Alexandrov-Kompaktifizierung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Di 13.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Thema meiner Frage ist die sog. "Einpunktkompaktifizierung" oder auch "Alexandrov-Kompaktifizierung".
Und zwar habe ich folgendes Problem: Wir haben das Thema nur sehr, sehr kurz behandelt und in meinem Skript finde ich folgende Skizze:
Dort ist eine Linie aufgemalt (die vermutlich für den reellen Zahlenstrahl stehen soll) und darüber ist ein Kreis gemalt, der diese Linie berührt.
Neben der Linie steht: "lokalkompakt", neben dem Kreis steht: "kompakt".
Und dann fällt noch das Stichwort "stereographische Projektion".
Meine Frage: Wie hängt dies alles zusammen? |
Hallo, liebe Leute!
Natürlich habe ich mir auch meine Gedanken gemacht:
Die reellen Zahlen sind nicht kompakt, aber lokalkompakt. Nun möchte man aus den reellen Zahlen eine kompakte Menge machen bzw. eine größere Menge herstellen, die die reellen Zahlen enthält und kompakt ist.
Sei also [mm] $X=\mathbb [/mm] R$. Dann sagt ja die Alexandrov-Kompaktifizierung Folgendes:
Man nimmt einen weiteren Punkt zu X hinzu und hat dann
[mm] $X'=X\cup\left\{x_0\right\}=\mathbb R\cup\left\{x_0\right\}$, [/mm] wobei gelten muss, daß [mm] $x_0\notin X=\mathbb [/mm] R$.
Dann gilt:
1.) Die Topologie auf X' besteht aus den offenen Mengen von X und aus den Komplementen der abgeschlossenen und kompakten Teilmengen von X.
2.) X ist ein Unterraum von X'.
3.) X' ist kompakt.
Bis hierhin komme ich ganz gut mit.
Doch was hat dies alles nun mit der "stereographischen Projektion" und der oben beschriebenen Skizze zu tun (mit dem Kreis etc.)?
Das habe ich noch nicht verstanden und es wäre toll, wenn mir das jemand vielleicht erklären könnte.
Liebe Grüße
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Di 13.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Thema meiner Frage ist die sog. "Einpunktkompaktifizierung"
> oder auch "Alexandrov-Kompaktifizierung".
>
> Und zwar habe ich folgendes Problem: Wir haben das Thema
> nur sehr, sehr kurz behandelt und in meinem Skript finde
> ich folgende Skizze:
>
>
> Dort ist eine Linie aufgemalt (die vermutlich für den
> reellen Zahlenstrahl stehen soll) und darüber ist ein
> Kreis gemalt, der diese Linie berührt.
>
> Neben der Linie steht: "lokalkompakt", neben dem Kreis
> steht: "kompakt".
> Und dann fällt noch das Stichwort "stereographische
> Projektion".
>
> Meine Frage: Wie hängt dies alles zusammen?
>
> Hallo, liebe Leute!
>
> Natürlich habe ich mir auch meine Gedanken gemacht:
>
> Die reellen Zahlen sind nicht kompakt, aber lokalkompakt.
> Nun möchte man aus den reellen Zahlen eine kompakte Menge
> machen bzw. eine größere Menge herstellen, die die
> reellen Zahlen enthält und kompakt ist.
>
> Sei also [mm]X=\mathbb R[/mm]. Dann sagt ja die
> Alexandrov-Kompaktifizierung Folgendes:
>
> Man nimmt einen weiteren Punkt zu X hinzu und hat dann
>
> [mm]X'=X\cup\left\{x_0\right\}=\mathbb R\cup\left\{x_0\right\}[/mm],
> wobei gelten muss, daß [mm]x_0\notin X=\mathbb R[/mm].
>
> Dann gilt:
>
> 1.) Die Topologie auf X' besteht aus den offenen Mengen von
> X und aus den Komplementen der abgeschlossenen und
> kompakten Teilmengen von X.
>
> 2.) X ist ein Unterraum von X'.
>
> 3.) X' ist kompakt.
>
>
>
> Bis hierhin komme ich ganz gut mit.
>
> Doch was hat dies alles nun mit der "stereographischen
> Projektion" und der oben beschriebenen Skizze zu tun (mit
> dem Kreis etc.)?
Mit der stereographische Projektion wird eine bijektive Abbildung zwischen der (kompakten) Kreislinie und $X' [mm] =\IR\cup\left\{x_0\right\}[$ [/mm] konstruiert. Das geht so:
1. Es gibt einen Punkt S, an dem die Kreislinie die reelle Zahlengerade [mm] $\IR$ [/mm] berührt. Wir starten von dem Punkt N, der diesem Punkt genau gegenüber liegt (also am höchsten Punkt des Kreises).
2. Von jedem Punkt x der Zahlengerade können wir eine gerade Strecke zu N legen. Diese Strecke schneidet die Kreislinie an einem Punkt y.
3. Die stereografische Projektion ordnet dem Punkt y den Punkt x zu. Diese Abbildung ist bijektiv zwischen der Zahlengeraden [mm] $\IR$ [/mm] und der Kreislinie ohne den Punkt N.
4. Für die Kompaktifizierung ordnen wir dem Punkt N den Punkt [mm] $x_0$ [/mm] zu, und haben damit eine bijektive Abbildung zwischen der Kreislinie und [mm] $X'=\IR\cup\left\{x_0\right\}$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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