich setze da einfach -1, 0 , 1 , 2 ein..
Somit würde ich die Werte
x -1 | 0 | 1 | 2
y 0.5| 1 | 2 | 4
Aber glaube das kann ich so nicht machen :)
Bin für jeden Hinweis dankbar :)
Liebe Grüße
Steffi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffi!
> Man approximiere den Wert [mm]\wurzel{2}[/mm]
> 2 indem man das Polynom dritten Grades, dass durch die
> Punkte (k,2k),
Du meinst $(k, [mm] 2^k)$. [/mm] Schreib sowas doch bitte so auf, das man es auch lesen kann und nicht raten muss.
> -1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] 2 verläuft, an der Stelle k = 0.5 auswertet.
> Man benutze dabei das Verfahren von Aitken-Neville.
> Guten Abend,
> wie das Verfahren von Aitken-Neuville funktioniert habe
> ich verstanden.
> Jedoch kriege ich keine Tabelle mit x und y-Werten hier
> gebildet :(
> Es wird ja nur gesagt, dass k zwischen -1 und 2 liegt.
> Ich dachte jetzt, ich setze da einfach -1, 0 , 1 , 2
> ein..
> Somit würde ich die Werte
> x -1 | 0 | 1 | 2
> y 0.5| 1 | 2 | 4
Ja.
> Aber glaube das kann ich so nicht machen :)
Wieso nicht?
Du musst jetzt ein Polynom dritten Grades finden, welches diese Werte annimmt. Wie machst du das? (![[]](/images/popup.gif) Tipp)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für Deine Antwort.
Das mit dem Fehler hab ich übersehen, obwohl ich kontrolliert hab vor dem Abschicken. Sorry :(
Bin meine ich zum richtigen Ergebnis gekommen und
habe da nun ein Polynom dritten Grades raus. Wenn ich dort jetzt 0.5 einsetze erhalte ich ca. 1.40.... also "nah" an der [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Habe noch eine andere Frage :)
Ich soll noch eine Schranke f für den Approximationsfehler angeben, "die ich ohne Kenntnis des exakten Werts" bestimmen soll.
Eigentlich würde ich sagen [mm] \wurzel{2} [/mm] - "0.5 eingesetzt in mein errechnetes Polynom".
Aber mit [mm] \wurzel{2} [/mm] meinen die ja wohl "den exakten Wert".
Liebe Grüße
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffi!
> Vielen Dank für Deine Antwort.
> Das mit dem Fehler hab ich übersehen, obwohl ich
> kontrolliert hab vor dem Abschicken. Sorry :(
Kann vorkommen! :)
> Bin meine ich zum richtigen Ergebnis gekommen und
> habe da nun ein Polynom dritten Grades raus. Wenn ich dort
> jetzt 0.5 einsetze erhalte ich ca. 1.40.... also "nah" an
> der [mm]\wurzel{2}.[/mm]
Das ist doch schonmal gut!
> Habe noch eine andere Frage :)
>
> Ich soll noch eine Schranke f für den Approximationsfehler
> angeben, "die ich ohne Kenntnis des exakten Werts"
> bestimmen soll.
>
> Eigentlich würde ich sagen [mm]\wurzel{2}[/mm] - "0.5 eingesetzt in
> mein errechnetes Polynom".
Nun, dazu musst du aber den exakten Wert [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] kennen.
> Aber mit [mm]\wurzel{2}[/mm] meinen die ja wohl "den exakten Wert".
Genau.
Ihr habt doch vermutlich so eine Art Fehlerabschaetzung fuer Polynomapproximation (du hast eine genug oft stetig diffbare Funktion $f$, etwa $f(x) = [mm] 2^x$, [/mm] und dann sagt dir die Abschaetzung um wieviel $f$ von dem Polynom abweicht, vermutlich in Abhaengigkeit von der vierten oder fuenften Ableitung von $f$). Schau mal ob du sowas findest.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Habe hier im Skript folgende interessante Stelle gefunden:
Sei f: [a,b] -> [mm] \IR [/mm] (n+1)-mal differenzierbar und sei p das Interpolationspolynom vom Grad n durch [mm] (x_{i}, f(x_{i})), [/mm] i = 0, ... , n.
Dann gibt es zu jedem x [mm] \in [/mm] [a,b] ein [mm] \gamma [/mm] = [mm] \gamma [/mm] (x) [mm] \in [/mm] (min [mm] {x_{i},x}, max{x_{i},x}) [/mm] mit
f (x) - p(x) = (x - [mm] x_{o}) [/mm] (x - [mm] x_{1})... [/mm] (x - [mm] x_{n}) \bruch{f^{n+1}(\gamma)}{(n+1)!}.
[/mm]
Ich denke, dass ist das was ich brauche.
Jedoch verstehe ich nicht was ich als [mm] \gamma [/mm] einsetzen soll.
Als x vermute ich mal mein gegebenes 0.5 von vorhin.
n müsste in meinem Fall 3 sein, da ich ein Polynom dritten Grades bestimmt habe.
Vielen Dank
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffi!
> Habe hier im Skript folgende interessante Stelle gefunden:
>
>
> Sei f: [a,b] -> [mm]\IR[/mm] (n+1)-mal differenzierbar und sei p das
> Interpolationspolynom vom Grad n durch [mm](x_{i}, f(x_{i})),[/mm] i
> = 0, ... , n.
> Dann gibt es zu jedem x [mm]\in[/mm] [a,b] ein [mm]\gamma[/mm] = [mm]\gamma[/mm] (x)
> [mm]\in[/mm] (min [mm]{x_{i},x}, max{x_{i},x})[/mm] mit
> f (x) - p(x) = (x - [mm]x_{o})[/mm] (x - [mm]x_{1})...[/mm] (x - [mm]x_{n}) \bruch{f^{n+1}(\gamma)}{(n+1)!}.[/mm]
Die sieht gut aus :)
> Ich denke, dass ist das was ich brauche.
Genau.
> Jedoch verstehe ich nicht was ich als [mm]\gamma[/mm] einsetzen
> soll.
Nun, du weisst ja in welchem Intervall sich [mm] $\gamma$ [/mm] befindet. Jetzt kannst du die vierte Ableitung von $f(x) = [mm] 2^x$ [/mm] bestimmen und abschaetzen, welche Werte sie auf diesem Intervall annimmt.
(Kleines Beispiel: Hast du etwa die Funktion $g(t) = [mm] x^2$ [/mm] und willst $g(t)$ fuer ein [mm] $\gamma \in [/mm] [1, 2]$ abschaetzen, so weisst du ja [mm] $g(\gamma) \in [/mm] [1, 4]$; also gilt [mm] $|g(\gamma)| \le [/mm] 4$.)
> Als x vermute ich mal mein gegebenes 0.5 von vorhin.
Genau.
> n müsste in meinem Fall 3 sein, da ich ein Polynom
> dritten Grades bestimmt habe.
Ja, du hast ja $n + 1$ Stuetzstellen, naemlich [mm] $x_0 [/mm] = -1$, [mm] $x_1 [/mm] = 0$, [mm] $x_2 [/mm] = 1$, [mm] $x_3 [/mm] = 2$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Mein [mm] \gamma [/mm] liegt zwischen -1 und 2.
Denn die Definition sagt ja, [mm] \gamma [/mm] = [mm] \gamma [/mm] (x) [mm] \in (min(x_{i},x) ,max(x_{i},x)).
[/mm]
Mit [mm] min(x_{0},0.5) [/mm] komme ich auf den kleinsten Wert,nämlich -1.
Auf die 2 komme ich mit [mm] max(x_{3},0.5) [/mm] = 2.
Aber woher nimmst Du die [mm] 2^{x} [/mm] ?
Nach dem Anwenden von Aitken-Neville bin ich auf [mm] \bruch{x^{3}}{12} [/mm] + [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{x}{3} [/mm] +1 gekommen.
Liebe Grüße und danke für Deine Geduld ! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffi!
> Mein [mm]\gamma[/mm] liegt zwischen -1 und 2.
> Denn die Definition sagt ja, [mm]\gamma[/mm] = [mm]\gamma[/mm] (x) [mm]\in (min(x_{i},x) ,max(x_{i},x)).[/mm]
>
> Mit [mm]min(x_{0},0.5)[/mm] komme ich auf den kleinsten
> Wert,nämlich -1.
> Auf die 2 komme ich mit [mm]max(x_{3},0.5)[/mm] = 2.
Genau.
> Aber woher nimmst Du die [mm]2^{x}[/mm] ?
Nun, dein Polynom entspricht ja der Funktion [mm] $2^x$ [/mm] fuer $x = -1, 0, 1, 2$. Deswegen kannst du hier $f(x) = [mm] 2^x$ [/mm] nehmen: dein Polynom ist ein Interpolationspolynom fuer $f$.
> Nach dem Anwenden von Aitken-Neville bin ich auf
> [mm]\bruch{x^{3}}{12}[/mm] + [mm]\bruch{x^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{x}{3}[/mm] +1
> gekommen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
So langsam verstehe ich :)
Ich fang mal an:
f(x) = [mm] 2^{x}
[/mm]
.....
[mm] f^{4}(x) [/mm] = [mm] 2^{x}*ln(2)^{4}
[/mm]
mit f(x) - p(x) erhalte ich dann:
[mm] \bruch{3}{8} \* \bruch{2^{x}*ln(2)^{4}}{24}
[/mm]
=
[mm] \bruch{2^{x-3} * ln(2)^{4}}{3}
[/mm]
mein [mm] \gamme [/mm] ist [mm] \in [/mm] [-1,2]
Wenn ich nun die 2 oben einsetze erhalte ich [mm] \bruch{ln(4)^{4}}{48}.
[/mm]
Bedeutet dies nun, dass ich eine (obere) Schranke für den Fehler gefunden habe?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Fr 30.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> So langsam verstehe ich :)
>
> Ich fang mal an:
>
> f(x) = [mm]2^{x}[/mm]
> .....
> [mm]f^{4}(x)[/mm] = [mm]2^{x}*ln(2)^{4}[/mm]
>
> mit f(x) - p(x) erhalte ich dann:
>
> [mm]\bruch{3}{8} \* \bruch{2^{x}*ln(2)^{4}}{24}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{2^{x-3} * ln(2)^{4}}{3}[/mm]
>
> mein [mm]\gamma[/mm] ist [mm]\in[/mm] [-1,2]
>
> Wenn ich nun die 2 oben einsetze erhalte ich
> [mm]\bruch{ln(4)^{4}}{48}.[/mm]
Ich sehe grad nicht wie du da drauf kommst. Ich komme zumindest auf [mm] $\frac{(\ln 2)^4}{6} \approx [/mm] 0.0385$. (Bei dir bekomme ich auf [mm] $\approx [/mm] 0.0769$.)
> Bedeutet dies nun, dass ich eine (obere) Schranke für den
> Fehler gefunden habe?
Ja. Wenn du das nun ausrechnest, weisst du auch wie gut die Schranke ist.
LG Felix
|
|
|
|
