Akkretiver Operator, Existenz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:57 Do 19.01.2012 | | Autor: | hejaa |
| Aufgabe | Sei (H(·, ·)) ein Hilbertraum und A [mm] \in [/mm] L(H) ein akkretiver Operator, d.h. -A sei dissipativ. Zeige, daß der Operator [mm] R_{\lambda} [/mm] := (I + [mm] \lambda A)^{-1} [/mm] (wobei I : H [mm] \to [/mm] H die identische Abbildung ist) für jedes [mm] \lambda \ge [/mm] 0 als linearer und beschränkter Operator in H existiert und nichtexpansiv ist, d.h. für alle u, v [mm] \in [/mm] H gilt:
[mm] \parallel R_\lambda [/mm] u − [mm] R_\lambda [/mm] v [mm] \parallel [/mm] ≤ [mm] \parallel [/mm] u − v [mm] \parallel.
[/mm]
Hinweis: Für [mm] \lambda \not= [/mm] 0 betrachte zur Lösung von (I + [mm] \lambda A)u_n [/mm] = f die Rekursionsvorschrift:
[mm] \bruch{u_{n+1} - u_{n}}{\beta} [/mm] + (I [mm] +\lambda A)u_n [/mm] = f
für ein beliebiges [mm] u_0 \in [/mm] H und [mm] \beta [/mm] > 0 geeignet gewählt. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe Probleme die Existenz von von [mm] R_{\lambda} [/mm] zu zeigen, also dass (I + [mm] \lambda [/mm] A) bijektiv ist. Versucht habe ich das mit folgenden Ansatz: Sei
g(v):= [mm] \beta [/mm] (f-(I + [mm] \lambda [/mm] A)v)+ v
Wenn ich zeigen kann, dass fgeine Kontraktion ist, dann folgt daraus, dass die oben gegebene Folge [mm] u_n [/mm] konvergiert. Nur komme ich bei dem Beweis zur Kontraktion nicht weiter. Mein Ansatz:
[mm] \parallel g(v)-g(w)\parallel =\parallel \beta(f-(I +\lambda [/mm] A)v) + v [mm] -\beta [/mm] (f-(I [mm] +\lambda [/mm] A)w+ [mm] w)\parallel
[/mm]
[mm] =\parallel(1- \beta)(v-w) [/mm] - [mm] (-\beta \lambda A)(v-w)\parallel [/mm]
Jetzt kann ich die Dreiecksgleichung anwenden etc., nur sehe ich nicht, wie ich hier anwenden kann, dass A akkretiv ist. Hat jemand eine Idee?
Grüße, hejaa
PS: akkretiv bedeutet, dass <A(v-w), v-w> [mm] \ge [/mm] 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Fr 20.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich denke Ihr hattet folgendes:
Ist T [mm] \in [/mm] L(H) dissipativ, so gilt:
(1) $||(sI-T)x|| [mm] \ge [/mm] s||x||$ für alle s>0 und alle x [mm] \in [/mm] H
und
(2) (sI-T)(H)=H füe alle s>0
Aus (1) und (2) folgt:
(3) [mm] $\{s \in \IR: s>0\} \subseteq \rho(T).$
[/mm]
Sei nun A akkretiv. Dann ist -A dissipativ. Ist nun [mm] \lambda>0, [/mm] so ist
[mm] $I+\lambda A=\lambda(\bruch{1}{\lambda}-(-A))$
[/mm]
Aus (3) folgt: [mm] \bruch{1}{\lambda} \in \rho(-A). [/mm] Damit ist [mm] $I+\lambda [/mm] A$ bijektiv.
Dass [mm] $I+\lambda [/mm] A$ für [mm] \lambda [/mm] =0 bijektiv ist, ist trivial.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 21.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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